韓祥臨 趙振江 程榮軍莫嘉琪3)

1)(湖州師范學院理學院，湖州 313000)

2)(浙江大學寧波理工學院，寧波 315100)

3)(安徽師范大學數學系，蕪湖 241003)

(2012年11月20日收到;2013年1月18日收到修改稿)

1 引言

當前超短波脈沖激光技術正在迅速的發(fā)展，已經可以達到阿秒(10-18s)量級.飛秒(量級10-15s)的激光器已經十分成熟.它在激光受控核聚變、高密度信息存儲、精密器件加工、醫(yī)學外科手術等領域都有廣泛的應用.同時超短脈沖技術的加工，由于有能耗低、加工精確、避免附加熱損耗等特點，因而廣泛地應用在精密加工方面.對于異質結場效應晶體管等微電子器件在超高頻率運行時，由于電子和聲子將處于非平衡狀態(tài)，這將使微器件的熱阻增大，導致為電子器件的溫度升高，從而嚴重影響器件的工作性能，因此需要對電子和聲子超短脈沖激光加熱金屬薄膜的導熱溫度的研究，以尋求轉化電子和聲子溫度達到平衡過程.但其機理很為復雜，目前學者已做了許多工作[1-6].又因不同的模型只適用于描述超短脈沖激光加熱金屬薄膜的不同階段，而不能采用一個統一的模型描述完整的熱量擴展過程.所以目前對納米薄膜材料性質的研究，特別是瞬間導熱的研究，采用了超快速激光反射方法的實驗.王海東等利用飛秒激光熱反射/透熱系統測量了金屬/半導體薄膜的反射率隨時間的變化[5].然而，目前對超短波脈沖飛秒激光傳導的理論分析，也在同步研究，特別是用解析的方法來得到模型解的解析表達式，并通過數學解表示式對模型的各物理量性態(tài)作進一步的解析分析.本文就是建立一個普適模型用于描述超短脈沖激光加熱薄膜的整個導熱過程的雙溫度模型，其實驗裝置示意圖如圖1所示[1,5,6]，并用漸近方法得到其近似解析解.非線性問題在國際學術界是一個十分關注的對象.近來，很多學者做了許多工作[7-12].一些近似方法也被優(yōu)化，包括合成展開法，邊界層法，匹配法，多重尺度法等.作者等也研究了一些非線性問題，得到了相應問題解的漸近表示式[13-18].本文是利用數學的解析方法來研究一類飛秒脈沖激光電子和聲子控制導熱模型，并求出其漸近解析解.

2 飛秒脈沖激光傳導模型及其退化解

討論如下一類飛秒脈沖激光電子和聲子控制導熱模型[5,6]：

其中Te,Tl分別為電子與聲子溫度，γ,Cl分別為電子與聲子熱容，keq為初始溫度下電子的導熱系數，G為電子-聲子耦合系數，S為激光及熱過程轉化為熱源項

不妨選取參數為：R=0.57，kep=1，J=1 mW，tp=0.96 J·m-2，l=2 nm，γ=0.95×106J·m-3·K-2，δ =0.5 nm，T0=1°C，Cl=1×106J·m-3·K-1. 由(9)，(10)式可得飛秒脈沖激光退化系統(5)—(8)的電子溫度Te0(x,t)的擴散分布如圖2所示.

圖1 飛秒激光的系統實驗裝置示意圖

圖2 飛秒脈沖激光退化系統電子溫度Te(x,t)的擴散分布圖

顯然，飛秒脈沖激光電子和聲子控制系統(5)—(8)的退化解(9)，(10)式，并不是飛秒脈沖激光電子和聲子控制系統導熱模型(1)—(4)的解.為此我們還需構造系統的漸近解.

3 飛秒脈沖激光傳導模型的漸近解

我們還可證明[7,8]，在(26)，(27)式中，取m→∞時，便為飛秒脈沖激光電子和聲子控制導熱模型(1)—(4)的精確解.

4 飛秒激光傳導模型漸近解的模擬圖

現考察飛秒脈沖激光電子和聲子控制導熱模型(1)—(4)，仍選取相應的參數為

由 (9)，(10)，(24)，(25) 式得飛秒脈沖激光系統(1)—(4)的電子和聲子溫度關于ε的一次漸近解(Te1(x,t),Tl1(x,t))的擴散分布如圖3和圖4所示.

圖3 飛秒脈沖激光系統電子溫度一次漸近解Te1(x,t)的擴散分布圖

圖4 飛秒脈沖激光系統聲子溫度一次漸近解Tl1(x,t)的擴散分布圖

利用漸近解(18)，(19)式和上述模擬圖，可以分析和觀察到脈沖激光電子和聲子溫度的峰值、通量和其他物理量的趨勢等性狀，得到的結果完全符合其規(guī)律.并證實了在超短脈沖激光超快加熱薄膜的過程中，由于電子和聲子將處于非平衡狀態(tài)轉化電子和聲子溫度達到平衡過程.從漸近解(18)，(19)式和上述模擬圖，還可調整飛秒速度及脈沖激光強度和其他有關參數，使得導熱模型達到最佳狀態(tài).由上述的分析、計算過程，特別是用解析的方法來得到模型解的解析表達式，并通過數學解析表示式對模型的各物理量性態(tài)作進一步的解析分析.使得對問題有一個更深刻的了解。

由上述提供的方法還可繼續(xù)得到更高次的漸近解，并可畫出它們的模擬圖.再經過研討，可得到更精確的結果，使得模型的分析與實際情況更接近，從而能得到更滿意的結果.關于方面的討論，在此不再進一步論述.

5 結論

本文是用數學理論和方法來求解飛秒脈沖激光對鈉米金屬薄膜導熱模型得到的近似解.它可以對相應模型的實驗結果作比較，以此作為改進加工技術的依據.超短波脈沖激光加熱傳導是當前的一個尖端技術，它在許多領域中被廣泛地應用.許多學者正致力于開發(fā)更多的技術范圍.因此需要研究相關的理論，其中就需要用數學理論的方法得到有關模型的近似解.本文就是在這方面的一個探討.模型解的漸近解析表達式.所用的是漸近方法可得到任意次精度的近似解.這種方法直觀明確，并且還可以繼續(xù)用微分、積分的數學解析工具來得到更多相關物理量的性態(tài).因此在方法上很具有很廣的前展性..

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