如何求抽象函數(shù)的定義域

葉建勇

求抽象函數(shù)的定義域問題經(jīng)常出現(xiàn)各類函數(shù)試題中.此類問題較為抽象，題目中通常不會給出具體的函數(shù)解析式，要求根據(jù)已知條件或函數(shù)的值域求其定義域.常見的題型有三種：（1）已知 f x的定義域，求fgx的定義域;（2）已知fgx的定義域，求 f x的定義域;（3）已知fgx的定義域，求fhx的定義域.下面結合實例，重點探討一下這三類抽象函數(shù)定義域問題的解法.

例1.已知函數(shù) f x的定義域為4， 9，求 fx2的定義域.

解：令 u = x2，則 fx2是由 u = x2與 y =f u構成的復合函數(shù)，

因為函數(shù) f x的定義域為4， 9，

所以 u = x2∈4， 9，

解得-3≤ x ≤-2或 2≤ x ≤3，

即函數(shù) fx2的定義域為[-3，-2]?[2，3].

對于已知函數(shù) f x的定義域，求fgx的定義域問題，需先根據(jù) f x的定義域a， b確定函數(shù)gx的值域，即gx∈a， b，通過解不等式 a ≤ g（x）≤ b，得到fgx的定義域.對于本題，我們需由 f x的定義域，確定 u = x2∈4， 9，建立關于 x 的不等式，即可求得 x 的取值范圍.

例2.已知函數(shù) fx2- 2x +2的定義域為0， 3，求函數(shù) f x的定義域.

解：令 t = x2- 2x +2，所以 fx2- 2x +2=f t，

因為 fx2- 2x +2的定義域為0， 3，

則 x ∈0， 3，

所以，當 x ∈0， 3時，x2- 2x +2∈1， 5，

因此 f x的定義域為1， 5.

若已知fgx的定義域為a， b，求函數(shù) f x的定義域，需根據(jù)fgx的定義域a， b，得到gx的值域，所得的gx的值域即為函數(shù) f x的定義域.

例3.已知函數(shù) y=f（x2-1）的定義域為[- ?， ]，則函數(shù) y=f（x）的定義域為_____.

解：∵y=f（x2-1）的定義域為[- ?， ]，

∴ x ∈[- ?， ]，x2-1∈[-1，2]，

∴y=f（x）的定義域為[-1，2].

我們只需根據(jù)題意求得 x2-1的取值范圍，即可建立關于 x 的不等式，求得函數(shù) y=f（x）的定義域.在解題時，需注意兩點：（1）明晰fgx的定義域與 f x的定義域之間的區(qū)別;（2）明確fgx中的gx與f x中 x 之間的等價關系.

例4.已知函數(shù) f x +2的定義域是-1， 2，求函數(shù) fx2的定義域.

解：因為 f x +2的定義域是-1， 2，

則-1≤ x ≤2，

因此1≤ x +2≤4，

即函數(shù) f x的定義域為1，4，

令1≤ x2≤4，

解得-2≤ x ≤- 1或1≤ x ≤2，

因此，函數(shù) fx2的定義域為{x|- 2≤ x ≤-1或1≤x ≤2}.

在解答本題時，需明確函數(shù) f x的 x 與函數(shù)fx2中 x2的值域之間的等價關系，由此建立關系式，即可解題.若已知fgx的定義域為a， b，求函數(shù)fhx的定義域，要根據(jù)fgx的定義域得到gx的值域，再根據(jù)gx的值域等價于hx的值域來建立不等式，解不等式即可求得fhx的定義域.

雖然函數(shù) y =fgx、y =fhx、y =f x的解析式不相同，但是其對應的法則相同，因此求抽象函數(shù)的定義域，關鍵在于明確 y =fgx、y =fhx、 y =f x中 x、gx、hx的意義及其等價關系，建立相應的關系式，即可求得對應函數(shù)的定義域.

（作者單位：湖北省安陸市第二高級中學）