賦p-Amemiya(1≤p≤∞范數(shù)的Orlicz序列空間的端點和嚴格凸性

段麗芬, 許 晶, 崔云安

(1. 通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 吉林 通化 134002； 2. 哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080)

p-Amemiya(1≤p≤∞)范數(shù)[1]既包含了Orlicz范數(shù)[2](當p=1時), 又包含了Luxemburg范數(shù)[3](當p=∞時). 但當1

1 預(yù)備知識

本文用X表示一個Banach空間,B(X)和S(X)分別表示X的閉單位球和單位球面.

定義1[8]x∈S(X)稱為端點是指若x=(y+z)/2 (y,z∈B(X)), 則y=z. 用ExtB(X)表示B(X)所有端點構(gòu)成的集合. 若ExtB(X)=S(X), 則稱X是嚴格凸的.

定義2[9]若函數(shù)ρ:X→[0,∞)滿足下列條件, 則ρ稱為凸函數(shù)： 1) 當且僅當x=0時,ρ(x)=0; 2)ρ(-x)=ρ(x); 3) 對任何x,y∈X,a,b≥0,a+b=1, 都有ρ(ax+by)≤aρ(x)+bρ(y).

利用Minkowsky不等式易知,sp為非減的凸函數(shù). 令σp=max{u≥0:sp(u)=1},εp=1-[1/p], 其中[1/p]表示不超過1/p的最大整數(shù), 規(guī)定1/∞=0. 顯然, 當1≤p<∞時,σp=0; 當p=∞時,σp=1. 當p=1時,εp=0; 當1

u

則當u

θ:lM,p→[0,∞),θ(x)=inf{k>0:ρM(k-1x)<∞};

Ap:lM,p×(0,∞]→(0,∞],Ap(x,k)=k-1sp(ρM(kx)).

定義4[12]設(shè)M為Orlicz函數(shù),u為實數(shù). 如果對任何兩個不同實數(shù)v,w, 只要(v+w)/2=u即有M(u)<(M(v)+M(w))/2, 則稱u是M的一個嚴格凸點.M的嚴格凸點全體記為SCM. 顯然,SCM?{u∈R:M(u)<∞}∪{±cM}.

定義5[12]如果存在常數(shù)k≥2和x0>0, 使得當x≤x0時,M(2x)≤kM(x), 則稱Orlicz函數(shù)M(關(guān)于較小的x)滿足Δ2條件.

引理1對任何1≤p≤∞及x=(x(i))i∈lM,p{0}, 都有:

引理3設(shè)1≤p≤∞, 則

引理1～引理4為文獻[1]的平行結(jié)果, 其證明可完全平行獲得(只要把函數(shù)改為序列即可), 故略.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)1≤p≤∞, 則x=(x(i))i∈S(lM,p)是B(lM,p)的端點的充要條件是下列條件同時成立:

1) 若集合suppx={i∈N:x(i)≠0}中所含元的個數(shù)μ(suppx)≥2, 則

?;

2) ①{i=N:x(i)≠0}為單元集或②對任何k∈Kp(x), {kx(i):i=1,2,…}中至多有εp個元不屬于SCM;

3) ①對任何k∈Kp(x),ρM(kx)≥σp或②對任何i∈N, 都有x(i)=cM<∞.

若條件1),2)及3)中①成立. 設(shè)x=(x(i))i∈S(lM,p),y,z∈B(lM,p),y+z=2x, 則‖y‖M,p=‖z‖M,p=1. 下面分三步證明y=z.

首先, 證明Kp(y)≠?,Kp(z)≠?時,y=z. 事實上, 記ky∈Kp(y),kz=Kp(z),k=kykz/(ky+kz), 利用引理1、sp和M的凸性及Minkowsky不等式, 有

這蘊涵‖x‖M,p=‖y‖M,p=‖z‖M,p=1=(2k)-1sp°ρM(2kx), 所以, 2k∈Kp(x). 同時,

因為ρM(2kx)≥σp,sp(u)在[σp,∞)上嚴格遞增, 故有

對任何正整數(shù)i, 利用M的凸性可得

當條件2)中①成立時, 設(shè)x={0,0,…,x(i),0,0,…}, 因為0∈SCM, 有y(j)=z(j)=0(j≠i). 注意到‖y‖M,p=‖z‖M,p=‖x‖M,p=1, 則y(i)=z(i)=x(i), 進而y(i)=z(i)=x(i). 故y=z.

當條件2)中②成立時, 注意到當1

可知對任何1≤p≤∞及正整數(shù)i, 都有kyy(i)=kzz(i). 又kyy(i),kzz(i),2kx(i)在同一個線性區(qū)間上, 且0∈SCM, 有kyy(i)=kzz(i), 進而kyy=kzz. 此外,

ky=‖kyy‖M,p=sp(kyy)=sp(kzz)=‖kzz‖M,p=kz,

因此,y=z.

綜上可得, 對任何x=(x(i))i∈S(lM,p), 若滿足y,z∈B(lM,p),y+z=2x, 則必有y=z, 即x∈Ext(B(lM,p)). 充分性得證.

令y(i0)=x(i0)+u,z(i0)=x(i0)-u,y(i)=z(i)=x(i)(i≠i0),y+z=2x,y≠z, 但

同理‖z‖M,p≤1, 這與x∈Ext(B(lM,p))矛盾. 證畢.

推論1x=(x(i))i∈S(lM,p)是B(lM,p)的端點的充要條件是:

1)p=1且: ①若μ(suppx)≥2, 則K(x)≠?; ②若μ(suppx)=1或?qū)θ魏蝛∈K(x)及i∈N, 都有kx(i)∈SCM;

2) 1

3)p=∞且: ①ρM(x)=1且μ{i∈N:x(i)?SCM}≤1或②對任何i∈N, 都有x(i)=cM<∞.

定理2Orlicz序列空間lM,p嚴格凸的充要條件是:

1) 若x∈S(lM,p),μ(suppx)≥2, 則Kp(x)≠?；

2)M在[0,πM,p(1)]嚴格凸, 其中

πM,p(1)=inf{t>0: 2εpM(t)σp((2M(t))p-1N(p(t)))1-σp≥1};

3) ①1≤p<∞或②p=∞且M∈Δ2.

證明: 結(jié)合文獻[12]中定理2.7和定理2.9、 文獻[4]中定理2的證明, 再利用定理1, 充分性及2)和3)的必要性易得, 1)的必要性可由引理4直接得到. 證畢.

[1] CUI Yun-an, DUAN Li-fen, Hudzik H, et al. Basic Theory ofp-Amemiya Norm in Orlicz Spaces(1≤p≤∞): Extreme Points and Rotundity in Orlicz Spaces Endowed with These Norms [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2008, 69(5/6): 1796-1816.

[2] Orlicz W. über Eine Gewisse Klasse Von R?umen Vom Typus B [J]. Bull Acad Polonaise Sci: Ser A, 1932, 8: 207-220.

[3] Luxemburg W A J. Banach Function Spaces [D]: [Ph D Thesis]. Delft: Delft University of Technology, 1955.

[4] DUAN Li-fen, CUI Yun-an. Extreme and Strongly Extreme Points in Orlicz Sequence Spaces Equipped with the Generalized Orlicz Norm [J]. Journal of East China Normal University: Natural Science, 2009(1): 53-60. (段麗芬, 崔云安. 賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間的端點和強端點 [J]. 華東師范大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2009(1): 53-60.)

[5] DUAN Li-fen, CUI Yun-an. Extreme Points in Orlicz Space Equipped with the Generalized Orlicz Norm [J]. Journal of Zhejiang University: Science Edition, 2007, 34(3): 252-256. (段麗芬, 崔云安. 賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間的端點 [J]. 浙江大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)版, 2007, 34(3): 252-256.)

[6] DUAN Li-fen, CUI Yun-an. Strongly Extreme Points in Orlicz Space Equipped with the Generalized Orlicz Norm [J]. Journal of Zhejiang University: Science Edition, 2009, 36(1): 6-11. (段麗芬, 崔云安. 賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間的強端點 [J]. 浙江大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)版, 2009, 36(1): 6-11.)

[7] DUAN Li-fen, XU Jing, CUI Yun-an. Uniform Rotundity in Orlicz Function Spaces Equipped with the Generalized Orlicz Norm [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2011, 49(5): 809-813. (段麗芬, 許晶, 崔云安. 賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間的一致凸性 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)版, 2011, 49(5): 809-813.)

[8] 俞鑫泰. Banach空間幾何理論 [M]. 上海: 華東師范大學(xué)出版社, 1986.

[9] Maligranda L. Orlicz Spaces and Interpolation [M]. Campinas: Universidade Estadual de Lampinas, 1989.

[10] CUI Yun-an, Hudzik H, Nowak M, et al. Some Geometric Properties in Orlicz Sequence Spaces Equipped with Orlicz Norm [J]. Journal of Convex Analysis, 1999, 6(1): 91-113.

[11] Orlicz W. A Note on Modular Spaces [J]. Bull Acad Polon Sci Math, 1961, 9(1): 157-162.

[12] Chen S T. Geometry of Orlicz Spaces [M]. Warszawa: Dissertations Math, 1996.