田大增，楊忠堂，王超，哈明虎

（1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002；2.河北大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北 保定 071002）

熵是描述系統(tǒng)混亂程度的一種度量，最初應(yīng)用于熱力學(xué)中.1948年Shannon［1］為描述信息的隨機(jī)不確定性，首次將熵引入到信息論中.模糊性作為信息的另一種不確定性，能夠描述事物的“亦此亦彼”特性，擺脫了分明集“非此即彼”的限制，也逐漸受到學(xué)者的關(guān)注.為描述模糊集［2］的不確定性即模糊性，1968年Zadeh［3］首先提出了模糊熵的概念.繼而De Luca和Termini［4］于1972年提出了模糊熵的公理化定義并利用Shannon函數(shù)構(gòu)造了模糊熵的計(jì)算公式.之后 Kaufmann［5］，Yager［6］，Kosko［7］等人利用不同的方法，構(gòu)造了其他形式的模糊熵.然而，模糊熵僅限于度量模糊集的模糊性，在更為廣泛的條件下卻不適用.

1983年Atanassov［8］進(jìn)一步發(fā)展和擴(kuò)充了模糊集，提出了直覺(jué)模糊集.直覺(jué)模糊集在模糊集基礎(chǔ)上增加了一個(gè)新的屬性參數(shù)——非隸屬度，進(jìn)而可以描述“非此非彼”的模糊概念.為度量直覺(jué)模糊集的不確定性，很多學(xué)者對(duì)直覺(jué)模糊集的熵進(jìn)行了研究.1996年，Burillo和Bustince［9］首先引入直覺(jué)模糊集的熵，然而這個(gè)熵的定義與模糊熵之間不具有相容性.2001年Szmidt和Kacprzyk［10］利用距離度量，提出另一種直覺(jué)模糊集的熵的定義，在此定義中當(dāng)直覺(jué)模糊集退化為模糊集時(shí)，滿足模糊熵的公理化定義.2006年，Hung和Yang［12］通過(guò)對(duì)De Luca和Termini提出的模糊熵公理化定義擴(kuò)展，提出了2種新的直覺(jué)模糊集的熵的計(jì)算公式.

2011年，呂印超和郭嗣琮［13］指出直覺(jué)模糊集的熵應(yīng)該是模糊性與猶豫性?xún)烧叩木C合性度量即模糊度與猶豫度的綜合，進(jìn)而給出了直覺(jué)模糊集熵的新公理化定義和直覺(jué)模糊集的熵的一般形式.然而在直覺(jué)模糊集的模糊度中蘊(yùn)含了猶豫度，不能精確描述直覺(jué)模糊集的模糊性.基于此，本文進(jìn)一步討論了直覺(jué)模糊集的模糊度的公理化定義及其計(jì)算方法，并給出了直覺(jué)模糊集熵的計(jì)算公式.

1 預(yù)備知識(shí)

直覺(jué)模糊集的熵的大小取決于模糊度和猶豫度.當(dāng)不確定性相同時(shí)，直覺(jué)模糊集的熵的大小取決于模糊度；當(dāng)模糊度相同時(shí)，直覺(jué)模糊集的熵的大小取決于不確定度.容易看出，當(dāng)A退化為模糊集時(shí)，上述直覺(jué)模糊集的熵的定義與模糊集的熵的定義也是等價(jià)的.

2 模糊度的公理化定義與直覺(jué)模糊集的熵的計(jì)算公式

為描述直覺(jué)模糊集的模糊性，文獻(xiàn)［13］首次提出了模糊度（定義4）的概念.然而在某些情況下，該定義無(wú)法準(zhǔn)確的描述直覺(jué)模糊集的模糊性.

在直覺(jué)模糊集中，隸屬度μ（x）、非隸屬度ν（x）和由之得到的猶豫度π（x）是3個(gè)重要參數(shù).隸屬度、非隸屬度從不同側(cè)面反映了集合元素的模糊性，π（x）反映了集合元素的不確定性.因此，直覺(jué)模糊集的熵應(yīng)該同時(shí)表現(xiàn)這2個(gè)方面的性質(zhì).顯然，直覺(jué)模糊集的模糊性與模糊度有關(guān)，猶豫性與猶豫度有關(guān)［16］.

由文獻(xiàn)［13］可知模糊度是一種在直覺(jué)模糊集上利用隸屬度、非隸屬度對(duì)集合的模糊性的度量.當(dāng)直覺(jué)模糊集A退化為模糊集時(shí)，也就意味著A只存在模糊性，而猶豫性不存在，即猶豫度為0；且當(dāng)μA（x）＝0.5時(shí)，其模糊熵（或模糊度）達(dá)到最大值.而當(dāng)直覺(jué)模糊集B是完全直覺(jué)的，此時(shí)B只存在猶豫性，而隸屬度和非隸屬度均為0，所以不存在模糊性，即模糊度為0.

顯然與模糊度的意義相矛盾，因此對(duì)于例中所出現(xiàn)的問(wèn)題也就不難理解了.

既然模糊度作為一種利用隸屬度、非隸屬度對(duì)集合的模糊性的度量，而模糊熵也是對(duì)模糊集的模糊性的一種度量.所以不妨在直覺(jué)模糊集上對(duì)模糊熵進(jìn)行推廣，進(jìn)而得到在直覺(jué)模糊集上的模糊度的公理化定義.

當(dāng)A，B退化為模糊集時(shí)，直覺(jué)模糊集的模糊度退化成模糊集的模糊熵.

3 基于直覺(jué)模糊集熵的多屬性決策算法及案例分析

4 結(jié)論

給出了直覺(jué)模糊集的模糊度的公理化定義及其計(jì)算方法，并利用直覺(jué)模糊集的模糊度和猶豫度，提出了直覺(jué)模糊集的熵的計(jì)算公式.然后將該計(jì)算公式應(yīng)用于多屬性決策算法，驗(yàn)證了其在處理直覺(jué)模糊集不確定性方面的有效性.

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WU Tao，BAI Lihu，LIU Erbao，et al.New entropy formula of intuitionistic fuzzy sets and its application［J］.Computer Engineering and Applications，［2012－08－01］.online publishing address：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2127.TP.20120801.1652.019.html.