姿態(tài)機(jī)動(dòng)對(duì)于空間飛行器完成精確定向、跟蹤等期望的飛行任務(wù)至關(guān)重要[1]．飛行器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)是一個(gè)具有強(qiáng)耦合性質(zhì)的非線性控制問題．目前，應(yīng)用于飛行器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的非線性控制策略主要有變結(jié)構(gòu)控制、動(dòng)態(tài)逆控制、反演控制等[2-4]．這些方法的理論基礎(chǔ)主要是Lyapunov穩(wěn)定性理論，其設(shè)計(jì)結(jié)果在很大程度上依賴于所構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)．為克服尋找Lyapunov函數(shù)的困難，文獻(xiàn)[5]借助于平方和(SOS，sum of squares)優(yōu)化技術(shù)，設(shè)計(jì)了用于飛行器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的非線性鎮(zhèn)定控制器.在考慮外部干擾的情況下，文獻(xiàn)[6]進(jìn)一步研究了飛行器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的非線性H∞控制問題．但對(duì)于空間飛行器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)保性能控制問題，據(jù)作者所知，相關(guān)的研究成果尚未見報(bào)道．

本文在文獻(xiàn)[5-6]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究飛行器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)保性能控制器問題．采用修正Rodrigues參數(shù)(MRP，modified Rodrigues parameters)，以線性參數(shù)可變(LPV，linear parameter varying )系統(tǒng)的形式建立飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型；在分析系統(tǒng)性能指標(biāo)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件，并將控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有平方和約束的參數(shù)優(yōu)化問題．

1 問題描述

采用修正Rodrigues參數(shù)方法描述飛行器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)．修正的Rodrigues參數(shù)可由四元數(shù)得到．設(shè)qi(i=1,…,4)為四元數(shù)參數(shù)，σi(i=1,2,3)表示修正的Rodrigues參數(shù)，e為剛體飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)軸的單位矢量，ei為e的方向余弦，θ為剛體飛行器繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，則有

(1)

設(shè)σ=[σ1σ2σ3]T，采用修正Rodrigues參數(shù)σ描述剛體飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

(2)

式中

ω=[ωxωyωz]T為剛體飛行器繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．

考慮剛體飛行器的動(dòng)力學(xué)方程：

(3)

式中，Ii(i=x,y,z)表示繞星體坐標(biāo)系第i個(gè)主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ti(i=x,y,z)表示繞第i個(gè)主軸的控制力矩．

聯(lián)立式(2)、(3)，可得

(4)

式中

f1=[(Iy-Iz)/Ix]ωyωz,f2=[(Iz-Ix)/Iy]ωzωx,

f3=[(Ix-Iy)/Iz]ωxωy,

定義含有角速度和修正Rodrigues參數(shù)的狀態(tài)向量x(t)=[ωxωyωzσ1σ2σ3]T，控制向量u(t)=[TxTyTz]T，則式(4)可改寫為L(zhǎng)PV系統(tǒng)的形式，即

(5)

式中

a12=[(Iy-Iz)/Ix]ωz,a23=[(Iz-Ix)/Iy]ωx,

設(shè)存在狀態(tài)反饋控制器

u(t)=K(x(t))x(t)

(6)

其中K(x(t))為待定的多項(xiàng)式增益矩陣，則相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)為

(7)

定義與系統(tǒng)狀態(tài)x(t)和控制輸入u(t)相關(guān)的性能指標(biāo)

(8)

式中Q=QT>0，R=RT>0為給定的加權(quán)矩陣．

本文研究的問題是：對(duì)于由式(5)描述的LPV系統(tǒng)，要求設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器(6)，使得相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)(7)是穩(wěn)定的，且由式(8)定義的系統(tǒng)性能指標(biāo)滿足J≤J*，其中J*是某個(gè)確定的常數(shù)．

2 控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 平方和分解

定義1.對(duì)于n元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x1,x2,…,xn)，若存在一組多項(xiàng)式f1(x),f2(x),…,fm(x)，使得

(9)

則稱f(x1,x2,…,xn)為平方和(SOS)多項(xiàng)式．

記∑SOS表示所有平方和多項(xiàng)式的集合．根據(jù)定義1可知，若f(x)∈∑SOS，則對(duì)于?x∈Rn，均有f(x)≥0成立．

下述命題結(jié)出了簡(jiǎn)便的判定n元多項(xiàng)式是否為SOS多項(xiàng)式的方法[7]．

命題1．設(shè)f(x)是一個(gè)次數(shù)不高于2d的n元多項(xiàng)式，Z(x)是由次數(shù)不高于d的單項(xiàng)式組成的列向量，則f(x)為SOS多項(xiàng)式的充要條件是存在一個(gè)半正定矩陣Q，使得

f(x)=ZT(x)QZ(x)

(10)

下述引理進(jìn)一步給出了一個(gè)判定多項(xiàng)式矩陣是否為半正定矩陣的方法．

引理1[8]．設(shè)x∈Rn，矩陣F(x)是次數(shù)為2d的N×N維對(duì)稱多項(xiàng)式矩陣，Z(x)是由次數(shù)不高于d的單項(xiàng)式組成的列向量，考慮如下3個(gè)條件：

(a)對(duì)于所有的x∈Rn，均有F(x)≥0；

(b)vTF(x)v是SOS多項(xiàng)式，其中v∈RN是與x不相關(guān)的向量；

(c)存在一個(gè)半正定矩陣Q，使得vTF(x)v=(v?Z(x))TQ(v?Z(x))，其中“?”表示Kronecker積；

則有：(a) ?(b) and (b)?(c)．

2.2 系統(tǒng)性能分析

引理2．對(duì)于對(duì)稱的非奇異多項(xiàng)式矩陣P(x)，有如下關(guān)系式成立:

(11)

定理1．如果存在適維對(duì)稱正定多項(xiàng)式矩陣P(x)，使得如下矩陣不等式成立

(12)

其中，

則閉環(huán)系統(tǒng)(7)是穩(wěn)定的，且由式(8)定義的系統(tǒng)性能指標(biāo)滿足

J

(13)

證明．選取如下形式的候選Lyapunov函數(shù)

V(x)=xTP-1(x)x

(14)

由矩陣P(x)的正定性可知，對(duì)于任意x≠0，函數(shù)V(x)是正定的．

沿閉環(huán)系統(tǒng)(7)的任意軌線對(duì)V(x)求導(dǎo)，可得

(15)

式中

根據(jù)矩陣的Schur補(bǔ)引理，式(12)可表示為

Γ1+P(x)QP(x)+P(x)KT(x)RK(x)P(x)<0

(16)

對(duì)式(16)兩邊分別左乘P-1(x)、右乘P-1(x)，并利用引理2，可得

Ω+Q+KT(x)RK(x)<0

(17)

結(jié)合式(15)和(17)，可得

(18)

進(jìn)一步的，對(duì)式(18)兩邊對(duì)時(shí)間t從0到∞積分,并利用系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則有

≤xT(0)P-1(x(0))x(0)

(19)

在定理1的基礎(chǔ)上，下述定理以SOS的形式，給出了一個(gè)判定LPV系統(tǒng)性能指標(biāo)(8)的方法．

定理2．如果存在適維對(duì)稱多項(xiàng)式矩陣P(x)，使得

(20)

(21)

式中，ε1(x)和ε2(x)為非負(fù)多項(xiàng)式，且對(duì)于所有的x≠0，ε1(x)>0，ε2(x)>0；v1,v2,v3和v4是與x不相關(guān)的向量，則閉環(huán)系統(tǒng)(7)是穩(wěn)定的，且系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足J

證明．結(jié)合引理1和定理1可證得該定理．

注1．定理2中的所有條件均以SOS多項(xiàng)式的形式給出，并且能夠方便地運(yùn)用MATLAB平方和優(yōu)化工具箱SOSTOOLS進(jìn)行求解[9]．

2.3 控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)

記J={j1,j2,…,jm}是由矩陣Bu(x)的全零行標(biāo)志構(gòu)成的集合，即

(22)

下述定理給出了空間飛行器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)保性能控制器的存在條件和設(shè)計(jì)方法．

(23)

(24)

(25)

證明.選取如下形式的候選Lyapunov函數(shù)

(26)

(27)

式中，

令

(28)

并對(duì)式(27)進(jìn)行整理，可得式(24)．定理的其余部分容易從前面的分析得到，定理得證．

進(jìn)一步引入標(biāo)量λ>0，使得

(29)

根據(jù)矩陣的Schur補(bǔ)引理，上式可等價(jià)地表示為

(30)

由引理1可知，若式

(31)

成立，則有式(30)成立．

綜上可知，狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)保性能控制器設(shè)計(jì)可歸結(jié)為一個(gè)具有平方和約束的參數(shù)λ最小化問題．

推論1.對(duì)于系統(tǒng)(5)，若如下優(yōu)化問題:

(32)

(33)

且相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)指標(biāo)性能的上界是λ*.

3 算例仿真

以某衛(wèi)星大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制為例進(jìn)行仿真．將衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣I=diag{100,60,40}(kg·m2)代入飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程(5)，則運(yùn)用推論1可設(shè)計(jì)衛(wèi)星大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)保性能控制器．

設(shè)衛(wèi)星初始姿態(tài)和目標(biāo)姿態(tài)的歐拉角分別為(75°,-175°,70°)和(0°,0°,0°)，初始角速度為(0,0,0)．根據(jù)歐拉角與修正Rodrigues參數(shù)之間的關(guān)系，可知衛(wèi)星初始姿態(tài)和目標(biāo)姿態(tài)的修正Rodrigues參數(shù)分別為(0.7010,-0.9331,0.7624)和(0,0,0)．

對(duì)于在軌運(yùn)行的衛(wèi)星而言，主要控制目標(biāo)為盡量減少燃料消耗，因而選取加權(quán)矩陣Q和R如下：

Q=diag{0.1,0.1,0.1,0.5,0.5,0.5}，R=diag{1,1,1}.

其中

繞衛(wèi)星3個(gè)主軸的控制力矩分別為

0.00385x1x4+0.0258x1x5-0.1049x1x6-

0.0043x2x4-0.0239x2x5+0.1617x2x6+

0.09617x3x5+0.0056x3x6+5.4546x3-

0.02842x1x4-0.0335x1x5+0.07189x1x6-

0.1075x2x4+0.05972x5-0.0530x2x6+

0.0762x3x5-0.0317x3x6-3.81526x3+

0.0530x1x4-0.1686x1x5+0.1318x1x6-

0.0043x2x4+0.0309x2x5-0.1517x2x6+

0.1001x3x5-0.0098x3x6+16.0352x3+

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)方法的有效性，對(duì)衛(wèi)星大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制過程進(jìn)行仿真．設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x(0)=[0,0,0,0.7010,-0.9331,0.7624]T，在所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)保性能控制器的作用下，描述衛(wèi)星姿態(tài)的修正Rodrigues參數(shù)σi(i=1,2,3)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)角速率ωi(i=x,y,z)隨時(shí)間的變化曲線如圖1和圖2所示．

圖1 修正Rodrigues參數(shù)變化曲線

圖2 姿態(tài)角速度變化曲線

在衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中，繞衛(wèi)星3個(gè)主軸的控制力矩Ti(i=x,y,z)隨時(shí)間的變化曲線如圖3所示．

圖3 控制量變化曲線

由仿真結(jié)果可以看出，在狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)保性能控制器的作用下，描述衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的修正的Rodrigues參數(shù)能夠由初始狀態(tài)(0.7010,-0.9331,0.7624)達(dá)到期望的狀態(tài)(0,0,0)．在衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制過程中，隨著飛行器姿態(tài)的變化，施加到衛(wèi)星3個(gè)軸上的控制量逐漸減小，相應(yīng)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)角速度也逐漸趨于零．

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于平方和優(yōu)化的空間飛行器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)保性能控制方法．采用修正Rodrigues參數(shù)建立飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用Lyapunov方法和平方和優(yōu)化技術(shù)，給出飛行器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)保性能控制器的存在條件和設(shè)計(jì)方法．對(duì)某衛(wèi)星大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制的仿真結(jié)果表明了所述方法的有效性．

參 考 文 獻(xiàn)

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