基于狀態(tài)反饋的黃金分割控制器參數(shù)化方法及其在高超聲速飛行器上的應(yīng)用*

早在1963年，美國X-15高超聲速飛行器以6.7馬赫數(shù)在12km的高度進(jìn)行了成功試飛，標(biāo)志著人類對高超聲速飛行器的研究進(jìn)入了實(shí)質(zhì)性發(fā)展階段.在2004年，著名的X-43A高超聲速飛行器突破了技術(shù)瓶頸，利用吸氣式超然沖壓發(fā)動機(jī)成功地將飛行器加速到10馬赫，進(jìn)一步增加了人們對該領(lǐng)域的信心.高超聲速飛行器能夠取代航天飛機(jī)作為地球到空間站的往返工具，也可以在地球大氣層中長距離飛行.其主要優(yōu)點(diǎn)包括：1)較航天飛機(jī)而言，具有更短的開發(fā)周期；2)較航天飛機(jī)而言，開發(fā)費(fèi)用更低；3)能夠在兩小時(shí)內(nèi)到達(dá)全球任意地點(diǎn).上述優(yōu)點(diǎn)是軍事領(lǐng)域和民用領(lǐng)域所迫切需求的.但是，高超聲速飛行器研究所面臨的挑戰(zhàn)是巨大的，尤其是飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題[1-2].高超聲速飛行器長期維持在5馬赫數(shù)以上，甚至高達(dá)20馬赫數(shù)的飛行速度，并且要跨越整個(gè)大氣層，其氣動特性變化劇烈且難以預(yù)測，而現(xiàn)階段地面風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)難以長時(shí)間地提供可靠的測試環(huán)境.因此，在姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，對象模型和飛行環(huán)境存在非常大的不確定性，表現(xiàn)為非線性、參數(shù)大范圍攝動和未知外界干擾.同時(shí)飛行的高速性使得姿態(tài)系統(tǒng)對模型參數(shù)和環(huán)境變化非常敏感.上述因素給姿態(tài)控制系統(tǒng)提出了巨大挑戰(zhàn)，傳統(tǒng)的魯棒控制或者自適應(yīng)控制難以直接適用.

近年來，大量的文獻(xiàn)利用不同的控制方法對高超聲速飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行了研究.針對飛行器姿態(tài)系統(tǒng)的非線性模型，常見的控制方法包括自適應(yīng)控制[3]、魯棒控制[4]和滑膜控制[5].考慮到姿態(tài)系統(tǒng)具有慢時(shí)變特性，更常見的方法是在若干個(gè)特征配平工作點(diǎn)進(jìn)行線性化，再利用增益調(diào)度法實(shí)現(xiàn)控制器之間的切換.另一種方法是利用動態(tài)逆[6]或tangent線性化方法[7]，得到姿態(tài)系統(tǒng)的線性化模型，進(jìn)而設(shè)計(jì)控制器. 也有文獻(xiàn)將幾類控制方法相融合進(jìn)行控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[8].

特征模型和黃金分割自適應(yīng)控制方法由吳宏鑫院士分別于20世紀(jì)90年代和80年代提出[9-10].特征模型的基本思想是根據(jù)對象動力學(xué)特征、環(huán)境特征和控制性能要求，用一個(gè)低階時(shí)變差分方程對系統(tǒng)進(jìn)行建模.與降階建模不同的是，具有低階結(jié)構(gòu)的特征模型并沒有丟失高階對象的信息，而是根據(jù)控制性能要求和對象特性，將信息合理地壓縮至低階模型中.與通常的自適應(yīng)控制系統(tǒng)相比，基于特征模型的黃金分割自適應(yīng)控制策略，具有簡潔的形式，不需要在線調(diào)試，并且能夠保證參數(shù)收斂過程中的穩(wěn)定性，已經(jīng)在衛(wèi)星瞬態(tài)熱流控制、空間交會對接等大量實(shí)際工程中得到了驗(yàn)證.近年來，這一方法還在高超聲速飛行器再入過程的滑翔段[11-12]和爬升段[13]進(jìn)行了應(yīng)用.然而，將這一方法進(jìn)一步應(yīng)用于再入過程的初始段，即由再入大氣層至滑翔段之前的過程中，由于大氣密度和飛行環(huán)境的劇烈變化，以及飛行的高速性，使得姿態(tài)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能不夠滿意，對陣風(fēng)等外界擾動的抵抗能力有待提高.

針對上述問題，本文在現(xiàn)有的基于特征模型的黃金分割自適應(yīng)控制律基礎(chǔ)上，提出了對控制律中的變量λ進(jìn)行在線自主調(diào)節(jié)的方法，不再依靠傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)試湊的方法，同時(shí)提高系統(tǒng)的H2/H∞魯棒性能，得到的閉環(huán)系統(tǒng)同時(shí)具備黃金分割控制器下的自適應(yīng)性和λ在線調(diào)節(jié)下的魯棒性，因此能夠適應(yīng)飛行器再入過程所經(jīng)受的模型參數(shù)和飛行環(huán)境的大范圍變化及一定的外界干擾.

1 預(yù)備知識

用R表示實(shí)數(shù)集合.信號x(k)∈Rn,k=0,1,2,…的L2范數(shù)和L∞范數(shù)分別為

在再入過程中，高超聲速飛行器通常工作于無動力狀態(tài)，僅僅受到重力和氣動力作用，通常采用Bolender和Doman[14]所提出的如下縱平面動力學(xué)模型進(jìn)行研究：

(1)

其中V,r,γ,α,q,m,My,Iy,D,L,g和δe分別為速度，地心距，飛行路徑角，攻角(AOA)，俯仰角速率，飛行器質(zhì)量，俯仰力矩，本體坐標(biāo)下繞y軸的轉(zhuǎn)動慣量，阻力，升力，重力加速度和俯仰舵偏角.

相對于攻角α，質(zhì)心動力學(xué)模型中的V和r可以看作慢變量，同時(shí)，升力系數(shù)CL和阻力系數(shù)CD可以用如下2階多項(xiàng)式擬合[15]：

(2)

其中MV為馬赫數(shù).由式(2)中各系數(shù)可以看出，CL和CD對攻角或速度MV不敏感.因此，當(dāng)研究攻角的動力學(xué)特性時(shí)，升力L和阻力D可以看作常量.

攻角的動力學(xué)模型的相對階為2，如下式所示：

f(α,δe)

(3)

其中Sref和lref分別為參考面積和參考長度，Cmy為y軸力矩系數(shù).

在文獻(xiàn)[9,12,16]中已證明，在合適的采樣時(shí)間δt下，如果式(3)中的非線性函數(shù)f(α,δe)滿足：

1)|f(α(t+δt),δe(t+δt))|-|f(α(t),δe(t))|0；

2)f(α,δe)關(guān)于α和δe的偏導(dǎo)數(shù)有界；

3)f(0,0)=0.

那么有下述引理成立：

引理1.當(dāng)要實(shí)現(xiàn)位置保持或位置跟蹤控制時(shí)，在滿足一定的采樣周期δt下，式(3)給出的關(guān)于攻角α的動力學(xué)模型可用如下具有二階差分方程形式的特征模型描述：

α(k+1)=f1(k)α(k)+f2(k)α(k-1)+

g0(k)δe(k)

(4)

其中g(shù)0(k)=O2(δt),且

在實(shí)際應(yīng)用中，參數(shù)fi和g0是利用最小二乘法參數(shù)遞推估計(jì)公式或梯度法在線辨識得到[17].

注2.為了改善閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在特征模型中有時(shí)添加g1(k)δe(k-1)項(xiàng)，如文獻(xiàn)[10].

引理2[22].時(shí)變系統(tǒng)

x(k+1)=A(k)x(k)

(5)

指數(shù)穩(wěn)定，如果A(k)的特征值一致在單位圓內(nèi)，A(k)有界且慢時(shí)變，其中A(k)∈Rn×n,n≥1.

2 主要結(jié)果

基于引理2可以證明，對于模型(4)及黃金分割自適應(yīng)控制律

然而，目前缺少對控制器參數(shù)λ求解的可靠方法，現(xiàn)有的應(yīng)用主要依靠經(jīng)驗(yàn)確定λ值.但是，考慮到高超聲速飛行器再入過程穿越整個(gè)大氣層，模型參數(shù)變化范圍較大，固定的λ可能難以適應(yīng)這一變化，因此迫切需要研究控制器參數(shù)λ的在線自適應(yīng)調(diào)節(jié)方法，以保證高超聲速飛行器在整個(gè)再入過程的穩(wěn)定性.

另一方面，考慮到大氣環(huán)境的不確定性和陣風(fēng)、切變風(fēng)等的外界干擾，特別是50km以下稠密大氣環(huán)境下氣動力和氣動力矩對不確定性的敏感性，控制系統(tǒng)的魯棒性，特別是對抗外界干擾的能力，也是評價(jià)飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)好壞的關(guān)鍵指標(biāo).

基于上述分析，在式(5)給出的控制器基礎(chǔ)上，考慮如下黃金分割魯棒自適應(yīng)控制器

(6)

在以下內(nèi)容中，將著重研究參數(shù)λ(k)的求解方法，使得對一定條件下的外界擾動w(k)和參數(shù)攝動，閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下性能指標(biāo)：

1)外界擾動w(k)對系統(tǒng)輸出z∞(k)的傳遞函數(shù)Tz∞w的H∞范數(shù)滿足

(7)

2)外界擾動w(k)對系統(tǒng)輸出z2(k)的傳遞函數(shù)Tz2w的H2范數(shù)滿足

(8)

在外界擾動w(k)的作用下，特征模型改寫為

α(k+1)=f1(k)α(k)+f2(k)α(k-1)+

g0(k)δe(k)+B2(k)w(k)

(9)

相應(yīng)的輸出為：

(10)

其中C0=C1=[0 1].系統(tǒng)輸出z∞對應(yīng)于擾動w(k)∈L2激發(fā)的H∞性能指標(biāo)，輸出z2對應(yīng)于擾動w(k)∈L∞激發(fā)的H2性能指標(biāo).

令狀態(tài)變量x1(k)=α(k),x2(k)=α(k+1),則在控制律(6)下，閉環(huán)系統(tǒng)具有如下狀態(tài)空間表達(dá)式：

(11)

其中

(12)

A0+B1Um+ΔA0

(13)

根據(jù)注釋1，參數(shù)f1,f2的估計(jì)誤差是關(guān)于采樣時(shí)間的無窮小量，因此，不確定矩陣ΔA0是范數(shù)有界的結(jié)構(gòu)化輸入矩陣：

ΔA0=HFE

(14)

其中FTF≤I.不失一般性，令H=[0h],h∈R且E=eI,e∈R.

(15)

其中AC=A0+B1Um.

上述引理是文獻(xiàn)[18]中結(jié)論的直接應(yīng)用.條件(15)是雙線性矩陣不等式，通常情況下可以利用一些處理手段將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式形式，從而可借助Matlab工具箱進(jìn)行求解[19].然而，本文所討論的問題具有一定的特殊性，主要體現(xiàn)在系統(tǒng)矩陣Ac是關(guān)于未知變量m的仿射函數(shù)，如式(13)所示.因此，在滿足黃金分割控制律這一前提下，傳統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制增益的求解問題轉(zhuǎn)化為具有結(jié)構(gòu)約束[1μ]m的關(guān)于未知量m的控制增益求解問題.從而增加了求解難度，現(xiàn)有的處理手段無法直接適用.

將矩陣AC,E,C1,C0和H代入式(15)，基于Schur補(bǔ)，得到不等式(15)的等價(jià)條件如下

(16)

其中

再次對式(16)應(yīng)用Schur補(bǔ)，得到等價(jià)條件為

G<0，G-(-p3+hβ)-1(v1+mv2)(v1+mv2)T<0

(17)

其中G是矩陣M左上方的4×4對角塊且

(18)

考慮不等式

G-(-p3+hβ)-1(v1+mv2)(v1+mv2)T-ZΛZT<0

(19)

或等價(jià)的

ZΛZT<0

(20)

上述不等式成立的充分條件為：

ZΛZT<0

(21)

其中，ε的引入是為了避免出現(xiàn)奇異矩陣.

因此，式(21)或等價(jià)的條件(16)成立的充分條件是

其中

(22)

從式(22)中可以看出，等式左邊未知變量個(gè)數(shù)大于等式右邊未知變量個(gè)數(shù)，因此直接求解可能出現(xiàn)無解，下面給出對上述問題的一種解決方法.

Y1+(-p3+hβ)-Y3m2<0

(23)

證明.證明過程可參考文獻(xiàn)[20]，因篇幅限制，在此略去.

條件(23)是線性矩陣不等式，可以利用LMI-toolbox進(jìn)行計(jì)算.為了降低其保守性，可考慮如下優(yōu)化問題：

min(Y1-Y2-Y3-p3-β)

s.t.(23)成立.

推論3.根據(jù)引理2，對于特征模型(9)和控制律(6)組成的閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，且H2和H∞性能指標(biāo)滿足要求的充分條件是，在每一個(gè)采樣時(shí)間內(nèi)，控制器參數(shù)λ(k)滿足定理3.

4 高超聲速飛行器再入過程的姿態(tài)控制

為了體現(xiàn)本文提出的魯棒自適應(yīng)控制律對飛行環(huán)境大范圍變化的適應(yīng)能力，在仿真中將飛行器的初始高度設(shè)定為43km，初始速度為2.5km/s.假設(shè)氣動參數(shù)的不確定性為具有cosine形式的表達(dá)式:ΔCm·=±0.3cos(0.05Cm·).在t=3s時(shí)，設(shè)攻角受到外界擾動使其偏離指令角3°.根據(jù)定理3，在每一個(gè)采樣周期計(jì)算控制器參數(shù)λ(k)，計(jì)算結(jié)果如圖1所示，相應(yīng)的高度和速度的變化曲線如圖2所示.攻角的指令角為10°，其跟蹤曲線如圖3所示.其中，實(shí)線、點(diǎn)線和虛線分別對應(yīng)λ(k),λ=0.01和λ=0.000001時(shí)的動態(tài)響應(yīng)曲線.在外界擾動作用下，攻角跟蹤誤差的H2范數(shù)和H∞范數(shù)的計(jì)算結(jié)果如表格1所示.通過對仿真數(shù)據(jù)的比較可知，引入λ(k)在線優(yōu)化的思想，閉環(huán)系統(tǒng)具有更小跟蹤誤差和更強(qiáng)的抗擾能力，從而驗(yàn)證了本文所提出方法的有效性和適用性.

表1 攻角跟蹤誤差的H2范數(shù)和H∞范數(shù)

圖1 λ(k)的計(jì)算結(jié)果

圖2 再入軌跡

圖3 不同的λ對應(yīng)的攻角跟蹤曲線

5 結(jié) 論

本文主要研究具有大升阻比的高超聲速飛行器再入過程的魯棒自適應(yīng)姿態(tài)控制方法.針對再入過程環(huán)境大范圍變化，在現(xiàn)有的基于特征模型的黃金分割自適應(yīng)控制方法基礎(chǔ)上，提出了基于線性矩陣不等式的控制器參數(shù)λ(k)的求解方法，改進(jìn)后的控制律中λ(k)通過在線實(shí)時(shí)計(jì)算得到，且計(jì)算效率高，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，提高了瞬態(tài)響應(yīng)性能和抵抗外界干擾的魯棒性.通過仿真驗(yàn)證了算法的優(yōu)越性、適應(yīng)性和有效性.

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