韋興洲

摘 要：本文從不等式acosθ+bsinθ≤（a，b，θ∈R，ab≠0）（或其等價(jià)形式）的結(jié)構(gòu)出發(fā)，聯(lián)想代數(shù)或幾何模型，得到了該不等式的六種證法.

關(guān)鍵詞：不等式；模型；證明

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，從不同的角度考察不等式的結(jié)構(gòu)特征，可以聯(lián)想不同的數(shù)學(xué)模型，從而實(shí)現(xiàn)“條條大路通羅馬”的一題多證.本文以不等式acosθ+bsinθ≤（a，b，θ∈R，ab≠0）的證明為例，供參考.

定理：acosθ+bsinθ≤（a，b，θ∈R，ab≠0）.

證法二（平方和模型）：由（acosθ+bsinθ）2+（asinθ-bcosθ）2=a2+b2且（asinθ-bcosθ）2≥0，所以可得（acosθ+bsinθ）2≤a2+b2，即acosθ+bsinθ≤.

證法三（柯西不等式模型）：由柯西不等式（acosθ+bsinθ）2≤（a2+b2）（cos2θ+sin2θ），可得（acosθ+bsinθ）2≤a2+b2，從而兩邊開方可得acosθ+bsinθ≤.

證法四（向量模型）：設(shè)m=（a，b），n=（cosθ，sinθ），由m·n≤mn得acosθ+bsinθ≤.

證法五（橢圓（或圓）模型）：取x=acosθ，y=bsinθ，則要證明在約束條件+=1（ab≠0）下目標(biāo)函數(shù)z=x+y的值域?yàn)閇-，]. 而當(dāng)且僅當(dāng)直線y=-x+z與橢圓（或圓）+=1相切時(shí)縱截距z取得最值. 聯(lián)立y=-x+z與+=1并消去y得關(guān)于x的一元二次方程（a2+b2）x2-2a2zx+a2（z2-b2）=0（ab≠0），由Δ=0得z2=a2+b2. 從而可知（x+y）2的最大值為a2+b2，即有acosθ+bsinθ≤.

證法六（距離模型）：由ab≠0可得a2+b2≠0，故可把d=看作單位圓x2+y2=1上一點(diǎn)（cosθ，sinθ）到過原點(diǎn)（同時(shí)為單位圓圓心）的直線ax+by=0的距離，易得d≤1，從而acosθ+bsinθ≤.

評注：不等式acosθ+bsinθ≤（a，b，θ∈R，ab≠0）中等號成立的充要條件為：當(dāng)asinθ=bcosθ>0時(shí)，acosθ+bsinθ=；當(dāng)asinθ=bcosθ<0時(shí)，acosθ+bsinθ=-.