決定飽和巖土材料變形的有效應(yīng)力及孔壓系數(shù)

陳晶晶 ，雷國輝

（1.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098；2.河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所，南京 210098； 3.鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司地質(zhì)路基設(shè)計(jì)處，天津 300251）

1 引 言

有效應(yīng)力原理是將巖土材料多相（孔）介質(zhì)應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)化為單相介質(zhì)應(yīng)力狀態(tài)，以便于運(yùn)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)解決巖土材料變形和強(qiáng)度問題的一種固體力學(xué)或熱動(dòng)力學(xué)等效方法[1－4]，如圖1 所示。有效應(yīng)力是決定巖土材料變形和強(qiáng)度的應(yīng)力狀態(tài)變量或其組合。有效應(yīng)力表達(dá)式給出了有效應(yīng)力與應(yīng)力變量（比如總應(yīng)力和孔壓等）之間的關(guān)系，取決于是變形等效還是強(qiáng)度等效[1,5－8]。

圖1 有效應(yīng)力原理示意圖 Fig.1 Schematic diagram of the principle of effective stress

對(duì)于飽和巖土材料，雷國輝等[1]已從強(qiáng)度等效的角度，運(yùn)用摩擦學(xué)中的黏著摩擦理論，分析了其有效應(yīng)力的表達(dá)式。本文則從變形等效的角度，分析飽和巖土材料的有效應(yīng)力表達(dá)式，同時(shí)，也分析了Skempton[9]的孔壓系數(shù)B 的表達(dá)式。

2 既有研究成果的歷史回顧與評(píng)述

2.1 有效應(yīng)力表達(dá)式

De Boer 等[10]追溯了有效應(yīng)力概念從萌芽到成形階段的歷史進(jìn)程。雖然在Terzaghi 之前，一些學(xué)者通過試驗(yàn)研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了飽和巖土材料中的孔壓對(duì)其變形和強(qiáng)度特性的某些影響機(jī)制[5－6,10]，但Terzaghi 被公認(rèn)為是有效應(yīng)力概念的創(chuàng)始人已是不爭(zhēng)的事實(shí)。早在1923 年，他就應(yīng)用了有效應(yīng)力的概念建立了一維固結(jié)理論[11]。在1936 年第1 屆土力學(xué)與基礎(chǔ)工程國際會(huì)議上，他創(chuàng)造性地提出了有效應(yīng)力一詞[12]，明確地定義了有效應(yīng)力表達(dá)式：

式中：σ′為法向有效應(yīng)力；σ 為法向總應(yīng)力；u 為孔壓。而且更為重要的是，他清晰地賦予了其內(nèi)涵，即巖土材料的壓縮、變形和抗剪強(qiáng)度由有效應(yīng)力所決定[12]。與 σ = σ′+ u的書寫形式相比，式（1）能夠更好地體現(xiàn)出有效應(yīng)力原理和有效應(yīng)力概念的內(nèi)涵。雖然Terzaghi 當(dāng)時(shí)并未給出表達(dá)式（1）的理論證明，但有效應(yīng)力概念自此已成為現(xiàn)代巖土力學(xué)的里程碑和奠基石。

在強(qiáng)度等效方面，式（1）普遍適用于巖石、混凝土、土（除高塑性黏土[13]尚未有定論外）等飽和巖土材料[1]。不過，在變形等效方面，理論和試驗(yàn)研究成果已經(jīng)證明[5－6,10,14－16]，式（1）并不適用于所有巖土材料，只有當(dāng)固相和非黏性液相[10]的壓縮性與骨架的壓縮性相比可以認(rèn)為是不可壓縮時(shí)式（1）才適用。

在為數(shù)不少的土力學(xué)教材中，有效應(yīng)力常常被理解為是單位土體截面積上的粒間接觸力，其表達(dá)式為

式中：sN 為作用在粒間的法向接觸力；N 為作用在土體的法向力；A 為土體的截面積；sA 為相應(yīng)土粒間的接觸面積；a 為粒間接觸面積比，即粒間接觸面積與土體截面積的比值。而式（1）也常常被理解為是式（2）當(dāng)粒間接觸面積比a 可忽略不計(jì)時(shí)的特例。

值得注意的是，式（2）中的σ ′= Ns/A 并不是單位粒間接觸面積上的粒間接觸力 Ns/As，即，不是真實(shí)的粒間接觸應(yīng)力，而是與滲流問題中的假想平均流速類似的假想粒間接觸應(yīng)力。幸運(yùn)的是，假想平均流速因Darcy 定律而具有其存在意義；但假想粒間接觸應(yīng)力至今卻未發(fā)現(xiàn)其存在價(jià)值。Singh等[17]通過力學(xué)分析推導(dǎo)了真實(shí)的粒間接觸應(yīng)力，其算例分析顯示，如果粒間接觸面積比a 可忽略不計(jì)的話，真實(shí)的粒間接觸應(yīng)力則要比假想的粒間接觸應(yīng)力大得多。當(dāng)然，這也是預(yù)料之中的結(jié)果。

另外，Bishop 等[18]的理論分析和三軸不排水試驗(yàn)結(jié)果、Skempton[5]的高壓固結(jié)試驗(yàn)和三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果、以及Bishop 等[19]的三軸排水試驗(yàn)結(jié)果，均已證明，式（2）不是決定飽和巖土材料變形和強(qiáng)度的有效應(yīng)力。

更為重要的是，無論是假想的粒間接觸應(yīng)力 （式（2）），還是真實(shí)的粒間接觸應(yīng)力（比如：文獻(xiàn)[17]），僅僅在力的平衡基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，并沒有體現(xiàn)有效應(yīng)力原理和有效應(yīng)力概念的真正內(nèi)涵，即沒有體現(xiàn)是強(qiáng)度等效或是變形等效、沒有體現(xiàn)巖土材料的壓縮、變形和抗剪強(qiáng)度由有效應(yīng)力所決定。

而更為令人可惜的是，Lade 等[6]通過文獻(xiàn)檢索到的另外2 種有效應(yīng)力表達(dá)式：σ ′= σ- nu（ 由n= 1 - a代入式（2）得到，其中n 為孔隙率）及σ ′= σ- η u（其中 n ≤η ≤ 1），以及李廣信[20]和陳愈炯[21]列舉批評(píng)的其他形式的有效應(yīng)力表達(dá)式，如基于所謂的水壓率概念得到的 σ′ = (σ - nu )/(1 - n)，甚至只是憑直覺構(gòu)造的[6]或是在錯(cuò)誤的理解和推導(dǎo)基礎(chǔ)上得到的有效應(yīng)力[20－21]。

真正從變形等效的角度、通過理論分析來推導(dǎo)有效應(yīng)力的表達(dá)式并不多見。研究的思路主要是通過在假設(shè)材料內(nèi)部孔隙連通（相應(yīng)的孔隙率n 為有效孔隙率）的基礎(chǔ)上，將不排水條件下圍壓（總應(yīng)力）與孔壓作用引起飽和巖土材料固相和液相的壓縮導(dǎo)致的骨架體積變形，等效為排水條件下圍壓（有效應(yīng)力）作用引起飽和巖土材料的骨架體積變形，建立兩者之間的等效關(guān)系，以推求得到有效應(yīng)力的表達(dá)式。之所以選擇體積變形而非剪切變形或形狀變形，是由于一般的飽和巖土材料中的非黏性液相不能承受剪應(yīng)力且孔壓不影響土骨架的剪切變形。

按照上述思路，Skempton[5]、Nur 等[22]、Bishop[23]通過理論分析和試驗(yàn)驗(yàn)證得到了一致的有效應(yīng)力表達(dá)式[6]。其中，Bishop 的理論分析相對(duì)簡(jiǎn)潔且最為詳細(xì)。分析中隱含定義了液相的體積壓縮系數(shù)wC 、固相的本征體積壓縮系數(shù)gC 以及排水條件下骨架的體積壓縮系數(shù)skC ，如下：

式中：wV 、gV 和0V 分別為飽和巖土材料液相、固相和骨架的體積； VΔ 為體積增量； uΔ 為孔壓增量；σΔ 為圍壓增量，下標(biāo)w、g、sk 和d 分別表示液相、固相、骨架和排水條件。

按照上述定義，Bishop[23]分析了不排水條件下受到圍壓增量 σΔ 作用時(shí)，分別由如圖2 中等號(hào)右邊所示的孔壓增量 uΔ 作用和?？讐骸魢鷫涸隽? σΔ - )uΔ 作用引起的液相、固相和骨架的體積增量，如表1 第3 列所示，其中：下標(biāo)u 和s 分別表示孔壓增量 uΔ 和凈圍壓增量( )uσΔ -Δ 作用。

圖2 圍壓與孔壓作用的分析 Fig.2 Analysis of the actions of cell pressure and pore pressure

表1 Bishop[23]、Lade 等[6]對(duì)變形的分析 Table 1 Deformation analysis by Bishop[23], Lade and de Boer[6]

表1第3列中的 wVΔ 、guVΔ 和 sksVΔ 值由式（3）～（5）直接確定。對(duì)于 skuVΔ 值，Bishop[23]認(rèn)為，孔壓增量引起的骨架體積應(yīng)變與孔壓增量引起的固相體積應(yīng)變相等，因此，有

則有

另外，對(duì)于 gsVΔ 值，他假設(shè)孔隙隨機(jī)分布，則面積孔隙率與體積孔隙率相等（其數(shù)學(xué)證明可參見文獻(xiàn)[24－25]），因此，固相的接觸面積占骨架截面面積的比值 a = (1 - n)，當(dāng)骨架受到凈圍壓增量作用時(shí)，施加在固相上的平均球應(yīng)力增量為( Δσ - Δu )/ (1 - n)，它所引起的固相體積增量為

按照不排水條件下在總應(yīng)力和孔壓作用下的骨架變形，即孔壓增量和凈圍壓增量引起的骨架體積增量之和（如圖2 所示），與排水條件下在有效應(yīng)力作用下的骨架變形等效，即變形等效的原則，可得

因此，Bishop[23]得到的有效應(yīng)力表達(dá)式為

Lade 等[6]則為區(qū)別孔壓增量和凈圍壓增量作用引起的體積增量而定義了相應(yīng)的固相體積壓縮系數(shù)Cgu和 Cgs，以及相應(yīng)的骨架體積壓縮系數(shù) Csku和Csks，其表達(dá)式為

按照上述定義，Lade 等[6]分析了不排水條件下在圍壓增量 σΔ 作用下分別由孔壓增量 uΔ 和凈圍壓增量( )uσΔ -Δ 引起的液相、固相和骨架的體積增量，如表1 第4 列所示。

按照變形等效的原則：

因此，其一般形式的有效應(yīng)力表達(dá)式為

對(duì)于粒類土，Lade 等[6]引用前述Bishop[23]的 “孔壓增量引起的骨架體積應(yīng)變與孔壓增量引起的固相體積應(yīng)變相等”（即式（6））的觀點(diǎn)，但錯(cuò)誤地將應(yīng)變相等理解為體積增量相等，即認(rèn)為

由式（11）、（12）得

代入式（16）得到粒類土的有效應(yīng)力表達(dá)式為

對(duì)于堅(jiān)硬巖石，Lade 等[6]認(rèn)為， Csku= Cgu，得到其有效應(yīng)力表達(dá)式為

2.2 孔壓系數(shù)B 的表達(dá)式

上述關(guān)于液相、固相和骨架的變形分析不僅為推求有效應(yīng)力表達(dá)式提供了依據(jù)，也為推求Skempton[9]定義的不排水條件下圍壓作用引起飽和巖土材料的孔壓系數(shù)B 值（ B =Δu /Δσ ）提供了依據(jù)。

按照骨架體積增量與固相和液相的體積增量之和相等的原則，即

根據(jù)表1，Bishop[23]推求的孔壓系數(shù)B 的表達(dá)式為

Lade 等[6]推求的孔壓系數(shù)B 的表達(dá)式為

2.3 存在的問題

對(duì)比Lade 等[6]與Bishop[23]的分析方法可知，對(duì)于液相的體積壓縮系數(shù) Cw和凈圍壓增量作用下骨架的體積壓縮系數(shù) Csks和 Csk，他們的定義是相同的。但前者認(rèn)為，孔壓增量引起的固相體積壓縮系數(shù) Cgu、孔壓增量引起的骨架體積壓縮系數(shù) Csku、凈圍壓增量引起的固相體積壓縮系數(shù) Cgs這3 個(gè)變形特性參數(shù)大小不等，而后者則認(rèn)為， Cgu= Csku= Cgs并統(tǒng)一表示為 Cg。不過，兩者對(duì)于液相、固相和骨架變形分析的基本原理是完全一致的，因?yàn)椋喝魧?Cgu= Csku= Cgs統(tǒng)一表示為 Cg并代入式（16）、（23），將得到與式（10）、（22）完全相同的結(jié)果。問題在于 Cgu、 Csku、 Cgs之間到底有沒有聯(lián)系、有什么聯(lián)系？

3 固相與骨架的壓縮系數(shù)及其關(guān)系

3.1 關(guān)于Csku 與Cgu

Bishop[23]認(rèn)為，孔壓增量引起的骨架體積應(yīng)變與孔壓增量引起的固相體積應(yīng)變相等，因此，由式（6）可得式（7）。類似地，根據(jù)這一觀點(diǎn)，按照Lade 等[6]對(duì)孔壓增量作用下的固相和骨架體積壓縮系數(shù)的定義，即式（11）、（12），則應(yīng)很容易推求得到 Csku= Cgu，而非式（18）。為澄清這一觀點(diǎn)，以下給出了 Csku= Cgu的具體證明過程。

假設(shè)有如圖3 所示的模擬孔壓增量對(duì)固相和骨架變形影響的試驗(yàn)裝置，試樣1～3 是由相同固相顆粒材料組合構(gòu)成的不同骨架，其中試樣2 顆粒間點(diǎn)點(diǎn)接觸，試樣3 顆粒間存在一定的接觸面積。施加荷載使得裝置中的孔壓發(fā)生變化，試樣中顆粒的受力情況可分為兩種情況，如圖4 所示。

圖3 假想試樣和試驗(yàn)示意圖 Fig.3 Schematic diagram of hypothetical specimens and testing

首先，對(duì)孔壓作用下試樣1、2 的圓形顆粒進(jìn)行受力分析，如圖5 所示，取其中任意一個(gè)截面為研究對(duì)象，設(shè)此截面對(duì)應(yīng)的圓心張角大小為φ，則圓弧面承受的孔壓的合力的大小為

從上式可以看出，孔壓作用下試樣1 和2 的固相顆粒內(nèi)部任意截面處只有正應(yīng)力作用，大小等于孔壓。

試樣3 中固相顆粒的受力分析如圖6(a)所示，劃分截面AE 和AB 得到圖6(b)所示的脫離體。通過上述圖5 中圓形顆粒的力學(xué)分析可知，該脫離體上的應(yīng)力分布如圖6 所示，則 ulAB= σslDE+ ulCDcosθ，其中：l 為其下標(biāo)所指代線段的長(zhǎng)度； σs為粒間的接觸應(yīng)力。因?yàn)?lAB= lDE+ lCDcosθ，所以 σs= u，即粒間的接觸應(yīng)力與孔壓相等。因此，與試樣1、2一樣，試樣3 中顆粒內(nèi)任意點(diǎn)任意方向也只承受正應(yīng)力作用，大小等于孔壓。

圖5 圓形顆粒及其脫離體受力示意圖 Fig.5 Force diagram of circular grain and its free body

圖6 試樣3 中顆粒及其脫離體受力示意圖 Fig.6 Force diagram of grain and its free body of specimen 3

將上述分析推廣到一般情況可知，無論固相顆粒以什么樣的形式構(gòu)成骨架，在孔壓作用下，固相顆粒內(nèi)部的應(yīng)力與液相內(nèi)部孔壓的分布規(guī)律一樣，點(diǎn)點(diǎn)相同，各向同性且大小相等。

現(xiàn)分析孔壓增加后固相顆粒變形和骨架變形之間的聯(lián)系。由于試樣內(nèi)部任意點(diǎn)、任意方向的應(yīng)力相等，所以應(yīng)變分量也相等。這里取圖2 中的試樣2 為例，如圖7 所示，則有

即固相顆粒的應(yīng)變分量與骨架的應(yīng)變分量相等。正因?yàn)槿绱?，固相顆粒的體積應(yīng)變與骨架的體積應(yīng)變也相等。因此，孔壓增量作用下，骨架的體積變形系數(shù)與固相的本征體積變形系數(shù)相等，即

在這一點(diǎn)上，Bishop[23]的分析是合理的，而Lade 等[6]的分析是錯(cuò)誤的。

圖7 孔壓作用下固相和骨架的變形 Fig.7 Solid and skeleton deformations under pore pressure

3.2 關(guān)于Cgs 與Cgu

Bishop[23]沒有區(qū)分凈圍壓增量作用下固相的體積壓縮系數(shù)與孔壓增量作用下固相的體積壓縮系數(shù)。由式（8）的推導(dǎo)過程及其假設(shè)可知，實(shí)際上，他認(rèn)為 Cgs= Cgu= Cg。而由式（4）、（11）可知，Cgu或 Cg所表示的是在靜液壓力作用下固相材料的本征體積壓縮系數(shù)。由圖3～6 的分析可知，在靜液壓力作用下，固相顆粒內(nèi)部的應(yīng)力以及粒間接觸應(yīng)力均等于靜液壓力，即，只有正應(yīng)力的作用，而沒有任何剪應(yīng)力的作用。但在常孔壓、凈圍壓增量作用下，凈圍壓增量是作用在土骨架的周圍（如圖8 所示），而非像圖3～6 那樣直接地、均勻地作用在固相顆粒的周圍。此時(shí)，凈圍壓增量只作用在固相顆粒的一部分表面上，固相顆粒的受力情形與孔壓作用時(shí)的受力情形是不一致的，如圖9 所示。因此，固相顆粒內(nèi)部以及粒間接觸應(yīng)力除了有正應(yīng)力作用外，還有剪應(yīng)力作用，固相顆粒的體積變形是這兩種應(yīng)力作用的結(jié)果。很顯然，凈圍壓增量作用下固 相的體積壓縮系數(shù)與孔壓增量作用下固相的體積壓縮系數(shù)并不會(huì)相等，即 Cgs≠ Cgu，除非固相材料不具有剪脹或剪縮性。因此，在這一點(diǎn)上，Lade 等[6]的分析是合理的，而Bishop[23]的分析是粗略的。

圖8 凈圍壓增量作用在土骨架周圍 Fig.8 Increment of net cell pressure on the skeleton

圖9 凈圍壓增量引起的固相和骨架變形 Fig.9 Solid and skeleton deformations under increment net cell pressure

4 不排水條件下圍壓作用的體積變形

通過上節(jié)分析，則可以列出不排水條件下分別由孔壓和凈圍壓增量引起的液相、固相和骨架的體積增量（如表2 所示）。

表2 本文的體積變形分析 Table 2 Volumetric deformation analysis of this paper

5 有效應(yīng)力與孔壓系數(shù)B 的表達(dá)式

按照不排水條件下在總應(yīng)力和孔壓作用下的骨架變形，即孔壓增量和凈圍壓增量引起的骨架體積增量之和（如圖2 所示），與排水條件下在有效應(yīng)力作用下的骨架變形等效，即變形等效的原則，由表2 可得

因此，決定飽和巖土材料變形的有效應(yīng)力表達(dá)式為

另外，按照骨架體積增量與固相和液相的體積增量之和相等的原則，將表2 中的各項(xiàng)代入式（21），可得到孔壓系數(shù)B 的表達(dá)式為

6 討 論

6.1 決定變形與決定強(qiáng)度的有效應(yīng)力表達(dá)式

Skempton[5]給出了不同巖土材料的 Cgu和 Csks值，代入式（28）可知：對(duì)于飽和砂與土，1 -Cgu/Csks值近似等于1，決定變形與決定強(qiáng)度[1]的有效應(yīng)力表達(dá)式（1）基本一致，在分析其應(yīng)力-變形-強(qiáng)度關(guān)系時(shí)，式（1）是適用的；而對(duì)于飽和巖石與混凝土，式（28）與式（1）則有明顯的差別，比如，石英質(zhì)砂巖的 1 - Cgu/Csks值僅為0.54。Nur 等[22]基于砂巖和花崗巖的試驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)證明了式（28）的有效性。在飽和巖石與混凝土材料向著臨界狀態(tài)發(fā)展達(dá)到其抗剪強(qiáng)度的過程中，式（28）如何與式（1）趨于一致還有待于進(jìn)一步的研究。

6.2 關(guān)于孔壓系數(shù)B

Lade 等[6]認(rèn)為，Bishop 的孔壓系數(shù)B 的表達(dá)式（22）存在 B ＞ 1的問題，即當(dāng) Cg＞ Cw時(shí)，式（22）給出的 B ＞ 1。他們采用白塞木、椴木、聚丙烯塑料這3 種材料（滿足 Cg＞ Cw）開展了室內(nèi)試驗(yàn)，證實(shí)了B 不大于1。他們因此而認(rèn)定式（22）是不正確的。如若真是這樣的話，本文所提出的表達(dá)式（29）也將是錯(cuò)誤的。

事實(shí)上，當(dāng) Cg＞ Cw即本文中 Cgu＞ Cw時(shí)，這意味著固相的壓縮性大于液相的壓縮性，此時(shí)，材料抵抗外力作用而產(chǎn)生變形的骨架已不再是由其固相所構(gòu)成，液相則構(gòu)成材料抵抗外力作用而產(chǎn)生變形的“骨架”，如圖10 所示。

圖10 圍壓引起液相骨架的變形 Fig.10 Deformation of liquid phase skeleton under cell pressure

在這種情況下，固相就好比是懸浮于液相骨架之中。由于液相與固相不同，具有可流動(dòng)性以及靜止時(shí)孔壓傳遞的等值性（即Pascal 定律），因此，在圍壓作用下，液相骨架將承擔(dān)圍壓荷載并等值傳遞給固相，材料的內(nèi)部將不存在任何剪應(yīng)力的作用。毋庸置疑的是，若排除圍壓作用邊界上液相和固相的包裹材料的變形約束影響，孔壓將等于圍壓，孔壓系數(shù)B ≡ 1。而Lade 等[6]針對(duì)3 種gwC C＞ 材料得到B 接近于1 但非B=1 的試驗(yàn)結(jié)果，其根本原因除了他們自己坦承的試驗(yàn)精度較差外，還在于其試驗(yàn)過程中，在橡皮膜內(nèi)立方體試樣的四周放置了 1 mm 厚不銹鋼板所產(chǎn)生的變形約束作用。

對(duì)于絕大多數(shù)的巖土材料，其 Cgu值[5－6]一般介于(1～ 3) ×10-8kPa-1之間，水的 Cw值[6]約為48× 10-8kPa-1，即 Cgu＜ Cw，因此，式（29）是適用的。

7 結(jié) 論

（1）孔壓增量作用下，骨架的體積壓縮系數(shù)與固相材料的本征體積壓縮系數(shù)相等。在這一點(diǎn)上，Lade 等[6]的分析不合理。

（2）凈圍壓增量作用下，固相的體積壓縮系數(shù)并不等于孔壓增量作用下固相材料的本征體積壓縮系數(shù)。在這一點(diǎn)上，Bishop[23]的分析不合理。

（3）對(duì)于飽和砂與土，由于固相的本征體積壓縮系數(shù)遠(yuǎn)小于凈圍壓增量作用下骨架的體積壓縮系數(shù)，決定變形的有效應(yīng)力表達(dá)式與決定強(qiáng)度的Terzaghi 有效應(yīng)力表達(dá)式基本一致。而對(duì)于飽和巖石與混凝土，決定變形的有效應(yīng)力表達(dá)式與決定強(qiáng)度的Terzaghi 有效應(yīng)力表達(dá)式不同，會(huì)隨著骨架變形的發(fā)展過程而變化，如何趨于一致還有待于進(jìn)一步的研究。另外，飽和巖土材料中存在不連通孔隙時(shí)的有效應(yīng)力表達(dá)式也有待于進(jìn)一步的研究。

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