寧連華，崔黎華，金海月

（1.南京師范大學 數(shù)學科學學院，江蘇 南京 210023；2.新加坡南洋理工大學，新加坡 637616）

中國《義務教育階段數(shù)學課程標準（實驗稿）》和《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》已經(jīng)頒布了十余個年頭，基于此標準的各版本教材也已在相關實驗區(qū)實施了多年，所取得的成績有目共睹，但也存在不少的問題和爭議.《義務教育階段數(shù)學課程標準（實驗稿）》已先行于2011年進行了修訂，《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》的修訂也將指日可待.在此背景下，觀照與借鑒別國的數(shù)學課程標準，取其之長，補己之短，實現(xiàn)本土與異域數(shù)學課程內(nèi)容的融通，有利于提高新一輪數(shù)學課程改革的質量.鑒于此，特對新加坡高中數(shù)學課程標準作些介紹和評析，以期對中國高中數(shù)學課程標準的修訂和課程改革帶來一些啟示[1].

1 新加坡教育制度介紹

新加坡的教育宗旨在于幫助學生發(fā)現(xiàn)自己的才能，發(fā)揮自己的特長并實現(xiàn)終身學習[2].因而，其在教育結構的設置上注重靈活多樣，讓選擇繼續(xù)學習深造或者就業(yè)的學生都有適合自己的學習平臺，力求不同類型的學生都得到相應的發(fā)展.

新加坡的教育制度如下：4～6歲屬學前教育階段，7～12歲屬小學教育階段，在六年級結束時，所有的學生都需要參加小學畢業(yè)考試（the primary school leaving examination,PSLE），根據(jù)成績和意愿選擇課程，進入13～16歲的初中教育階段.在這一階段，可供選擇的學校類型有：普通初中、整合方案（將初中和初等?？茖W院整合而成）、專業(yè)獨立學校（為具備數(shù)學、科學、藝術和體育方面特殊才能的學生所建立的學校）以及私立學校；17～19歲進入高中教育階段，該階段可供選擇的學校有初等?？茖W?；蛘咧行膶W校、理工?？茖W院、技術教育學院；20～23歲則屬于大學教育階段[3].詳細的情況見表1.

表1 新加坡教育制度

2 新加坡高中數(shù)學課程標準概覽

2.1 數(shù)學教學要求的結構與組織框架

新加坡教育制度規(guī)定：學生在參加完初中階段的O-水平測試后，可以申請兩年制的初等學院或者三年制的中心學院.初等學院和中心學院的學習為學生進入大學以及將來的高等教育打下基礎.該階段學生有兩門必修課程：論文、母語，并從藝術、科學及商業(yè)課程中任選不超過4門的課程進行學習.課程結束后，學生需要參加A-水平測試.

從小學至A-水平，數(shù)學的教學要求遵循以下的結構和組織框架，它為有效的數(shù)學的教學、學習和評價指明了方向.

數(shù)學問題解決處在數(shù)學學習的中心位置，包括在非常規(guī)問題、開放性問題以及真實情境問題等諸多情況下獲得和運用數(shù)學概念和技能的能力.培養(yǎng)數(shù)學問題解決能力需要依靠相互依存的 5個部分，即概念、技能、過程、態(tài)度和元認知[4].

2.1.1 概 念

數(shù)學概念涵蓋數(shù)值的、代數(shù)的、幾何的、統(tǒng)計的、概率的和分析的概念.

學生應該發(fā)展和發(fā)掘深層的數(shù)學思想，應該將數(shù)學看作是一個不可分割的整體，而不僅僅是孤立的知識碎片.

為了使學生主動地參與數(shù)學學習，并在探索和應用數(shù)學時變得更為自信，應給予學生各式各樣的學習經(jīng)驗以幫助其形成對數(shù)學概念深層次的理解，領會各種數(shù)學思想以及它們之間的聯(lián)系和應用.學生的學習經(jīng)驗應該包括教具（具體材料）的使用、實踐活動和技術手段的運用.

2.1.2 技 能

數(shù)學技能包括數(shù)值計算、幾何運算、空間想象、數(shù)據(jù)分析、測量、數(shù)學工具的使用和估算等程序性技能.

在學習和應用數(shù)學的過程中，培養(yǎng)技能以致熟練是至關重要的.雖然學生們需要熟練掌握各種數(shù)學技能，但是必須摒棄缺乏對數(shù)學本質理解，過分強調(diào)程序性技能的做法.

技能的熟練性包括恰當自信地運用技術探索解決問題的能力.在發(fā)展操作熟練性的過程中配合使用思維技巧和啟發(fā)法也同樣重要.

2.1.3 過 程

數(shù)學過程也就是知識技能（或過程技能），它存在于獲得和應用數(shù)學知識的過程當中，包括推理、交流和聯(lián)系；思維技能和啟發(fā)法；數(shù)學應用和建模3大部分.

數(shù)學推理是指分析數(shù)學情境，構造邏輯論證的能力，是可以通過在不同的背景下應用數(shù)學來養(yǎng)成的意識習慣.

交流即精確地、簡潔地、邏輯地運用數(shù)學語言表達數(shù)學思想和論證的能力.它能幫助學生形成對數(shù)學的個人理解，使其數(shù)學思維更加敏捷.

聯(lián)系指的是學生有能力領會和建立數(shù)學知識間的、數(shù)學與其它學科間的以及數(shù)學與日常生活間的聯(lián)系.這可以幫助學生理解他們在數(shù)學中學到的知識.

以上 3個方面應該在從小學到大學預科的所有數(shù)學學習階段持續(xù)滲透.

學生應該運用各種思維技能和啟發(fā)法來幫助他們解決數(shù)學問題.思維技能是指運用在思維過程中的技能，包括分類、比較、排序、分析部分和整體、識別模式和關系、歸納、演繹和空間想象.下面給出了一些啟發(fā)法的例子，并按照使用方法分成了4類：

● 給出一種表達方法，比如說畫一個圖，列一個表，由方程表示；

● 給出一個合適的猜想，比如說猜想和驗證，尋找符合的模式，提供假設；

● 經(jīng)歷過程，比如說計算出來，逆著思考問題，前后呼應；

● 改變問題，比如說重述問題，簡化問題，解決部分問題.

應用和建模在發(fā)展學生數(shù)學理解和數(shù)學能力中起著至關重要的作用.它能使學生將解決數(shù)學問題的技能和推理技能運用在包括真實世界問題在內(nèi)的各類問題解決中去.

數(shù)學建模是建立和改進數(shù)學模型使之代表、解釋真實世界問題的過程.通過數(shù)學建模，學生可以學習數(shù)據(jù)的各種表達方式，以及選擇和應用最優(yōu)的數(shù)學方法和工具解決問題.各個階段的學習都應該讓學生有機會處理真實數(shù)據(jù)，并利用數(shù)學工具分析數(shù)據(jù).

2.1.4 態(tài) 度

態(tài)度是指數(shù)學學習中的情感因素，包括：

● 關于數(shù)學及其有用性的信念.

● 數(shù)學學習中的興趣和樂趣.

● 對數(shù)學美和數(shù)學力量的欣賞.

● 使用數(shù)學時的自信.

● 解決問題中的堅持不懈.

學生對于數(shù)學的態(tài)度的形成受其學習經(jīng)驗的影響.使數(shù)學學習過程變得有趣，有意義，和學生生活相關，對培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度大有裨益.學習活動的設計也應給予重視，借此培養(yǎng)學生在數(shù)學學習中的自信心和鑒賞力.

2.1.5 元 認 知

元認知，也即“對認知的認知”，是指個人對自己思維過程的認識以及控制調(diào)節(jié)此過程的能力，特別是對問題解決策略的選擇和使用.它包括對思維的監(jiān)控，對學習過程的自我調(diào)節(jié).

提供元認知體驗，是發(fā)展學生問題解決能力的必要手段.下列活動可以用于發(fā)展學生的元認知意識，豐富其元認知體驗.

● 暴露學生解決問題的綜合技能、思維技能和啟發(fā)法，以及這些技能如何運用在解決問題中.

● 鼓勵學生出聲思考自己用于解決特定問題的策略和方法.

● 向學生提供需要計劃（解決問題前）和評價（解決問題后）的問題.

● 鼓勵學生尋找同一問題的其它解法，并檢查答案是否恰當合理.

● 允許學生們討論如何解決特定的問題，并解釋他們所使用的不同的解法.

2.2 新加坡高中數(shù)學課程標準的要求

新加坡的大部分初等學院或中心學院都采用A-水平課程，學生可以靈活自主地進行課程選擇.A-水平課程中的數(shù)學科目分為Higher 1(H1)、Higher 2(H2)和Higher 3(H3)三個層次，H2水平課程等同于2006年之前的A水平測試.新加坡于2011年頒布了新的高中數(shù)學課程標準并于2013年在全國范圍內(nèi)正式施行，同之前的課程標準相比，它更為重視數(shù)學過程和學習體驗，但是在教學內(nèi)容上變化不大.

新加坡高中數(shù)學課程標準中H1和H2水平列出了課程目標、評價標準、圖形計算器的使用、公式列表、綜合應用、試卷形式、內(nèi)容框架及數(shù)學符號；H3水平列出了課程目標、評價標準、評價方案、圖形計算器的使用、課程內(nèi)容及數(shù)學符號[5～7].下面對部分內(nèi)容進行簡要介紹.

2.2.1 目 標

新加坡高中數(shù)學課程標準中H1、H2的目標是一樣的，都在于讓學生達到下列要求：

1 習得日常生活以及在數(shù)學或者相關學科中繼續(xù)學習所必需的數(shù)學概念和能力2 培養(yǎng)獲得和應用數(shù)學概念和技能所必需的過程性技能3 發(fā)展數(shù)學思維和問題解決能力，并將這些技能運用在問題解決中4 認識并運用數(shù)學思想間的聯(lián)系，以及數(shù)學和其它學科間的聯(lián)系5 培養(yǎng)學生對數(shù)學積極的態(tài)度6 在數(shù)學學習和應用中有效使用各種數(shù)學工具（包括信息和交流技術手段）7 進行富有想象力和創(chuàng)造力的活動，在此過程中提煉數(shù)學思想8 培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學交流、合作學習及獨立學習的能力

新加坡數(shù)學課程標準中H3的目標相對層次要高，在于讓具有數(shù)學才能和熱情的學生達到下列要求：

1 習得高級的數(shù)學概念和技能來加深對數(shù)學的理解，并拓寬數(shù)學的應用面2 在數(shù)學推理證明、創(chuàng)造性的數(shù)學問題解決和數(shù)學模型的使用中培養(yǎng)思維的嚴密性3 從更高層次認識數(shù)學思想之間的聯(lián)系并通過數(shù)學應用將數(shù)學和其它學科相聯(lián)系4 通過數(shù)學應用和證明欣賞數(shù)學美，數(shù)學的嚴謹性，數(shù)學的抽象性

2.2.2 評價標準

H1、H2、H3水平的考試都有3個層次的評價標準.

H1和H2水平的考試考查學生的如下能力：

AO1 在不同背景下理解和應用數(shù)學知識技能，包括數(shù)學表達式的變形和圖形計算器的使用；

AO2 通過數(shù)學解釋，論證和推論進行邏輯推理和數(shù)學交流；

AO3 解決不熟悉的問題；將常見的實際問題轉化為數(shù)學問題；解釋并評價數(shù)學結果；根據(jù)結果做出預測或者根據(jù)問題情境作評價.

H3水平的考試考查學生的如下能力：

AO1 在不同背景和不熟悉的問題中，通過數(shù)學表達式的變形和圖形計算器的使用理解和應用數(shù)學知識技能；

AO2 理解并將常見實際問題數(shù)學化；解釋并評價數(shù)學結果；根據(jù)結果做出預測或者根據(jù)問題背景作評價；

AO3 通過推理和書寫數(shù)學證明進行邏輯推理、數(shù)學交流，包括許多證明技巧的使用.

2.2.3 圖形計算器的使用

學生可以使用沒有計算機存儲功能的圖形計算器.命題者命題時也是以應試者可以使用圖形計算器為基礎的.除非題目中作了特殊說明，一般情況下，由圖形計算器得出的未經(jīng)證實的答案是可以的.但有時應試者需要用數(shù)學符號而不是計算器指令呈現(xiàn)數(shù)學步驟.對于利用圖形尋求解答的問題，應試者需要畫出圖形作為其解答的一部分.沒有具體步驟的錯誤答案是沒有得分的.然而，如果有書寫證明或者正確地使用了圖形計算器，那么會有方法分.

同時，學生必須清楚圖形計算器的使用有其局限性.例如，通過追蹤圖象尋求到方程的根可能達不到所要求的精度.

2.3 新加坡高中數(shù)學課程標準的具體內(nèi)容

新加坡高中數(shù)學課程標準給出了 H1、H2、H3三個層次的具體知識內(nèi)容要求，其中H1和H2水平均分為純數(shù)學和統(tǒng)計兩大板塊.H3水平的數(shù)學是對H2水平的一個拓廣，它由H2水平中的3個標題（函數(shù)與圖象、序列級數(shù)和微積分）及附加的兩個標題：組合學和微分方程模型組成.H1、H2、H3水平的具體知識內(nèi)容見表2、表3、表4.

表2 H1課程內(nèi)容及子內(nèi)容

表3 H2課程內(nèi)容及子內(nèi)容

表4 H3課程內(nèi)容及子內(nèi)容

2.3.1 H1與H2課程內(nèi)容對比

由表2和表3可知，純數(shù)學部分H2比H1多了3個標題的內(nèi)容，分別是序列級數(shù)、向量和復數(shù).統(tǒng)計部分兩者的統(tǒng)一性比較多，H2比H1多了排列、組合和泊松分布的內(nèi)容；而在相同標題下兩者所包含的具體內(nèi)容和要求也有所區(qū)別，直接體現(xiàn)了新加坡尊重學生個性發(fā)展的理念，恰當?shù)匕盐照n程深淺度.

（1）“函數(shù)及其圖象”標題的比較.

H1在該標題下設了兩個子標題：指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及畫圖方法；方程和不等式.H2除了這兩個子標題，添加了“畫圖技巧”的內(nèi)容.具體內(nèi)容區(qū)別見表5.

（2）“微積分”標題的比較.

H1在微積分標題下僅設置微分和積分兩個子標題，而H2則設了5個子標題，分別是：微分、麥克勞林級數(shù)、積分方法、定積分和微分方程.對于H1層次中不包括在內(nèi)的部分，在H2中成為了學生學習的內(nèi)容.如：隱函數(shù)和含參函數(shù)的求導；定積分作為極限和的概念；x軸下的面積.

（3）“統(tǒng)計”模塊的比較.

排列組合和泊松分布是H2比H1多的全新內(nèi)容，而“假設檢驗”子標題下H2增添的要求是：取自方差未知的標準總體的樣本；T檢驗的應用.“相關系數(shù)和線性回歸”子標題下新添：通過平方變換，倒數(shù)變換和對數(shù)變換實現(xiàn)線性化.

表5 函數(shù)及其圖象部分H1與H2的對比

2.3.2 H2與H3課程內(nèi)容對比

由于H3是在H2基礎上的拓廣，所以重復的內(nèi)容不加贅述，僅給出子標題，而組合學和微分方程模型是H3更高層次的要求.具體內(nèi)容見表6.

3 新加坡數(shù)學課程標準評析和思考

通過對新加坡教育部官方網(wǎng)站中公布的數(shù)學課程標準及其相關文件的分析與思考，可以發(fā)現(xiàn)新加坡高中數(shù)學課程標準具有以下一些特色之處.

3.1 層次分明 突出不同個性學生的發(fā)展

新加坡高中數(shù)學課程標準為不同發(fā)展水平的學生制定了層次分明的學習要求，有效地突出了不同個性學生的發(fā)展.H1水平為打算進入大學后選擇商業(yè)、經(jīng)濟和社會科學的學生提供數(shù)學基礎.H2水平為打算進入大學后學習數(shù)學、物理和工程等對數(shù)學有更高要求的專業(yè)的學生做充分準備.兩者在課程內(nèi)容的廣度和深度上有著很大區(qū)別.比較表2和表3可以發(fā)現(xiàn)：純數(shù)學部分H2比H1多了序列級數(shù)、向量、復數(shù)3塊內(nèi)容，統(tǒng)計部分H2比H1多了排列和組合、泊松分布的內(nèi)容.同時在子內(nèi)容的設置上，H2也比H1要多.下面選取H1和H2中相同標題部分，分析其子標題的個數(shù)，進行條目頻數(shù)統(tǒng)計，見表7.

表6 H2與H3的比較

表7 H1和H2子內(nèi)容比較

中國普通高中數(shù)學課程的設置分為必修和選修兩部分.必修1到必修5是每一位學生都要學習的內(nèi)容，選修部分共有4個系列，系列1是為那些希望在人文、社會科學等方面發(fā)展的學生而設置的，系列2則是為那些希望在理工、經(jīng)濟等方面發(fā)展的學生而設置的[8].這同新加坡的H1、H2的設置有著類似的地方.

3.2 注重特長培養(yǎng) 保護學生的數(shù)學學習熱情

新加坡高中數(shù)學課程標準中H3水平為那些有數(shù)學天賦并對數(shù)學懷有熱情的學生追求更高、更深層次的研究提供了機會.它使學生學會批判性思考，創(chuàng)造性思考，成為獨立自主的學習者.H3中的部分內(nèi)容是H2的拓展延伸，讓學生站在更高的角度思考問題.同時，H3中強調(diào)了數(shù)學方法的學習和數(shù)學符號的理解應用，給有數(shù)學天賦的學生提出了明確的要求.

中國普通高中數(shù)學課程選修部分的系列3和系列4是為對數(shù)學有興趣和希望進一步提高數(shù)學素養(yǎng)的學生而設置的，所涉及的內(nèi)容反映了某些重要的數(shù)學思想，有助于學生進一步打好數(shù)學基礎，提高應用意識.但是由于該部分內(nèi)容不屬于高考考查的范疇，很多學校并未開設這些課程，使其形同虛設，因此尊重個性，滿足具有數(shù)學學習熱情的學生發(fā)展的目的并未落到實處，僅僅成了一個美好愿景.所以，如何讓課程設置更科學化，讓相關的研究成果真正落到實處是研究者們需要改進和思考的地方.

3.3 重視實際應用 提升學生數(shù)學應用意識

新加坡高中數(shù)學課程標準中將圖形計算器的使用明確列為其中一項，學生可以借助圖形計算器獲得答案，一方面可以使命題者在命題時選擇貼近實際的問題，而不用為了便于學生計算而改變實際數(shù)據(jù)，刻意編造數(shù)據(jù)，以至于降低了數(shù)學的生活性；另一方面可以使學生擺脫過于復雜的計算，將更多的時間用于思維和解法的創(chuàng)新.

在中國現(xiàn)階段的課程標準和課程體系下，只有極少數(shù)省市的高考允許使用計算器.已有的調(diào)查表明：在使用圖形計算器的課堂中學生的學習興趣較濃厚，但是由于考試的時候不能用，導致學生缺乏利用圖形計算器輔助結論猜測的意識，甚至很多學生仍然存在這樣的認識：學了數(shù)學將來也未必有什么實際用處.因此，結合現(xiàn)代教育技術，提升學生的數(shù)學應用意識，使其在課程標準中得到體現(xiàn)和突出也是研究者們需要努力解決的問題.

新加坡高中數(shù)學課程標準緊緊圍繞其“培養(yǎng)人才，發(fā)揮潛能”的理念進行設置，結構清楚，層次分明.新加坡與中國有著相似的東方傳統(tǒng)教育思想，對新加坡高中數(shù)學課程標準的研究有助于發(fā)現(xiàn)中國高中數(shù)學課程標準中存在的問題，對完善中國的數(shù)學課程標準具有重要的參考價值.

[1] 康玥媛.澳大利亞全國統(tǒng)一數(shù)學課程標準評析[J].數(shù)學教育學報，2011，20（5）：81-85.

[2] 張素紅.中國與新加坡初中數(shù)學教材難度比較研究[D].南京師范大學，2013.

[3] Ministry of Education, Singapore. http://www.moe.gov.sg/education/post-secondary/, Post-Secondary Education Brochure (pdf).

[4] 曹一鳴.十三國數(shù)學課程標準評介（小學、初中卷）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[5] Ministry of Education, Singapore. http://www.seab.gov.sg/syllabusSchool.html. Mathematics Higher 1(syllabus 8864)(pdf).

[6] Ministry of Education, Singapore. http://www.seab.gov.sg/syllabusSchool.html.Mathematics Higher 2(syllabus 9740)(pdf).

[7] Ministry of Education, Singapore. http://www.seab.gov.sg/syllabusSchool. html.Mathematics Higher 3(syllabus 9824)(pdf)

[8] 教育部基礎教育司.全日制普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）[M].北京：人民教育出版社，2002.