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      分擔(dān)值與正規(guī)定則

      2013-03-23 05:37:54張海俠
      關(guān)鍵詞:亞純一族正整數(shù)

      張海俠

      (許昌學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南許昌461000)

      1 引言及主要結(jié)果

      1992年,Schwick首先發(fā)現(xiàn)了分擔(dān)值與正規(guī)定則之間的聯(lián)系,證明了下述結(jié)果:

      定理1[1]設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的一族亞純函數(shù),a1,a2,a3為3個互相判別的復(fù)數(shù),若對任意f(z)∈F,f(z)與f′(z)在D內(nèi)IM分擔(dān)a1,a2,a3,則F在D內(nèi)正規(guī).

      后來,龐學(xué)誠和Lawrence Zalcman改進了定理1,證明了以下的

      定理2[2]設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的一族亞純函數(shù),a,b為兩個互相判別的復(fù)數(shù),若對任意f(z)∈F,f(z)與f′(z)在D內(nèi)IM分擔(dān)a,b,則F在D內(nèi)正規(guī).

      2005年,章文華得到下述結(jié)果:

      定理3[3]設(shè)F為單位圓盤Δ上的一族亞純函數(shù),a是一個非零的有窮復(fù)數(shù),若對任意f(z)∈F,f(z)與f′(z)在D內(nèi)IM分擔(dān)a,且f的零點是重級的,則F在D內(nèi)正規(guī).

      后來,方明亮和L.Zalcman,葉亞盛和龐學(xué)誠得到了如下的

      定理4[4]設(shè)F為單位圓盤Δ上的一族亞純函數(shù),a,b為任意兩個非零有窮復(fù)數(shù),k為正整數(shù)且若對于任意的f(z)∈F,f(z)的零點重級至少為k+1,且f(z)=a?f(k)(z)=b,則F在Δ上正規(guī).

      筆者對上述定理作了一定的改進,得出以下結(jié)論,筆者將證明以下定理:

      定理5 設(shè)F為單位圓盤Δ上的一族亞純函數(shù),a,b為任意兩個非零有窮復(fù)數(shù),k,l為正整數(shù)且k>l.若對于任意的f(z)∈F,f(z)的零點重級至少為k+1,極點重級至少為2且,則F在Δ上正規(guī).

      2 定義及主要引理

      為便于敘述并討論本文的主要結(jié)果,在此給出相關(guān)的定義及引理.

      定義1 設(shè)F為復(fù)平面一區(qū)域D上的一組亞純函數(shù),如果F中任取一函數(shù)序列均可選出一子序列在區(qū)域D上按球距內(nèi)閉一致收斂于一亞純函數(shù)或,則稱F在區(qū)域D上正規(guī).

      定義2 設(shè)f(z)和g(z)是區(qū)域D內(nèi)的兩個亞純函數(shù),a是一個復(fù)數(shù),若f(z)-a與g(z)-a在D內(nèi)有相同的零點,則稱f(z)與g(z)在區(qū)域D內(nèi)分擔(dān)a,或稱IM分擔(dān)a.則記為f(z)=a?g(z)=a.

      定義3 設(shè)f(z)和g(z)是區(qū)域D內(nèi)的兩個亞純函數(shù),a是一個復(fù)數(shù),如果f(z)-a的零點為zn(n=1,2,…),如果zn(n=1,2,…)也是g(z)的零點(不計重數(shù)),或稱單向分擔(dān)a,則記為f(z)=a?g(z)=a.

      引理1[5](Zalcman引理)設(shè)F是單位圓盤Δ上的亞純函數(shù)族,k∈N,F(xiàn)中任一函數(shù)f(z)的零點重級至少為k.設(shè)存在A≥1,使得對任意的,如果F在z0∈Δ處不正規(guī),則對于任意的0≤α≤k,存在函數(shù)列{fn(z)}?F,點列zn→z0,正數(shù)列ρn→0,使得=gn(ζ)→g(ζ)在復(fù)平面C上依球面距離內(nèi)閉一致成立.其中g(shù)為C上的級不超過2的非常數(shù)亞純函數(shù),滿足g#(ζ)≤g#(0)=kA+1.這里g#(ζ)=為球面導(dǎo)數(shù).

      引理2[6]設(shè)f(z)為復(fù)平面上的有窮級亞純函數(shù),b為非零復(fù)數(shù),k為正整數(shù).若f(z)的零點重級至少為k+1,極點重級至少為2,且f(k)(z)≠b,則f(z)為一常數(shù).

      引理3[7](Hurwitz定理)設(shè)函數(shù)序列在區(qū)域D內(nèi)解析,并且在D內(nèi)閉一致收斂到一個不恒為零的函數(shù),γ是D內(nèi)可求長的閉曲線,其內(nèi)部屬于D,且不經(jīng)過f(z)的零點,則存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n≥N時,在γ內(nèi)部,fn(z)和f(z)的零點個數(shù)是相同的.

      3 定理5的證明

      證明 假設(shè)F在z0∈Δ處不正規(guī),則由引理1知,存在函數(shù)列fn(z)∈F,點列zn→z0,正數(shù)列ρn→0,使=gn(ζ)→g(ζ)在復(fù)平面C的任意緊子集上依球面距離內(nèi)閉一致成立,其中g(shù)(ζ)為C上的級不超過2的非常數(shù)亞純函數(shù),其零點重級至少為k+1,極點重級至少為2.

      可以斷言:g(k)(ζ)≠a.

      假設(shè)存在ζ0∈C使得g(k)(ζ0)=a.

      若g(k)(ζ)≡a,則g(ζ)為一個k次多項式,這與g(ζ)的零點重級至少為k+1矛盾.因此,g(k)(ζ)不恒等于a.

      根據(jù)Hurwitz's定理,存在gn(ζ)以及點列ζn→ζ0,使得當(dāng)n充分大時,有=a由

      因此

      [1]Schwick.W.Sharing values and normality[J].Arch Math,1992,59:50-54.

      [2]Pang Xuecheng,Zalcman L.Normal families and shared values[J].Arkiv for Mathematics,2000,38(1):171-182.

      [3]章文華.分擔(dān)值和正規(guī)族[J].?dāng)?shù)學(xué)研究與評論,2005,25(2):307-310.

      [4]Fang Mingliang,Zaleman L.Normal families and shared values of meromorphic functions[J].Annales Polonici Mathematici,2003,80:133-141.

      [5]Pang Xuecheng,Zalcman L.Normal families and shared values[J].Bull London Math Soc,2000,32(3):325-331.

      [6]Hayman W.K.Picard Value of Meromorphic Functions And Their Derivatives[J].Annals of Mathematics,1959,70:9-42

      [7]方企勤.復(fù)變函數(shù)教程[M].北京:北京大學(xué)出版社,1996:234-256.

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