張永梅

（南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 211106）

電偶極子在均勻電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)特征研究

張永梅

（南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 211106）

電偶極子在均勻電場(chǎng)中受到力矩的作用而發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，但由于慣性的存在，電偶極子不會(huì)立即靜止在平衡位置，而是會(huì)在平衡位置附近振動(dòng).本文從動(dòng)力學(xué)和能量特征兩個(gè)方面證實(shí)，初始角度較小的情況下，電偶極子做簡(jiǎn)諧振動(dòng).

電偶極子；均勻電場(chǎng)；力矩；簡(jiǎn)諧振動(dòng)

1 引言

電偶極子是一個(gè)重要的物理模型，大部分物質(zhì)的分子的電性質(zhì)都可以看成是由正電中心和負(fù)電中心構(gòu)成的電偶極子［1］.在靜電學(xué)中我們都會(huì)討論電偶極子電場(chǎng)的特點(diǎn)，也會(huì)討論電偶極子在電場(chǎng)中受到力矩作用而發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，這也是電介質(zhì)極化的基本機(jī)理之一.目前的教科書在處理電偶極子時(shí)都只考慮它的電學(xué)屬性而忽略力學(xué)屬性，認(rèn)為電偶極子在均勻外電場(chǎng)作用下將發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)而趨于外電場(chǎng)方向［2］.這是不全面的.事實(shí)上，任何帶電粒子都具有質(zhì)量，都具有慣性.考慮到電偶極子具有慣性，它應(yīng)該會(huì)在平衡位置附近振動(dòng).本文考慮電偶極子由具有一定質(zhì)量而電荷極性相反的兩個(gè)粒子組成，研究由于靜電力和慣性的共同作用，電偶極子在電場(chǎng)中的振動(dòng)行為，并從能量的角度證實(shí)振動(dòng)的電偶極子類似力學(xué)中的單擺或彈簧振子.

電偶極子是在電磁理論和實(shí)際生活中經(jīng)常遇到的一種帶電體系，是距離較近的等量異號(hào)電荷構(gòu)成的帶電系統(tǒng).連接兩電荷的直線稱為電偶極子的軸線，取從負(fù)電荷指向正電荷的矢量re的方向?yàn)檩S線的正方向.電荷量q與矢量re的乘積定義為電偶極矩，簡(jiǎn)稱電矩，即pe＝qre.

圖1 電偶極子示意圖

2 電偶極子在均勻電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

設(shè)外電場(chǎng)的強(qiáng)度為E，把電偶極子放在該均勻的外電場(chǎng)中時(shí)，它的電偶極矩pe的方向與電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向之間的夾角為θ.電偶極子的正負(fù)電荷分別受到電場(chǎng)力F1和F2的作用，這兩個(gè)力的大小F1＝F2均為qE.

由于這兩個(gè)力大小相等，方向相反，所以電偶極子受到的合力為零，電偶極子不會(huì)發(fā)生平動(dòng).但是這兩個(gè)力不在同一條直線上，所以電偶極子受到力矩的作用，這個(gè)力矩的大小為

寫成矢量式為

圖2 在均勻外電場(chǎng)中的電偶極子

在這個(gè)力矩的作用下，電偶極子將發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，直到pe與E的方向一致（θ＝0）.當(dāng)θ＝0或θ＝π時(shí)，力矩變?yōu)榱?所以θ＝0或θ＝π是電偶極子的平衡位置.力矩的作用將使電偶極子趨向于平衡位置θ＝0.但是，如果考慮到電偶極子是由具有質(zhì)量的兩個(gè)粒子組成，由于慣性，電偶極子不會(huì)立即靜止在平衡位置，而是會(huì)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，再次偏離平衡位置，再由于力矩的作用回轉(zhuǎn)到平衡位置，如此繼續(xù)下去.也就是說，電偶極子會(huì)在平衡位置附近來回?cái)[動(dòng).我們忽略電偶極子擺動(dòng)時(shí)的輻射阻尼，下面來看電偶極子的運(yùn)動(dòng)方程.

力矩的作用使電偶極子趨向于平衡位置，設(shè)使電偶極子角位置θ增加的轉(zhuǎn)向?yàn)檎瑒t力矩M使電偶極子沿θ減小的方向轉(zhuǎn)動(dòng).因此我們把力矩的值寫作

如果角度θ足夠小，比如θ＜5°，那么sinθ≈θ.這時(shí)力矩就寫為

其中，θ是電偶極子對(duì)平衡位置的偏離.所以電偶極子受到的力矩與角位置成正比而方向相反，電偶極子作簡(jiǎn)諧振動(dòng).由M＝Jβ，則有

其中，θ0是振動(dòng)角位置的振幅；ω0是振動(dòng)的圓頻率由電偶極子本身和外電場(chǎng)的性質(zhì)決定.

我們可以對(duì)振動(dòng)頻率的數(shù)量級(jí)做個(gè)估計(jì).電介質(zhì)分子電偶極矩的數(shù)量級(jí)是10－30C·m［3］，電場(chǎng)采用擊穿場(chǎng)強(qiáng)的1/10，數(shù)量級(jí)為106V·m－1，質(zhì)量的數(shù)量級(jí)為10－27kg，距離的數(shù)量級(jí)為10－10m.代入頻率的公式計(jì)算，則頻率的數(shù)量級(jí)是1013Hz.電偶極子振動(dòng)的頻率還是相當(dāng)高的，若考慮它的電磁輻射，其頻率大約在中、近紅外的范圍.

既然考慮到帶電粒子具有質(zhì)量，在分析力矩的時(shí)候就必須考慮到重力矩，在分析振動(dòng)能量時(shí)也應(yīng)該考慮重力勢(shì)能，就是說應(yīng)該考慮重力場(chǎng)的作用.究竟重力場(chǎng)會(huì)不會(huì)對(duì)電偶極子的振蕩行為產(chǎn)生影響呢？如圖3示，無(wú)論電偶極子處在怎樣的位置，構(gòu)成電偶極子的兩個(gè)帶電粒子受到的相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)中心的力矩都是大小相等而方向相反，所以力矩的總和等于零.因此重力的力矩對(duì)電偶極子的轉(zhuǎn)動(dòng)沒有影響.

圖3 電偶極子系統(tǒng)受到的重力矩

3 振動(dòng)電偶極子的能量特征

上面從動(dòng)力學(xué)特征分析，電偶極子在均勻電場(chǎng)中作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，下面再?gòu)哪芰拷嵌确治鏊欠穹虾?jiǎn)諧振動(dòng)的特征.處于電場(chǎng)中的電偶極子的能量應(yīng)當(dāng)包括振動(dòng)的動(dòng)能和電勢(shì)能.

再看電偶極子在電場(chǎng)中的電勢(shì)能.電偶極子在任意位置時(shí)的電勢(shì)能為Wp＝W1＋W2＝－qErecosθ.它在平衡位置的電勢(shì)能是Wp0＝－qEre.所以電偶極振子偏離平衡位置時(shí)的勢(shì)能Ep＝Wp－Wp0＝qEre（1－cosθ）.考慮到小角度近似而θ＝θ0cos（ω0t＋φ0），所以電偶極子偏離平衡位置的勢(shì)能為

我們發(fā)現(xiàn)電偶極子的動(dòng)能和勢(shì)能都是隨時(shí)間周期性變化.電偶極子的總能量為

可見，電偶極振子的總能量是不變的.這是因?yàn)檎駝?dòng)過程中既沒有外力做功，也沒有非保守內(nèi)力做功.

4 電偶極子模型及其應(yīng)用

電偶極子是電介質(zhì)理論和原子物理學(xué)的重要模型，研究從穩(wěn)恒到X光頻電磁場(chǎng)作用下電介質(zhì)的色散和吸收，以及天線的輻射等現(xiàn)象，可以用振蕩偶極子來表示［4］.盡管剛性電偶極子在均勻電場(chǎng)中做無(wú)耗散的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但在電介質(zhì)中存在大量的電偶極子，它們之間有大量的相互作用.電介質(zhì)被極化后，內(nèi)部電場(chǎng)被削弱，電偶極子受到的力矩減小，振動(dòng)圓頻率也會(huì)減小.電介質(zhì)很快達(dá)到穩(wěn)定的極化狀態(tài).生物體所有的功能和活動(dòng)都以生物電的形式涉及電偶極子的電場(chǎng).例如，心臟的一個(gè)完整的電活動(dòng)過程就包含了心肌細(xì)胞接受刺激形成電偶極子、伴隨刺激在細(xì)胞內(nèi)的傳播電偶極子的電矩向前延伸、刺激結(jié)束后心肌細(xì)胞的復(fù)原即正負(fù)電中心重合而電矩為零，完全復(fù)原后心肌細(xì)胞又可以接受新的刺激［5］.電偶極子模型還用來研究艦船靜態(tài)電場(chǎng)的深度換算，實(shí)現(xiàn)艦船電場(chǎng)補(bǔ)償，有效提高艦船的安全性［6］.

5 總結(jié)

對(duì)均勻電場(chǎng)中電偶極子的運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行分析和討論，不僅使學(xué)生理解和掌握電偶極子這一重要的物理模型，而且把靜電學(xué)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維和綜合應(yīng)用知識(shí)的能力.

［1］ 孫目珍.電介質(zhì)物理基礎(chǔ)［M］.廣州：華南理工大學(xué)出版社，2002

［2］ 程守洙，江之泳.普通物理學(xué)［M］.6版.北京：高等教育出版社，2006

［3］ 張三慧.大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué) 下冊(cè)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003

［4］ 殷之文.電介質(zhì)物理學(xué)［M］.3版.北京：科學(xué)出版社，2003

［5］ 段鶴.電偶極子模型及其應(yīng)用［J］.齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，2011，27（2）

［6］ 劉文寶，王向軍，嵇斗.基于電偶極子模型的艦船靜電場(chǎng)深度換算［J］.空軍雷達(dá)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，24（6）

STUDY OF MOTION CHARACTERISTICS OF
ELECTRIC DIPOLE IN UNIFORM ELECTRIC FIELD

Zhang Yongmei
（College of Science，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing，Jiangsu 211106）

Electric dipole in uniform electric field rotates because of electric torque.When the electric dipole reaches its balance position，it doesn't rest at the position as inertia exists，but vibrates around the balance position.In this paper，it is confirmed that the electric dipole exhibits simple harmonic motion under small angle initial condition from the view of dynamics and energy characteristics.

electric dipole；uniform electric field；torque；simple harmonic vibration

2011－11－04）