巧妙求解抽象函數(shù)定義域

周學(xué)慧

摘 要 求抽象函數(shù)的定義域問題的求解方法利用口訣為：“定義域不變，法則的作用范圍也不變?！边M(jìn)行求解。關(guān)鍵是要找到法則的作用范圍。

關(guān)鍵詞 抽象函數(shù) 定義域 法則 作用范圍 復(fù)合函數(shù) 取值范圍。

求抽象函數(shù)的定義域是高一學(xué)生接觸到函數(shù)以后遇到的比較頭痛的問題，函數(shù)對于剛剛接觸這部分知識的學(xué)生來說就很抽象，而抽象函數(shù)沒有給出函數(shù)的具體解析式，正是因為抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性讓學(xué)生們感到很迷惑，使同學(xué)們在解決此類問題時感覺無從下手。而求抽象函數(shù)定義域在高考中一般以選擇.填空的形式出現(xiàn)，不能忽視。因此，我在解決此類問題時總結(jié)了一句口訣，用口訣讓學(xué)生們進(jìn)行記憶既簡單又加深了學(xué)生們的理解。

口訣為：“定義域不變，法則的作用范圍也不變。”

一、已知f（x）的定義域，求f[g（x）]的定義域

例1 已知函數(shù)f（x）的定義域為[-2，1]，求函數(shù)f（x+1）的定義域。

在解決這道題時我利用口訣“定義域不變，法則的作用范圍不變?！狈治鋈缦拢簩τ诤瘮?shù)f（x），法則f只對x發(fā)生作用，x的取值范圍就是法則f的作用范圍，即法則f的作用范圍在[-2，1]。從函數(shù)f（x） 到f（x+1），法則沒有發(fā)生改變，因此法則的作用范圍仍然在[-2，1]，而在函數(shù)f（x+1）中，法則是對x+1發(fā)生了作用， x+1在法則f的作用范圍內(nèi)，所以對于函數(shù)f（x+1），有-2≤x+1≤1。最后求函數(shù)f（x+1）的定義域，只需將這里的x范圍求出即可。因此，本題函數(shù)f（x+1）的定義域為[-3，0]。

【點評】此類問題的解題關(guān)鍵就是求出法則的作用范圍。再根據(jù)口訣“定義域不變，法則的作用范圍不變?！鼻蠼?。

二、已知f[g（x）]的定義域，求f（x）的定義域

例2 已知函數(shù)f（x+1）的定義域為[-2，1]，求函數(shù)f（x）的定義域。

分析：先從求法則的作用范圍入手作為解題突破口，對于函數(shù)f（x+1），法則f對x+1發(fā)生作用，x+1的范圍就是法則的作用范圍。因為定義域為[-2，1]，對于函數(shù)f（x+1），有-2≤x≤1，所以-1≤x+1≤2，因此得出法則f的作用范圍在[-1，2]。從函數(shù)f（x+1）到f（x），法則沒有改變，所以作用范圍也不變，仍然在[-1，2]，而對于函數(shù)f（x），法則是對x發(fā)生作用，所以x也應(yīng)該在法則的作用范圍內(nèi)，因此-1≤x≤2。本題函數(shù)f（x）的定義域為[-1，2]。

三、已知f[g（x）] 的定義域，求f[h（x）] 的定義域

例3 已知函數(shù)f（x-1）的定義域為[-2，1]，求函數(shù)f（x+1）的定義域

分析：求出法則f的作用范圍，本題就得以解決。對于函數(shù)f（x-1），法則f對x-1發(fā)生作用，x-1的范圍就是法則的作用范圍。因為定義域為[-2，1]，對于函數(shù)f（x-1），有-2≤x≤1，所以-3≤x-1≤0，因此得出法則f的作用范圍在[-3，0]。從函數(shù)f（x-1）到f（x+1），法則沒有改變，所以作用范圍也不變，仍然在[-3，0]，而對于函數(shù)f（x+1），法則是對x+1發(fā)生作用，所以x+1在法則的作用范圍內(nèi)，即-3≤x+1≤0，因此，-4≤x≤-1，本題函數(shù)f（x+1）的定義域為[-4，-1]。

【點評】 解決第三類題型無需通過求函數(shù)f（x）作為求解橋梁，也可以把函數(shù)f（x+1）的定義域求出，關(guān)鍵就是求出法則的作用范圍，再通過口訣“定義域不變，法則的作用范圍也不變?！鼻蠼馔瓿?。

練習(xí)：

1、已知函數(shù)f（）的定義域為[0，3]，求函數(shù)f（x）的定義域及函數(shù)f（x-1）的定義域

2、已知函數(shù)f（）的定義域為[1，2]，求函數(shù)f（x）的定義域及函數(shù)f（2x）的定義域。

3、已知函數(shù)f（x+1）的定義域為[-1，2]，求函數(shù)f（）的定義域及函數(shù)f（x+1）的定義域

4、已知函數(shù)f（x）的定義域為[-3，5]，求g（x）= f（-x）+f（）的定義域。

答案：（ 1 ） [1，2] [ 2，3]

（ 2 ） [1，4] [0.5，2]

（ 3 ） [-] [-1，4]

（ 4 ） [-]

【說明】 對于練習(xí)題4，求有限個抽象函數(shù)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域，先求出每個函數(shù)的定義域，再求它們的交集。

下面是歷年各省市高考模擬題中出現(xiàn)的此類題目：

1、（山東省萊蕪五中2013屆高三4月模擬數(shù)學(xué)（理）試題）

已知函數(shù)f（x）的定義域為[3，6]，則函數(shù)y=的定義域為 （ ）

A、[，+∞） B、[，2） C、[，+∞） D、[，2）

【答案】B

2、【北京市通州區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理】奇函數(shù)f（x）的定義域為[2，2]，若f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，且f（1+m）+f（m）<0，則實數(shù)m的取值范圍是 .

【答案】 [-0.5，1]

3、【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考】定義R在上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2），且x∈（-1，0）時，f（x）=2x+，則f（log220 ）=（ ）

A、1 B、 C、-1 D、-

【答案】C

4、（2013屆北京市延慶縣一模數(shù)學(xué)文）：A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)%o（x）組成的集合：（1）對任意x∈[1，2]，都有%o（2x）∈[1，2]；（2）存在常數(shù)L（0

（作者單位：貴州省六盤水市第三中學(xué)）