“概率統(tǒng)計”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的探討

劉東海，彭 丹

(湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭4112011)

我國教育經(jīng)歷著由“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”的重要改變，這要求著數(shù)學(xué)課程的“素質(zhì)教育”。概率統(tǒng)計作為高等院校大學(xué)生的公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，由于其研究對象的復(fù)雜性，研究方法的獨特性和教學(xué)內(nèi)容的實用性，這門數(shù)學(xué)課程越來越受到重視。傳統(tǒng)的概率統(tǒng)計教學(xué)只注重了概念、定理講解，忽略了課程的“素質(zhì)教育”。與時俱進的數(shù)學(xué)課程應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價值，在潛移默化中影響學(xué)生的觀念、精神以及思維方式。

數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)科學(xué)在實踐中不斷摸索，逐步上升為理論和規(guī)律性的東西，是對數(shù)學(xué)科學(xué)知識的一種補充。主要包含了數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)實用性等內(nèi)容。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程的一種載體。在概率統(tǒng)計教學(xué)中，講授相關(guān)背景知識，將幫助學(xué)生認(rèn)識概率統(tǒng)計概念、思想方法發(fā)展過程，讓學(xué)生對整門課程有一個清晰、連貫的認(rèn)識。數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，而概率統(tǒng)計是唯一一門研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)學(xué)考察，其蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法有其獨特的表現(xiàn)，系統(tǒng)學(xué)習(xí)這些方法可以幫助學(xué)生形成一種隨機的思想和統(tǒng)計的觀念。同時概率統(tǒng)計在美學(xué)領(lǐng)域用自己獨特的內(nèi)涵詮釋了一個不同的文化境界。概率統(tǒng)計與實用學(xué)科有著密切聯(lián)系，使之具有強大生命力。適時添加現(xiàn)實生活的素材，有助于學(xué)生更好地認(rèn)識世界，了解世界，從而增強他們利用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的意識，促進他們學(xué)以致用。

一 融入數(shù)學(xué)背景

在課堂上給數(shù)學(xué)多一點兒人文色彩，激發(fā)學(xué)生靈感，將數(shù)學(xué)背景資料:如概率統(tǒng)計發(fā)展中若干重要事件，重要人物或重要成果等融入教學(xué)內(nèi)容中，這也是體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值的一種有效途徑。

在闡述概率論基本概念時，先說說1651年，法國貴族梅累向數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡(Pascal)提出的一個十分有趣的“分賭注”問題:一次梅累和賭友擲骰子，各方押賭注32 個金幣.雙方約定，梅累如果先擲出3 次6 點，或者賭友先擲3 次4 點，就贏了對方.賭博進行了一段時間，梅累已經(jīng)2 次擲出6 點，賭友已經(jīng)1 次擲出4 點，這時候梅累接到通知，要他馬上陪同國王接見外賓，賭博只好中斷了。請問:兩個人應(yīng)該怎樣分這64 個金幣才算合理呢?帕斯卡苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點眉目，于是寫信給他的好友費馬(Pierre de Fermat)，兩人討論并取得了一致的意見。這個看來不過是17世紀(jì)版本的棋盤游戲帶來的卻是風(fēng)險概念的數(shù)學(xué)核心—概率論的產(chǎn)生，他們對這個迷題的解答意味著人們第一次可以借助于數(shù)字做出決定，預(yù)測未來。到底是如何分配賭注呢?引導(dǎo)學(xué)生去思考，這些將激發(fā)學(xué)生興趣去探索隨機世界。

說到正態(tài)分布，不得不提英國數(shù)學(xué)家棣莫弗(de Moivre)，他不畏艱難、歷經(jīng)數(shù)十載，最終由二項分布逼近導(dǎo)出正態(tài)分布的密度函數(shù)表達(dá)式，起研究成果在概率論發(fā)展中起著承前啟后的作用，奠定了概率論的極限理論基礎(chǔ)。從他們身上看到的是偉大的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家鍥而不舍的精神和攻克難關(guān)的勇氣。

還有英國統(tǒng)計學(xué)家哥塞特(Gesset)在一家釀酒廠擔(dān)任化學(xué)技師時，通過大量實驗數(shù)據(jù)的積累，發(fā)現(xiàn)了一種分布與傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布不同。經(jīng)過深入研究，以“student”筆名發(fā)表了此項研究成果，故后人也稱t 分布為學(xué)生氏分布。t 分布的發(fā)現(xiàn)在統(tǒng)計學(xué)史上具有劃時代意義。

概率統(tǒng)計中每一個定義、定理都有其獨特背景故事，適時講解這些精彩的片段，可以開闊眼界、增長知識，鍛煉學(xué)生邏輯思維能力。讓學(xué)生悉心體會數(shù)學(xué)家們解決問題的思想和方法，學(xué)習(xí)他們實事求是的科學(xué)態(tài)度和優(yōu)良的品質(zhì)。更重要的是學(xué)習(xí)一種數(shù)學(xué)精神:正如美國著名數(shù)學(xué)史家克萊因(M.Kline)所寫道:“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運用到最完善的程度…盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻的和最完美的內(nèi)涵?！备M一步自然而然地激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維意識，增強解決問題的勇氣和能力。

二 滲透數(shù)學(xué)思想方法

概率統(tǒng)計中蘊涵了較廣泛的數(shù)學(xué)知識，也蘊涵了豐富而獨特的數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)過程中將重要的一些數(shù)學(xué)思想方法加以介紹、講解將對提高學(xué)生的思維素質(zhì)和解決問題能力有非常重要的意義。

概率統(tǒng)計中比較重要的思想方法有下面幾種:

1.轉(zhuǎn)化思想:我們把遇到的問題通常轉(zhuǎn)化成比較熟悉的問題來處理，比如求隨機變量方差轉(zhuǎn)化為求隨機變量函數(shù)的期望計算;或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題，比如求解某一事件概率，直接計算比較復(fù)雜，則可轉(zhuǎn)化為求其對立事件概率。很大，很小時，二項分布問題轉(zhuǎn)化為泊松分布問題簡化計算;或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進行轉(zhuǎn)化，比如服從正態(tài)分布的隨機變量轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量求解;或者難以解決的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，比如變量估計中矩估計方法用樣本矩去替換總體矩得到近似解等等;

在概率統(tǒng)計教學(xué)中按照熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化這些原則實施轉(zhuǎn)化操作，將省時省力。

2.數(shù)形結(jié)合思想:正如華羅庚先生說過的:數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。概率統(tǒng)計中也蘊涵這種思想:如用文氏圖來表示事件之間關(guān)系，一目了然;幾何概型中用有限可度量區(qū)域(線段、面積等)大小計算事件發(fā)生概率，以形助思，巧妙直觀。數(shù)形結(jié)合不僅能幫助學(xué)生溝通知識內(nèi)在聯(lián)系，解決新問題。還能有助于學(xué)生開發(fā)潛能，提高思維品質(zhì)，培養(yǎng)審美情趣。

3.數(shù)學(xué)模型思想:概率統(tǒng)計作為一種隨機數(shù)學(xué)，有很多從隨機現(xiàn)象觀察中提出的相應(yīng)概率模型，如古典概型，幾何概型，伯努利概型等等。教學(xué)生用隨機變量來描述隨機現(xiàn)象，然后研究相應(yīng)數(shù)學(xué)模型的數(shù)字特征，從而闡述隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。

在教學(xué)中經(jīng)常滲透這些思想，可以提高學(xué)生解題的水平和創(chuàng)新能力。概率統(tǒng)計課程中有意識將教學(xué)內(nèi)容上升到思想方法高度，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的抽象性和應(yīng)用性，也是培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，對學(xué)生進行文化熏陶的一種途徑。

三 加強數(shù)學(xué)美熏陶

概率統(tǒng)計課程學(xué)習(xí)不僅有利于學(xué)生邏輯思維能力發(fā)展，與其他數(shù)學(xué)課程一樣也有利于學(xué)生創(chuàng)造性才能包括審美直覺的發(fā)展。數(shù)學(xué)美包括對稱美、和諧美、簡潔美和奇異美。在概率統(tǒng)計中隨處可見這些美倫美幻的情形。

1.對稱美:比如正態(tài)分布圖象展現(xiàn)的就是一副對稱的美麗圖案;條件概率公式與乘法公式的“對稱性”，連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)與密度函數(shù)的表達(dá)式“對稱性”，利用這些特點，在求解時往往事半功倍。

2.和諧美:文氏圖中事件與其對立事件在中是那么“對立”、“統(tǒng)一”，呈現(xiàn)出一副和諧圖案;幾何概型中“約會問題”，運用數(shù)形互化解題也是追求和諧美的結(jié)果。

3.簡潔美:追求簡潔美不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，往往還可以促進學(xué)生獨辟蹊徑，找到優(yōu)美而簡潔的解法。如正態(tài)分布、分布可加性表達(dá)式結(jié)構(gòu)簡單、整齊。

4.奇異美:在解決問題過程中變更思路，求新求異。如“蒲豐投針”用偶然性方法去做確定性計算。

從這些概率統(tǒng)計知識講述過程中，讓學(xué)生體會到其中的美，體會到數(shù)學(xué)也是賞心悅目的，讓追求其中的美成為學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，利用美陶冶情操，實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化教育功能。

四 強調(diào)聯(lián)系實際

概率統(tǒng)計在社會生活各個領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，在理論講授過程中，針對不同專業(yè)的學(xué)生，采用不同實用案例，讓學(xué)生了解概率統(tǒng)計內(nèi)容與自己專業(yè)之間聯(lián)系，認(rèn)識到學(xué)概率統(tǒng)計是有所用的。進一步感受這門課程的應(yīng)用價值、文化價值。這樣有利于學(xué)生學(xué)好概率統(tǒng)計課程同時學(xué)好本專業(yè)的知識，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)展應(yīng)用意識，創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。

例如在講解方差，可以從幾個廠家同一產(chǎn)品抽樣檢查百分比計算參數(shù)方差從而評價出廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好壞;統(tǒng)計中判別分析可將到應(yīng)用于生物品種的鑒別，選礦中礦藏儲量貧富的辨別等等;

講到正態(tài)分布中原則，這個結(jié)論不僅應(yīng)用在生產(chǎn)上，還應(yīng)用到高考中。高考閱卷中主觀評分和客觀評分不一樣。如何才能保證公平呢?大家運用概率統(tǒng)計知識攻克這個難題，大致情況是這樣的:請一批最有聲望的老師，其中包括大學(xué)的教援來判分，發(fā)現(xiàn)他們判得都比較穩(wěn)定、都比較準(zhǔn)、相差不多，就用他們的經(jīng)驗來作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)，然后按一定的波動范圍給出上下界來。在高考閱卷過程中，不斷檢查卷宗，如果改卷者評分在規(guī)定的范圍以內(nèi)，就沒有問題，不用介入;如果發(fā)現(xiàn)有的卷宗超出這個范圍以外，就請別組老師或者專家組介入。這樣一定程度上保證了高考閱卷的公平、公正。

另外，在工程設(shè)計中，概率統(tǒng)計知識也舉足輕重，比如要設(shè)計個橋梁，這個橋應(yīng)該設(shè)計多寬，他們就事先做這個工程的系統(tǒng)設(shè)計，用蒙特卡洛(Monte Carlo)方法來模擬。然后根據(jù)車輛的到達(dá)時間服從泊松分布，車占位多寬，有幾個車道，車有多長，車流量是多少，還有司機的心理和居民的心理能夠承受的等待時間等等，作為設(shè)計橋梁寬度的依據(jù)，用模擬方法來做實驗，進行設(shè)計。

也可補充講統(tǒng)計學(xué)的方法做科學(xué)計算，如算積分、解微分方程、解偏微分方程和解線性代數(shù)等等。

這些應(yīng)用都說明了概率統(tǒng)計理論的實用價值，讓學(xué)生感受到知識的魅力。

隨著素質(zhì)教育改革深入發(fā)展，數(shù)學(xué)文化教育勢在必行。教師的觀念只有從學(xué)科基本概念、定理、解題中跳出來，走向數(shù)學(xué)文化，才能從根本上轉(zhuǎn)變這門課程在學(xué)生心目中的印象。概率統(tǒng)計課也應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)文化傳承的地方，教師在概率統(tǒng)計知識與技能的教學(xué)中，適時介紹概率統(tǒng)計知識產(chǎn)生的背景;在過程與方法的教學(xué)中，有意提煉數(shù)學(xué)的思想方法;意會數(shù)學(xué)中的美，讓學(xué)生浸潤在數(shù)學(xué)文化氛圍中。這樣學(xué)生就可以在獲得概率統(tǒng)計較為系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論知識與方法同時，學(xué)到一種觀察世界的隨機性思維方式，學(xué)會一種描述偶然現(xiàn)象的基本語言，掌握一種處理不確定性問題的隨機分析技術(shù)，奠定學(xué)習(xí)其他學(xué)科的基礎(chǔ)。

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