基于小波模極大值的測井信號濾波

董璐璐，房文靜，徐靜

（中國石油大學(xué)理學(xué)院，山東青島266555）

基于小波模極大值的測井信號濾波

董璐璐，房文靜，徐靜

（中國石油大學(xué)理學(xué)院，山東青島266555）

脈沖中子－中子測井（PNN）熱中子計數(shù)率曲線濾波處理是獲取有效地層宏觀俘獲截面值的研究基礎(chǔ)。針對PNN測井信號受到統(tǒng)計起伏的噪聲干擾問題，在分析小波變換模極大值特性的基礎(chǔ)上，分析PNN測井信號和干擾噪聲的小波變換模極大值在不同尺度上的傳播特性，建立PNN測井信號小波變換模極大值去噪算法。以油田某井為例，實現(xiàn)對PNN測井短源距計數(shù)率曲線的濾波處理。結(jié)果表明，基于小波變換模極大值的濾波方法能夠有效去除PNN測井信號噪聲干擾，提高測井信號的信噪比。

脈沖中子－中子（PNN）測井；濾波；多尺度分析；小波變換模極大值；信噪比

0 引 言

脈沖中子－中子測井儀［1］（Pulsed Neutron－Neutron，簡稱PNN）由奧地利HOTWELL公司生產(chǎn)，通過遠(yuǎn)、近2個3He計數(shù)管探測熱中子，由熱中子時間譜求取地層宏觀俘獲截面，進(jìn)而求取含水飽和度。該技術(shù)檢測的是未被地層俘獲的熱中子，其數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于地層俘獲的熱中子數(shù)目，因此避免了伽馬射線統(tǒng)計誤差的影響。但是，由于其計數(shù)效率較低，導(dǎo)致熱中子計數(shù)率統(tǒng)計起伏較大。為了減少熱中子計數(shù)率的統(tǒng)計起伏，提高測井資料的可信性，需要對PNN測井曲線進(jìn)行濾波處理，以提高測井曲線的縱向分辨率。

目前常用的測井信號濾波方法是基于經(jīng)典傅氏變換的去噪方法和在傅氏變換延伸出來的濾波方法［2］，雖然可以濾除高頻干擾成分，但是無法對測井信號進(jìn)行多尺度分析。近年來，小波理論由于其良好的時頻特性，在信號分析和圖像處理等方面得到廣泛的應(yīng)用，并且取得了良好的效果。以小波變換為基礎(chǔ)的時變信號去噪方法利用信號和噪聲表現(xiàn)出的完全不同的特性進(jìn)行時頻處理，通過對高頻部分進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚砭涂梢赃_(dá)到去噪的目的。

本文利用小波系數(shù)模極大值算法及交錯投影法（AP）重構(gòu)算法，對PNN測井SSN曲線進(jìn)行濾波處理，在獲得較高信噪比的同時，有效保留了信號的突變性質(zhì)，取得比較滿意的效果。

1 PNN測井信號的模型建立

PNN測井基本原理［3－4］是利用脈沖中子發(fā)生器向地層發(fā)射能量為14MeV的快中子，經(jīng)過一系列的非彈性碰撞和彈性碰撞過程，當(dāng)中子能量與組成地層的原子處于熱平衡狀態(tài)時，中子不再減速，變?yōu)闊嶂凶?。此時它的能量是0.025eV，熱中子在地層中擴散并與原子核發(fā)生俘獲輻射核反應(yīng)。其中中子源發(fā)射脈沖寬度為1～3μs，而探測器時間譜每30 μs為1道，記錄30～1 800μs的熱中子計數(shù)，發(fā)射脈沖間隔為75ms。

PNN測井長短源距分別為72.5cm和42.5 cm，實際測井得到的是長源距計數(shù)率曲線（LSN）和短源距計數(shù)率曲線（SSN）。含噪PNN測井信號模型可表示為

式中，f′（x）為原始測井信號；f（x）為有用測井信號；e（x）可看作高斯白噪聲。將含噪測井?dāng)?shù)據(jù)f′（x）進(jìn)行多尺度小波變換，然后在各尺度下提取有用信號的小波系數(shù)而去除屬于噪聲的小波系數(shù)，最后進(jìn)行多尺度重構(gòu)，從而得到有用信號f（x）的一個最優(yōu)逼近信號，以達(dá)到去噪的目的。

2 小波模極大值去噪算法

2.1 函數(shù)的奇異性

信號在某處通常不連續(xù)或某階導(dǎo)數(shù)有間斷，這些點通常包含了信號的重要信息，經(jīng)常用Lipschitz指數(shù)表征信號的這種突變特征。如果函數(shù)x（t）在t0附近滿足條件

則稱函數(shù)x（t）在t0處的奇異性指數(shù)為α。α值越大，函數(shù)越光滑；反之，則越奇異。

2.2 信號和噪聲在小波變換下的特性

根據(jù)小波變換與刻劃信號奇異性的Lipschitz指數(shù)之間的密切關(guān)系，可通過小波變換確定信號的奇異點位置［5］。

Mallat已經(jīng)證明［6］，如果f（x）在［a，b］上的小波變換滿足｜Wf（s，x）｜≤Asα，其中A是常數(shù)，Wf（s，x）表示在尺度s下的小波變換，則f（x）在［a，b］上的Lipschitz指數(shù)為α。當(dāng)s＝2j時，有｜Wf（j，x）｜≤A（2j）α，對兩邊同時取對數(shù)，則有

從式（3）可見，α＞0時，信號的小波變換的模極大值隨尺度j的增大而增大；α＜0時，信號小波變換的模極大值隨尺度j的增大而減??；α＝0時，信號小波變換的模極大值不隨尺度j的變化而變化。

一般而言，測井信號的Lipschitz指數(shù)往往大于0，噪聲對應(yīng)的Lipschitz指數(shù)是小于0的。信號在不同尺度上的小波變換模極大值包含了信號中最重要的信息，這是基于小波變換模極大值進(jìn)行信號突變點檢測的基本依據(jù)［7］。對測井信號進(jìn)行小波變換時，隨分解尺度的增加，有用信號的小波變換模極大值增大，而噪聲的小波變換模極大值將減小。即在小波變換下，PNN測井信號和噪聲隨尺度的傳播特性截然相反。利用信號和噪聲這種截然不同的特性，可以達(dá)到去除噪聲的目的。

2.3 去噪算法

噪聲的小波變換系數(shù)模極大值隨尺度增加而減小，因而在較大尺度上保留下來的是有用信號的小波變換模極大值。具體算法步驟為

（1）選取最優(yōu)小波基及分解尺度，對原始測井信號進(jìn)行二進(jìn)小波多尺度分解。分解尺度小，有用信號與噪聲的小波系數(shù)沒有完全分開，會生成許多偽極大值點；尺度過大，有用信號的局部特征可能被去除。合適的分解層數(shù)應(yīng)該兼顧2個方面，既可很好地去除噪聲的影響，又能盡量地保留有用信號，分解尺度j一般選擇3～5層為宜，求出每一尺度j上的模極值點的位置。

（2）求出最大尺度j上的小波變換模極大值點。選擇閾值thr，將小于閾值的模極大值點置0。

（3）在尺度j－1上尋找最大尺度j上的模極大值點的傳播點，保留由信號產(chǎn)生的極大值點，去除噪聲極大值點。

（4）在尺度j的模極大值點位置構(gòu)造1個鄰域O（nji，εj），其中nji為尺度j上的第i個極大值點；εj為與尺度有關(guān)的常數(shù)。在尺度j－1上保留落在鄰域內(nèi)的極大值點，去除落在鄰域外的極大值點。從而得到尺度j－1上的極大值點。重復(fù)以上步驟，得到其余尺度上的極大值點，直到j(luò)＝2為止。

（5）在j＝2的極大值點的位置上保留j＝1的極大值點，將其余位置上的極大值點置0。

（6）根據(jù)每一尺度上保留下來的小波變換模極大值，選擇交錯投影法（AP），對測井信號進(jìn)行重構(gòu)。

2.4 信號重構(gòu)方法

利用多尺度邊緣重建算法恢復(fù)原始信號，即直接利用各尺度上的小波變換模極大值及其位置重構(gòu)信號［8］，會產(chǎn)生很大的誤差。具體做法是在尋找各個尺度上的模極大值點時，把極大值點以外的小波系數(shù)全部置0，再對模極大值點進(jìn)行取舍。本文利用Mallat提出的經(jīng)典AP算法［6］重構(gòu)小波系數(shù)，可以減小重構(gòu)過程中誤差的產(chǎn)生。利用各個尺度上保留下來的小波變換模極大值對小波系數(shù)進(jìn)行小波系數(shù)重構(gòu)，對小波系數(shù)進(jìn)行逆變換，得到濾波后的信號。

3 實例研究

3.1 算法的正確性驗證

為驗證小波變換模極大值去噪算法的正確性，選取MATLAB中自帶的leleccum信號進(jìn)行驗證。

在信號leleccum中加入隨機的噪聲，采用db4小波進(jìn)行j＝4層多尺度分解。圖1（a）是原始圖像leleccum圖，圖1（b）是加噪的圖像，圖1（c）是濾波后的圖像。從圖1（c）可見，小波變換模極大值方法可以有效去除隨機噪聲，并很好地保留信號的細(xì)節(jié)信息，這就為利用小波變換模極大值方法對PNN測井信號濾波提供了理論依據(jù)。

圖1 算法驗證效果圖

3.2 最大尺度上閾值的選取

閾值的選取，應(yīng)以能在最大尺度j上將對應(yīng)于信號和對應(yīng)于噪聲的模極大值分開為原則。閾值的選取應(yīng)根據(jù)信號和噪聲的具體特性，尤其是希望閾值的選取能根據(jù)SNR具有自調(diào)節(jié)功能。通常取

式中，thr值的選取沒有考慮到噪聲的影響因素，如果閾值thr偏大，有用信息損失過多，誤差隨之增大；如果閾值thr太小，噪聲沒有剔除干凈，達(dá)不到去噪的目的。

在最大尺度上設(shè)定合適的閾值，以確定最大尺度上應(yīng)該保留的模極大值點，令

式中，C是一個可以任意調(diào)節(jié)的參數(shù)，根據(jù)噪聲和信號的具體特性確定，若信號的信噪比SNR較大，有用信號的模極大值幅值也較小，C應(yīng)該盡量小一點，就可以很好地將噪聲消除；反之，C應(yīng)該大一點。

3.3 鄰域的選擇

信號的去噪質(zhì)量易受各尺度下信號模極大值的影響，因此，合適的選取鄰域尤為關(guān)鍵。

鄰域εj需要根據(jù)信號的具體特征進(jìn)行選擇（見表1）。一般地，小尺度上，小波變換模極大值分布比較密集，可以選取小的鄰域值，保證不會漏掉有用信號的模極大值點；尺度的增加導(dǎo)致小波變換模極大值點分布越來越稀疏，鄰域的選取應(yīng)該適當(dāng)加大。

表1 鄰域的選擇

則認(rèn)為x′0和x0是噪聲對應(yīng)的極值點而被去掉，否則將作為1個點而保留（x′0，x0）。重復(fù)該過程到第2層。

鄰域ε4、ε3的值選擇太大，候選傳播點過多，難以確定真正有用的模極大值點；太小，會把有用信息的小波變換模極大值去除掉，誤差會隨之增大。本文選取的最佳鄰域值為ε4＝4；ε3＝3。

3.4 實例分析

基于以上分析及算法，采用db4小波基對某井PNN短源距采集到的SSN測井曲線進(jìn)行j＝4層濾波處理。圖2為不同尺度上細(xì)節(jié)系數(shù)及近似系數(shù)圖，縱坐標(biāo)為小波變換尺度，橫坐標(biāo)為深度。由圖2可見，對原始測井信號成功進(jìn)行了信噪分離。d1、d2、d3、d4為信號的細(xì)節(jié)系數(shù)，主要為噪聲部分，并且是很不規(guī)則的?？梢钥闯?，噪聲主要分布在較小的尺度上。a1、a2、a3、a4為信號的低頻信息，隨著分解層數(shù)的增加，信號的發(fā)展趨勢表現(xiàn)得越來越明顯，高階的曲線明顯得比低尺度的曲線平滑得多，因而更能反映信號的真實性和穩(wěn)定性。

圖2 不同尺度上近似系數(shù)及細(xì)節(jié)系數(shù)圖

圖3為信號的不同尺度上尺度模極值傳播點位置圖?？梢钥闯?，隨著尺度的不斷增加，小波變換模極大值點分布越來越稀疏，這是因為噪聲對應(yīng)的模極大值點被剔除了，對應(yīng)有用信息的較大的模極大值點被保留的緣故。

圖4為處理后的小波變換模極大值點傳播圖。由圖4清晰地看出，通過選取合適的閾值和鄰域，應(yīng)用上述的模極大值點處理方法，可以有效去除噪聲產(chǎn)生的模極大值點。

圖5為重構(gòu)信號及誤差圖。從圖5可以明顯看出，原始SSN曲線經(jīng)過小波變換模極大值濾波之后，可以有效去除噪聲的影響，曲線變得比較光滑，并且很好地保持了測井曲線的幾何形狀和幅值等信息，有用信號的位置更加明顯。

4 結(jié) 論

（1）根據(jù)PNN測井信號和噪聲的小波變換模極大值在小波各個分解尺度上的不同傳播特性，建立了一種基于小波變換模極大值的PNN測井信號濾波方法。

（2）計算結(jié)果表明，基于小波變換的模極大值法可以較好地去除測井信號的噪聲影響，保留有用信息，且重構(gòu)信號誤差很小，是一種比較理想的濾波方法。

（3）小波模極大值處理時閾值、鄰域的選擇確定比較困難，在選擇方法上應(yīng)進(jìn)一步研究。

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Logging Signals Filter Based on Wavelet Modulus Maximum

DONG Lulu，F(xiàn)ANG Wenjing，XU Jing
（College of Science，China University of Petroleum，Qingdao，Shandong 266555，China）

On the basis of thermal neutron count curve filter in Pulsed Neutron－Neutron（PNN）logging，the effective formation macroscopic capture cross section can be obtained.Because the interference of statistic fluctuation on PNN logging signals，the spread characteristics of wavelet transform modulus maximum of the signals and noise in different scales are discussed based on the investigation of modulus maximum characteristics.Proposed is an effective PNN logging signals preprocessing method——wavelet transform modulus maximum filtering method.For case study，PNN logging SSN curves in a well are filtered by db4wavelet.The practical application result shows that the wavelet modulus maximum effectively removes the noise and improves the signal to noise ratio of PNN logging signals.

pulsed neutron－neutron（PNN）logging，filter，multi－scale analysis，wavelet transform modulus maximum，signal to noise ratio

P631.84 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

國家自然科學(xué)基金資助項目（40774058）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助（11CX04064A）；山東省自然科學(xué)基金（ZR2011DM002）

董璐璐，女，1987年生，碩士研究生，主要從事測井方法與應(yīng)用研究。

2011－09－19 本文編輯 王小寧）