變倍光學(xué)系統(tǒng)的公差分析＊

劉雨沁，張孟偉

（中國(guó)科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209）

引 言

電視搜索跟蹤一體化系統(tǒng)一般具有兩個(gè)或者兩個(gè)以上視場(chǎng)，大視場(chǎng)搜索，小視場(chǎng)精確跟蹤，根據(jù)系統(tǒng)搜索／跟蹤的具體要求，在兩個(gè)視場(chǎng)中切換［1］。在變倍光學(xué)系統(tǒng)的理論設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)的性能不包括任何類型誤差的影響，而與實(shí)際設(shè)備有關(guān)的制造誤差和裝配誤差往往降低成像質(zhì)量，并且由其造成的像質(zhì)下降經(jīng)常是設(shè)計(jì)像差造成像質(zhì)下降的許多倍。因此根據(jù)成像要求，選擇適當(dāng)?shù)募庸すに嚕侠矸峙渲圃旃詈脱b配公差，確保加工出來(lái)的實(shí)際系統(tǒng)能夠達(dá)到成像要求就顯得十分重要。

1 變倍光學(xué)系統(tǒng)及性能指標(biāo)

變倍光學(xué)系統(tǒng)如圖1所示，光學(xué)系統(tǒng)由物鏡組，場(chǎng)鏡組，調(diào)焦組和變倍組構(gòu)成，調(diào)焦組前后移動(dòng)使一次像面處于其焦點(diǎn)處，變倍組整體切換實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)焦距在300～600mm 之間的變換。

光學(xué)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)如表1所示，要求中心視場(chǎng)無(wú)明顯球差、彗差、像散及色散。對(duì)于照相物鏡，光學(xué)傳遞函數(shù)評(píng)價(jià)像質(zhì)已被廣泛接受［2］，利用光學(xué)傳遞函數(shù)可以很直觀、很明了地反映鏡頭在加工和裝校中存在的問題［3］。因此為了利用單一指標(biāo)衡量各種光機(jī)公差對(duì)像質(zhì)的影響，選用各個(gè)視場(chǎng)下二分之一奈奎斯特頻率處弧矢方向和子午方向的光學(xué)傳遞函數(shù)（MTF）的平均值作為目標(biāo)函數(shù)，CCD 像素尺寸為7.4 μm，二分之一奈奎斯特頻率為34lp／mm。變倍光學(xué)系統(tǒng)MTF 曲線如圖2 所示，在兩種焦距狀態(tài)下，目標(biāo)函數(shù)的值分別為0.778 和0.614。

圖1 變倍光學(xué)系統(tǒng)Fig.1 Switch－in－group zoom optical system

表1 光學(xué)設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Optical parameters

圖2 調(diào)制傳遞函數(shù)Fig.2 Modulation transfer function

2 系統(tǒng)公差分析

2.1 公差等級(jí)和公差計(jì)算

公差等級(jí)如表2所示，被認(rèn)為適用于大多光機(jī)系統(tǒng)［4－5］，8組公差等級(jí)（Q1～Q8）分別代表著不同的加工水平和加工難度。其中Q1接近于加工極限，而Q8則代表最差的加工水平。

表2 公差等級(jí)Tab.2 Tolerance Grades

公差計(jì)算的流程圖如圖3所示，8組公差等級(jí)依次輸入Zemax光學(xué)軟件，并選擇后焦距作為補(bǔ)償環(huán)節(jié)，進(jìn)行1 000次蒙特卡羅模擬，最后輸出目標(biāo)函數(shù)的下降量和滿足成像要求的基本公差等級(jí)。選擇后焦距作為補(bǔ)償是因?yàn)樵谧詈蟮臏y(cè)試和裝配期間，光學(xué)系統(tǒng)需要被重新調(diào)焦，所以這個(gè)選擇是合理的。

2.2 光機(jī)參數(shù)靈敏度分析

若目標(biāo)函數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為：

結(jié)構(gòu)參數(shù)在名義值四周的微小變化所引起的目標(biāo)函數(shù)變化為：假設(shè)各參數(shù)之間相互獨(dú)立，則［6］：

圖3 公差計(jì)算流程圖Fig.3 Tolerance calculation flow chart

其中，Ts為目標(biāo)函數(shù)的下降量，為了綜合由多個(gè)參數(shù)引起的性能下降，將多個(gè)參數(shù)造成目標(biāo)函數(shù)下降量平方和的均方根作為目標(biāo)函數(shù)的下降量。參數(shù)靈敏度?s／?x 表示目標(biāo)函數(shù)隨單一參數(shù)微量變化的變化率，且當(dāng)像差校正到最佳狀態(tài)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)隨單一參數(shù)微量變化的曲線可看成近似對(duì)稱拋物線，因此分析時(shí)選用拋物線的一側(cè)，進(jìn)行一次曲線最小二乘法擬合，取其斜率作為靈敏度的衡量標(biāo)準(zhǔn)。由于各類公差之間的量綱不一致，且不同公差種類參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)分布也不一樣，因此曲線的斜率只能代表同類公差中不同位置參數(shù)的靈敏度，而對(duì)于各類參數(shù)之間的靈敏度，將其統(tǒng)一到同一公差等級(jí)，考慮到實(shí)際加工誤差的隨機(jī)性，采用多次蒙特卡羅模擬，取目標(biāo)函數(shù)下降量的平均值作為參數(shù)間靈敏度的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

2.3 公差分配

在基本公差等級(jí)下，對(duì)同類公差中不同位置的公差進(jìn)行公差分配。若認(rèn)為參數(shù)是等概率作用于目標(biāo)函數(shù)，式（3）右邊各項(xiàng)相等，則各參數(shù)公差為：

通過式（4）解得的參數(shù)公差Txj存在過寬的情況，因此需要根據(jù)參數(shù)靈敏度和基本公差等級(jí)調(diào)整權(quán)重，使各參數(shù)公差都接近于基本公差等級(jí)。將Txj與基本公差等級(jí)比較，取其比值為權(quán)重。設(shè)Wj第j 個(gè)參數(shù)的權(quán)，則式（3）變化為：

因此，各參數(shù)公差為：

3 優(yōu)化結(jié)果分析

依次對(duì)兩種焦距狀態(tài)進(jìn)行公差計(jì)算，結(jié)果如圖4所示，對(duì)于短焦組，Q1～Q5滿足設(shè)計(jì)要求，對(duì)于長(zhǎng)焦組，Q1～Q3滿足設(shè)計(jì)要求。因此，選擇Q3 為基本公差等級(jí)，在基本公差等級(jí)下的目標(biāo)函數(shù)值分別為0.614 3和0.312 2。

參數(shù)靈敏度如圖5所示，制造公差為折射率公差、阿貝公差、厚度公差、透鏡楔角公差、表面不規(guī)則度公差和光圈公差，裝配公差為透鏡位置公差、透鏡偏心公差、透鏡傾斜公差、鏡組位置公差、鏡組傾斜公差和鏡組偏心公差。參數(shù)公差中，折射率公差、厚度公差、光圈公差、透鏡位置公差和透鏡偏心公差為敏感公差，選擇敏感公差進(jìn)行公差分配，下面以厚度公差和透鏡位置公差為例列出計(jì)算過程和結(jié)果。

對(duì)于變倍光學(xué)系統(tǒng)，共用光路的厚度公差和透鏡位置公差的靈敏度如圖6所示，橫坐標(biāo)分別代表透鏡編號(hào)和透鏡之間的距離編號(hào)?？梢钥闯?，兩種焦距狀態(tài)下共用光路的靈敏度大致相同，因此，可以選擇短焦距進(jìn)行公差分配，結(jié)果也同樣適用于長(zhǎng)焦距狀態(tài)。

圖4 各個(gè)公差等級(jí)下的像質(zhì)退化Fig.4 Image quality degradation of different tolerances

圖5 參數(shù)靈敏度Fig.5 Parameters sensitivity

圖6 共用光路靈敏度Fig.6 Public optical path sensitivity

在Q3公差等級(jí)下，透鏡厚度公差和透鏡位置公差對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)公差Ts 分別為0.344 2和0.136 4，初始公差值由基本公差等級(jí)決定，利用式（6）計(jì)算出優(yōu)化公差值。

靈敏度系數(shù)（厚度）：0.122，0.482，0.023，0.044，0.149，0.377，0.069，0.041，0.399，1.185，0.088，0.012；

初始值（厚度）：0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5；

優(yōu)化值（Tx）：0.03，0.02，0.07，0.05，0.025，0.02，0.04，0.05，0.01，0.01，0.04，0.09；

靈敏度系數(shù)（位置）：0.009，0.231，0.231，0.064，0.002，0.002，0.018，4.221，0.303；

初始值（位置）：0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5；

優(yōu)化值（Tx）：0.1，0.05，0.05，0.09，0.1，0.1，0.1，0.01，0.04；

經(jīng)過上述計(jì)算和修正后，將優(yōu)化值代入Zemax，進(jìn)行1 000次蒙特卡羅模擬，得到透鏡厚度公差和透鏡位置公差對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)公差分別為0.335 3和0.134 5。與此類似，依次對(duì)折射率公差，光圈公差和透鏡偏心公差進(jìn)行公差分配，并將優(yōu)化后的公差值代入Zemax 進(jìn)行公差計(jì)算，得到目標(biāo)函數(shù)值分別為0.604 6和0.302 5，符合設(shè)計(jì)要求。

4 結(jié) 論

針對(duì)可見光變倍光學(xué)系統(tǒng)，提出了一種基于傳遞函數(shù)靈敏度的公差分析方法和分析流程，結(jié)果表明，在保證成像質(zhì)量的前提下，通過這個(gè)方法可以放寬對(duì)公差的要求，降低加工和裝調(diào)難度，該方法也適用于其他光機(jī)系統(tǒng)。

［1］ 王海濤，耿安兵，楊長(zhǎng)城.切換變倍光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30（3）：872－875.

［2］ 王黎明，楊華民，李共德.用傳遞函數(shù)法優(yōu)化光學(xué)公差［J］.光學(xué)技術(shù)，1998（1）：84－88.

［3］ 章慧賢.光學(xué)傳遞函數(shù)的發(fā)展及其應(yīng)用［J］.光學(xué)儀器，1996，18（4）：28－31.

［4］ CHANG C W.Tolerance analysis of lenses with high zoom ratio［J］.SPIE，2006，6034：60341.

［5］ SMITH W J.Modern optical engineering［M］.3rd ed.New York：McGraw－Hill，2000.

［6］ 王之江.實(shí)用光學(xué)技術(shù)手冊(cè)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.