永遠的定義域

李小蛟

(四川省成都樹德中學 610000)

函數(shù)定義域是指在對應法則下自變量的取值范圍，相同法則作用的整體應該一致.所以筆者認為處理復合函數(shù)定義域只需要記住“兩個永遠”：定義域永遠指x范圍，括號內范圍永遠不變.

1.已知f(x)的定義域，求f[g(x)]的定義域

例1已知f(x)的定義域為[4，6]，求①f(2x+1)，②f(|3x+1|)的定義域.

分析本題給出f(x)的定義域為[4，6]，即表示f(x)中x的范圍為[4，6]，此時f(x)括號內只有x，所以在相同法則f作用之下的括號內范圍均應該為[4，6].

解①∵f(x)的定義域為[4，6],

②∵f(x)的定義域為[4，6],

∴4≤|3x+1|≤6,

評析已知f(x)的定義域為[m,n]，求f[g(x)]的定義域，根據(jù)復合函數(shù)定義域“兩個永遠”法則，只需令m≤g(x)≤n，求解出x的范圍即為f[g(x)]的定義域

2.已知f[g(x)]的定義域，求f[h(x)]的定義域

例2已知f(3x+1)的定義域為[4，6]，求f(2x+1)，f(|3x+1|)的定義域.

分析本題給出f(3x+1)的定義域為[4，6]，即f(3x+1)中x的范圍為[4，6]，此時f(3x+1)括號內為3x+1，所以13≤3x+1≤19，因此在相同法則f作用之下的括號內范圍均應該為[13，19].

解①∵f(3x+1)的定義域為[4，6],有4≤x≤6,

∴13≤3x+1≤19.根據(jù)復合函數(shù)定義域可知13≤2x+1≤19，

∴6≤x≤9，即f(2x+1)的定義域為[6，9].

②∵f(3x+1)的定義域為[4，6]，

∴13≤3x+1≤19.

根據(jù)復合函數(shù)定義域可知13≤|3x+1|≤19，

評析已知f[g(x)]的定義域為[m,n]，求f[h(x)]的定義域.根據(jù)復合函數(shù)定義域“兩個永遠”法則，只需求出g(x)的值域[p,q],再令p≤h(x)≤q，求解出x的范圍即為f[h(x)]的定義域.

通過以上例析，我們不難發(fā)現(xiàn)，復合函數(shù)定義域雖然不易理解，難以掌握，但只要記住兩個永遠(定義域永遠指x范圍，括號內范圍永遠不變)，就永遠不會出錯.