矯洪楠 侯 恕

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院 吉林 長春 130024)

1 MATLAB簡介

1.1 MATLAB軟件

MATLAB是MathWorks公司推出的用于科學(xué)和工程計(jì)算的交互式軟件系統(tǒng).它以矩陣作為數(shù)據(jù)操作的基本單位,提供數(shù)值計(jì)算函數(shù),具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算與分析功能. MATLAB 與符號計(jì)算語言Maple結(jié)合,從而具有符號計(jì)算功能. MATLAB還具有繪圖功能,也可以對圖形進(jìn)行修飾和控制,其數(shù)據(jù)處理能力和工具箱亦使得用它編程比傳統(tǒng)的編程問題容易、簡便[1].因此, MATLAB既是一種編程環(huán)境,又是一種程序設(shè)計(jì)語言,與高級程序語言C和Fortran相比更加數(shù)學(xué)化,使用起來也更方便,但是MATLAB是解釋性語言,程序執(zhí)行速度較慢,而且不能脫離MATLAB環(huán)境而獨(dú)立運(yùn)行.

1.2 用MATLAB模擬電偶極子場分布的優(yōu)點(diǎn)

首先用MATLAB可以實(shí)現(xiàn)模擬電偶極子周圍場分布,以實(shí)現(xiàn)物理模型的可視化.其次，給定空間任意一點(diǎn)坐標(biāo)，即可用給定的公式計(jì)算這一點(diǎn)的電位，對電位求梯度可得到空間任意一點(diǎn)的場強(qiáng)表達(dá)式.再次，可以用MATLAB實(shí)現(xiàn)電偶極子近區(qū)場分布的模擬以及遠(yuǎn)區(qū)輻射場的模擬，這對于充分理解電偶極子的場分布具有重要的作用.

2 偶極子簡介

2.1 電偶極子

電偶極子是指一對等值異號的點(diǎn)電荷相距一微小距離所構(gòu)成的電荷系統(tǒng)，它是一種常見的場源存在形式.它同點(diǎn)電荷、分子電流等一樣是電磁學(xué)中的一個(gè)重要物理模型.特別是在電介質(zhì)極化理論及天線理論中,電偶極子是一個(gè)基本模型[2].

2.2 電偶極子激發(fā)的遠(yuǎn)區(qū)場

圖1表示中心位于坐標(biāo)系原點(diǎn)上的一個(gè)電偶極子，它的軸線與z軸重合，兩個(gè)點(diǎn)電荷q和-q間的距離為L.此電偶極子在場點(diǎn)P處產(chǎn)生的電位等于兩個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)的電位之和，即

(1)

其中r+與r-分別是q和-q到P點(diǎn)的距離.

圖1 電偶極子

一般情況下，我們關(guān)心的是電偶極子產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)場，即電偶極子到場點(diǎn)的距離r遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于偶極子長度L的情形，此時(shí)可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)表達(dá)式

(2)

可見電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電位與qL成正比，與r的平方成反比，并且和場點(diǎn)位置矢量r與z軸的夾角θ有關(guān).

為了便于描述電偶極子，引入一個(gè)矢量p，該矢量的模p=qL，方向由-q指向q，稱之為此電偶極子的電矩矢量，簡稱為偶極矩，記作

p=qL

(3)

此時(shí)式(2)又可以寫成

(4)

電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度可由式(4)(球坐標(biāo)系)求梯度得到.因電位φr只是坐標(biāo)r和θ的函數(shù)，于是有

E=-

(5)

從式(4)和式(5)可以看到，電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電位和電場分別與r的平方和r的三次方成反比.因此，其電位和場強(qiáng)隨距離r的下降比單個(gè)點(diǎn)電荷更為迅速，這是由于兩個(gè)點(diǎn)電荷q和-q的作用在遠(yuǎn)區(qū)相互抵消的緣故.

根據(jù)式(4)，電偶極子的等電位面方程可由式(2)為定值得到.

將電場線微分方程寫成球坐標(biāo)形式，并注意此時(shí)電場只有r和θ兩個(gè)分量，有

(6)

把電場表達(dá)式(5)帶入式(6)，得

(7)

解式(7)得

(8)

式(8)即是電偶極子遠(yuǎn)區(qū)場的電場線方程.

圖2繪出了電偶極子在φ為常量的平面內(nèi)，式(8)取不同的常量所對應(yīng)的等電位線和電場線.

圖2 電偶極子的電場線與等位線

需要說明的是圖中準(zhǔn)確的只是電場線的形狀，電場線的疏密并不嚴(yán)格與場強(qiáng)成正比，只是疏的地方場強(qiáng)小些，密的地方場強(qiáng)大些而已.

前面討論了電偶極子的中點(diǎn)位于坐標(biāo)系原點(diǎn)且偶極矩方向?yàn)閦方向的情況.對于中點(diǎn)不在原點(diǎn)和偶極矩非z方向的一般情況，通過與前面類似的推導(dǎo)，可以得到遠(yuǎn)區(qū)的電位

(9)

其中，er是電偶極子中心指向場點(diǎn)P的相對單位位置矢量，偶極矩p=qL，L的方向依然規(guī)定為從-q到q.

經(jīng)推導(dǎo)還可得到遠(yuǎn)區(qū)場的電場強(qiáng)度表達(dá)式

E=-

(10)

由式(10)可以看出,電偶極子的電場線均分布于子午面上,即由r,θ構(gòu)成的平面上,并且任意一個(gè)子午面上的電場線分布都相同.

從以上幾種不同情況下電偶極子在空間激發(fā)的電場結(jié)果來看, 電場強(qiáng)度與p=qL成正比, 與源點(diǎn)到場點(diǎn)的距離r的三次方成反比,電偶極子在遠(yuǎn)處的性質(zhì)是由其電偶極矩來表征的. 電偶極矩是電偶極子的重要特征. 研究電偶極子在空間激發(fā)的電場為分析電介質(zhì)的極化現(xiàn)象、電磁波的發(fā)射、吸收以及輻射等奠定了重要的理論基礎(chǔ).

3 MATLAB軟件模擬電偶極子過程

3.1 建立模型

空間任意一點(diǎn)的電位為

在直角坐標(biāo)系中可確定r+及r-與空間任意位置坐標(biāo)的關(guān)系

(11)

因此，只要給定空間任意一點(diǎn)的位置坐標(biāo)P(x，y，z)，就可以算出這一點(diǎn)的電位.

3.2 流程圖

程序流程圖如圖3所示，其主要步驟如下.

圖3

3.3 演示程序及圖形

用MATLAB模擬電偶極子場分布(二維情況)的程序(略).

用MATLAB模擬電偶極子場分布(三維情況)的程序如下：

clear;

b=1.5;

x=-10∶0.6∶10;

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=(1./rp-1./rn);

clf;

surf(X,Y,U)

box on

axis tight

alpha(0.8)

shading interp

hold on

plot3([0;0],[1.5;-1.5],[0;0],′r′,′LineWidth′,1)

plot3(0,1.5,0,′ro′,0,1.5,0,′r+′)

plot3(0,-1.5,0,′ro′,0,-1.5,0,′r-′)

title(′電偶極子電勢三維分布′,′FontSize′,16)

xlabel(′X′,′FontSize′,16)

ylabel(′Y′,′FontSize′,16)

zlabel(′U′,′FontSize′,16)

u=0.5∶0.25∶3;

由以上程序所得到的圖形如圖4所示.

圖4 電偶極子電勢三維分布圖形

4 結(jié)果分析

本文得到的電偶極子的場分布圖形既形象又直觀，模擬的過程簡單易懂.在電磁場輻射研究中, 由于電磁場的不可觸和不可視性, 使理論過于抽象.電偶極子是研究電磁場輻射過程中最具代表性的物理模型, 如果我們充分地理解了電偶極子的輻射, 就可以更加深入了解電磁波輻射.本文的分析無論用于電磁場輻射的理論研究與說明, 還是用于相關(guān)物理現(xiàn)象的探索, 都是非常有意義的.在條件許可的情況下, 也可以用于教學(xué)課堂的演示,從而把復(fù)雜的物理現(xiàn)象直觀地展示出來.

5 需要的改進(jìn)

通過計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì),我們對計(jì)算機(jī)編程技術(shù)有了一定的了解,并且對電偶極子這個(gè)最基本的物理模型也有了較為深入的認(rèn)識.雖然用MATLAB得到了電偶極子的輻射模型,結(jié)果較為理想,但覺得這些程序還有一些需要改進(jìn).

(1)本文得到的電偶極子的場分布圖形是靜態(tài)的,另外,本次設(shè)計(jì)得到的圖形并不十分精確,而僅是給出了電場線的大體形狀,因此,如果我們能夠得到更加精確的圖像，將更加具有現(xiàn)實(shí)意義.

(2)模擬出來的圖形如果能夠采用動畫的形式播放,既可以用于教學(xué),又可以給人以視覺上的享受,把抽象的問題具體化、圖形化.

參考文獻(xiàn)

1 高會生.MATLAB原理與工程應(yīng)用(第1版).北京：電子工業(yè)出版社，2006.107～130

2 陳重.電磁場理論基礎(chǔ) (第3版).北京：北京理工大學(xué)出版社,2003.63～70

3 陳軍, 田亞蘭, 于成，等．ScienceWord軟件輔助高中物理教學(xué)實(shí)踐的初級應(yīng)用．物理教師，2009(2)：39～40