文欽若

(河北大學 河北 保定 071002)

1 電磁場的矢勢與標勢

(1)

(2)

其中A稱為電磁場的矢勢，而φ稱為電磁場的標勢.由數(shù)學公式·(×A)=0可知，式(2)中的第一式是由·B=0得到的.將B=×A代入式(1)中的第三式得

在數(shù)學中可證，一種矢量場為有勢場的充分必要條件是這種矢量場的旋度為零[1]，所以可令

這就是式(2)中的第二式.如果B不隨時間t變化，則式(2)中的第二式化為E=-φ，這時常將φ稱為電勢.當B不隨時間t變化時，根據(jù)式(1)中的第三式或根據(jù)×(φ)=0可得×E=0，所以,當B不隨t變化時的電場稱為無旋電場.顯然，靜電場是無旋電場.

2 等效描寫

如果a中的元素與b中的元素彼此對應，且已知a便可求出b，已知b便可求出a，便稱a與b等效.在式(2)中，已知A，φ便可求出B，E，但已知B，E卻不能求出唯一的A，φ，所以A，φ與B，E并不是完全等效的.為了使A，φ與B，E等效，在式(2)中便只能由A，φ求B，E，而由B，E求A，φ便應尋找其他合理的方法.下面將討論這個問題.

2.1 B場產(chǎn)生A場

(3)

(4)

其中l(wèi)為σ的邊界線.式(4)類似于安培環(huán)路定理.因此，類似于電流密度產(chǎn)生磁場強度的規(guī)律，可認為A場是由B場產(chǎn)生的.仿照畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律，可認為體積元dV內的B在距此體積元r處產(chǎn)生的dA由下式給出

(5)

式(5)對全空間積分后可求出確定的A.

2.2 E′場產(chǎn)生的φ場

根據(jù)式(5)求出A后，便可求出

則式(2)的第二式化為

(6)

可見，E′為無旋電場強度.假設體積元dV內的E′在距此體積元r處產(chǎn)生的dφ由下式給出

(7)

式(7)對全空間積分后可求出確定的φ.對于靜電場，E′=E，對于點電荷q的電場，由式(7)可得

(8)

式(8)與通常所見到的點電荷的電勢是相同的，只是在通常所見到的點電荷的電勢中可以含一個與位置無關的常量項(電勢零點)而已.通過電勢的疊加原理便可以由式(8)求出任意帶電體系的電勢φ.

3 對電磁場的兩種觀點

3.1 第一種觀點

通常認為B與E是描寫電磁場最基本的物理量，引入A與φ只是為了對某些問題的討論比較方便，而其實質并無變化.或者說，用A與φ描寫電磁場只是改變了描述方式而已，而真正起作用的仍舊是B場與E場.在這種觀點中，只用到式(2)而不考慮式(5)與式(7).由于已知B，E時，從式(2)不能求出唯一的A，φ，則說明B，E所對應的A，φ具有一定的任意性.在物理學中,總是將某種任意性下的不變性與某種對稱性聯(lián)系起來，例如，當一個物理體系繞z軸旋轉任意角度后，若物理體系的狀態(tài)保持不變，便稱這個物理體系具有軸對稱性.當由不同的A，φ可以求出相同的B，E時，便稱電磁場具有規(guī)范對稱性.在電磁學中，上述觀點并未發(fā)現(xiàn)存在任何問題.但自從A-B(Aharonov-Borm)效應[2]與A-C(Aharonov-Casher)效應被實驗驗證后，這種觀點存在的問題便顯露出來.另一方面，在×H=i中從來不將H場與i場視為對同一種場的不同描述方式，那么在×A=B中為什么要將A場與B場視為對同一種場的不同描述方式呢？

3.2 第二種觀點

這種觀點與式(5)和式(7)有關.這種觀點認為，B場與E場只是電磁場的一部分.B場與E場具有兩個明顯的特點，即攜帶能量與可以屏蔽，這兩個特點都已被實驗證實，所以，可將B場與E場稱為電磁場的有能部分.電磁場的另一個部分是A場與φ場，A場與φ場也具有兩個特點，即不攜帶能量與不可以屏蔽，所以，可將A場與φ場稱為電磁場的無能部分.下面分別對A場與φ場的兩個特點予以說明.

(1)根據(jù)式(5)可求出密繞長螺線管外A不為零(設螺線管內的B≠0)，但是由A求得螺線管外的B=0，所以，推知密繞長螺線管外的A場不攜帶能量.根據(jù)式(7)可求出在帶電導體球殼內部的φ不為零但為常量，則導體球殼內部的E=0，所以，帶電導體球殼內部的φ場不攜帶能量.在B與E以及A與φ都不為零的區(qū)域內，只要認為電磁場的全部能量都由B場與E場攜帶，則A場與φ場便不攜帶能量.

(2)在式(5)與式(7)中不含磁導率與介電常數(shù)，所以，可認為由B與E所產(chǎn)生的A場與φ場與介質無關，從而使得A場與φ場都是不可屏蔽的.A場與φ場不攜帶能量也應是導致A場與φ場不可屏蔽的原因.如果在密繞長螺線管外填入不同的介質或不均勻的介質，應不會影響螺線管外A的值；在帶電導體球殼內填入不同的介質或不均勻的介質也不應影響導體球殼內φ的值.

在上面的討論中，認為A場是由B場產(chǎn)生的，φ場是由E′場產(chǎn)生的，嚴格說來，“產(chǎn)生”一詞并不確切，這是因為A場與B場應該是同時存在的場，φ場與E′場也應該是同時存在的場之故.通常認為，質點的引力場應該是同時存在的，所以，質點與它的引力場之間的關系應該是一種結構關系而不是產(chǎn)生與被產(chǎn)生的關系.由于習慣原因，在此文中仍沿用“產(chǎn)生”一詞.

參考文獻

1 (俄)斯米爾諾夫.高等數(shù)學教材(第二卷第二分冊).孫念增譯.北京：人民教育出版社，1956.110

2 Y.Aharonov And Bohm.Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory.The Physical Review Second Series,Vol 115 No 3,August 1,1959