林曉明

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把無理數(shù)的概念提前到七年級上學(xué)期，在學(xué)生剛接觸過正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念之后，和有理數(shù)的概念放在一節(jié)課呈現(xiàn).實(shí)際上本節(jié)課的有理數(shù)和無理數(shù)的概念對學(xué)生來講，都是重點(diǎn).不過，在定義了無理數(shù)的概念之后，教科書引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上表示無理數(shù)，列舉了無理數(shù)的絕對值和相反數(shù)，使得有關(guān)數(shù)的知識比較完整的呈現(xiàn)，為后續(xù)教學(xué)提供了方便，也更加合理.

一、教學(xué)過程

（一）問題情境

問題1：分?jǐn)?shù)可以化成小數(shù)嗎？請學(xué)生舉例說明.

學(xué)生1：12=0.5；（師：有限小數(shù)）

學(xué)生2：13=0.3333…（或0.3·）（師：無限循環(huán)小數(shù)）

設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)簡單的問題，把學(xué)生帶到帶有“分?jǐn)?shù)形式”的世界中去，再由學(xué)生自己舉例，學(xué)生能舉出一種是能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)，還有一種能化成循環(huán)小數(shù)形式的分?jǐn)?shù).反之，學(xué)生也就知道了有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)也就能轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù).也降低了要學(xué)生能明白循環(huán)小數(shù)能化成分?jǐn)?shù)這個(gè)知識點(diǎn).

問題2：我們知道了有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)能化成分?jǐn)?shù)，是不是所有的小數(shù)也都能化成分?jǐn)?shù)嗎？

學(xué)生3：不是，小數(shù)還包括無限不循環(huán)小數(shù).

師：能不能請學(xué)生舉例說明？學(xué)生4：如π.

設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)簡單的問題，讓學(xué)生明白小數(shù)中還有無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，同時(shí)這個(gè)問題為有理數(shù)的定義打下了伏筆.

問題3：我們還學(xué)過了哪些數(shù)？它們也都能化成分?jǐn)?shù)嗎？

學(xué)生5：整數(shù)，不能.

師：那么，請學(xué)生舉幾個(gè)整數(shù)的例子. 學(xué)生6：1，2，3

師：如果我1表示成11，2表示成21，3表示成31.可以嗎？

全班齊答：可以.

師：其實(shí)我們可以把整數(shù)化成分母為1的分?jǐn)?shù).這樣的話，整數(shù)和分?jǐn)?shù)就有一個(gè)共同的特征——都能化成“mn（m，n為整數(shù)，且n≠0）”這種形式的數(shù).我們書上就把這種分?jǐn)?shù)形式的數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，而將無限不循環(huán)小數(shù)（如π）叫做為無理數(shù).

（二）講授新課

師：我們身邊的數(shù)中除了π外，還有別的無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

1.活動(dòng)：請學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長為1的小正方形和剪刀，將小正方形沿著圖中紅色對角線剪開，設(shè)法重新拼成一個(gè)大正方形，大家動(dòng)手試一試.

師：你們知道這個(gè)大正方形的面積是多少嗎？為什么？

學(xué)生7：它的面積為2，因?yàn)樗怯蓛蓚€(gè)面積為1的小正方形拼成的.

師：你知道了這個(gè)圖形的面積，對這個(gè)正方形，你還想知道它的一些什么信息呢？

學(xué)生8：邊長.

師：你知道這個(gè)邊長多少嗎？這個(gè)大正方形的邊長是不是有理數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)操作活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生探索，這樣既能使學(xué)生確認(rèn)這個(gè)無理數(shù)的存在，又能更能深刻的了解我們身邊的數(shù)，可能還有許多的無理數(shù)，更深的了解無理數(shù)的概念.

2.探索活動(dòng)：為方便起見，我們設(shè)這個(gè)大長方形的邊長為a，則a2=2.

師：a是整數(shù)嗎？

學(xué)生9：因?yàn)?2=1，22=4，a是1和2之間的數(shù)，1

師：a是分?jǐn)?shù)嗎？

兩個(gè)一樣的分?jǐn)?shù)相乘結(jié)果應(yīng)該還是個(gè)分?jǐn)?shù)，不可能是整數(shù).所以a不是分?jǐn)?shù).師：a是怎樣的數(shù)？我們可以嘗試從小數(shù)的角度.

1.5×1.5=2.25； 1.41×1.41=1.9881；

1.4×1.4=1.96； 1.42×1.42=2.0164；

1.4

探索中，運(yùn)用逼近的方法，得到1.4

按照這種方法探索下去，a的值是1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990…

師：你們發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)和π有什么共同點(diǎn)嗎？

學(xué)生10：無限、不循環(huán).

設(shè)計(jì)意圖：在拼圖探索過程中，通過實(shí)踐、操作、探索、思考、歸納，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的方式，也體會了“無限”的過程，同時(shí)滲透了數(shù)學(xué)中的一種重要思想——逼近思想.讓學(xué)生初步感受這種數(shù)學(xué)思想.

二、案例設(shè)計(jì)反思

本教學(xué)案例首先根據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》，從學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，由3個(gè)問題把本節(jié)課要研究的主要問題自然而然的帶出來，從而也就輕松的揭示了本節(jié)課的課題.接著由拼圖活動(dòng)通過學(xué)生思考、交流，先是體會到現(xiàn)實(shí)生活中確實(shí)存在他們并不了解的數(shù)，讓學(xué)生感受無理數(shù)的客觀存在.課堂比較活躍，學(xué)生聽的都比較投入、認(rèn)真.在探索活動(dòng)中，也讓以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的教學(xué)觀念和教學(xué)思想，始終引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不斷地試驗(yàn)、操作、探索，教學(xué)過程中，滲透了“無限”和“逼近”的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)著，直至概念的出現(xiàn)，漸漸走向真理.最后通過兩個(gè)辨析題，呈現(xiàn)了以前學(xué)生最易錯(cuò)的兩個(gè)問題，希望能在學(xué)生以后的作業(yè)過程中，不再出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤.

[南京育英第二外國語學(xué)校 （210044）]