邵漢民

“比較”在《現(xiàn)代漢語詞典》的解釋中可以有三種詞性，分別是動詞、介詞與副詞，在這里筆者取其動詞的解釋，即“比較”是就兩種或兩種以上同類的事物辨別異同或高下?！氨容^”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最基本的學(xué)習(xí)策略之一。通過比較，可以溝通數(shù)學(xué)知識與生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，也有利于新知與舊知建立起完整的結(jié)構(gòu)體系。那么，如何用好比較的策略學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？下面筆者以“面積與面積單位”的教學(xué)為例，從如何找準(zhǔn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的比較點(diǎn)這一角度，闡述具體的做法。

一、找準(zhǔn)生活數(shù)學(xué)中的比較點(diǎn)

生活數(shù)學(xué)是相對于學(xué)校數(shù)學(xué)而言的，指學(xué)生由生活經(jīng)驗(yàn)而積累起來的數(shù)學(xué)知識，相對于學(xué)校數(shù)學(xué)缺乏嚴(yán)密的邏輯體系，卻與學(xué)生的日常語言與思維方式有著直接的聯(lián)系。

生活數(shù)學(xué)的積累往往是一種無意識的自發(fā)行為，與學(xué)生的日常生活環(huán)境有著密切的聯(lián)系，它既是學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的補(bǔ)充。如果能從學(xué)生的視角找準(zhǔn)將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識與生活數(shù)學(xué)的聯(lián)系，并進(jìn)行有效的比較與提煉，在教學(xué)中就可以起到事半功倍的作用。

可以確信，對于三下年級的學(xué)生而言，在日常生活中，經(jīng)常會觀察與比較一些物體的面，并通過直觀比較，判斷不同物體表面的大小。而學(xué)生在表述時(shí)，卻可能用“大小”來表述“面積”，即數(shù)學(xué)中的“面積”就是日常語言中的“面的大小”。

對于物體面“大小”的比較策略與物體“長度”的比較策略相同，都是重合相同部分后有多余者為較大或較長。前者只是從一維到二維的拓展。教師可以通過題組的形式，實(shí)現(xiàn)策略上的比較，引出與“面積”相對應(yīng)的日常詞匯“大小”，并由教師進(jìn)一步提煉引出“面積”的基本概念：“物體表面的大小，就是它們的面積”。

在實(shí)際教學(xué)中，筆者組織了如下的一組材料：

比一比，說一說：

（1）在下圖中，紅筆比綠筆（ ）。這句話中是在用紅筆的（ ）與綠筆的（ ）作比較。

（2）在下圖中，黑板面比電視機(jī)屏幕面（ ）。這里的意思是用黑板面的（ ）和電視機(jī)屏幕面的（ ）作比較。

上面的設(shè)計(jì)，通過對兩組實(shí)物的比較，喚起學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，直觀感受到面積與長度的區(qū)別，激發(fā)學(xué)生對“面積”進(jìn)一步研究的意向。

至于“面積單位”，筆者把它分為“日常面積單位”與“法定面積單位”?！叭粘Ｃ娣e單位”是指根據(jù)實(shí)際情況就地取材而選定的“面積單位”，如日常所說的這個(gè)客廳有10塊地磚這么大。這里，一塊地磚的大小就是“面積單位”?！胺ǘ娣e單位”是指邊長為法定單位長度的正方形的大小，即1平方米、1平方分米、1平方厘米等。從面積單位的形成過程而言，是由“日常面積單位”演變到“法定面積單位”的過程。

在實(shí)際教學(xué)中，筆者以觀察“七巧板”的面積活動引出“自然面積單位”，在教師的不斷追問下逐步經(jīng)歷“法定面積單位”的形成過程。

課件出示下圖的七巧板，教師問：這塊七巧板有多大？

學(xué)生1：有七個(gè)圖形這么大。

學(xué)生2：有4個(gè)①號圖形這么大。

其中學(xué)生2的說法中已經(jīng)包含了“自然面積單位”的觀念。依據(jù)學(xué)生2的說法，教師直觀演示。接著教師可以進(jìn)一步追問：

如果把⑤號圖形作為面積單位，那么這個(gè)正方形有多大？

通過兩個(gè)問題積累了如下的素材：

進(jìn)而教師再追問：為什么同一塊七巧板，一會兒說是4個(gè)面積單位，一會兒說是8個(gè)面積單位？在這里除了三角形可以作為面積單位，其他的圖形可以嗎？

在學(xué)生對后一個(gè)問題作出肯定的回答后，教師進(jìn)一步追問：什么樣形狀的圖形作為面積單位最合適？并用如下的圖示作為輔助。

當(dāng)學(xué)生有多個(gè)答案時(shí)，教師反問：哪一個(gè)圖形作為面積單位最不合適？學(xué)生選擇后教師課件演示在虛線的長方形中排列，讓學(xué)生直觀地感受到選擇正方形作為面積單位的優(yōu)越性。如下圖。

在認(rèn)同用正方形作為面積單位的形狀后，教師繼續(xù)追問：取邊長為多少的正方形作為面積單位比較合適？

當(dāng)學(xué)生無法回答時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生回憶常用的長度單位。學(xué)生在長度單位的啟發(fā)下，“創(chuàng)造”了常用的面積單位：平方米、平方分米、平方厘米，由長度單位作為基本，建立起這幾個(gè)面積單位的觀念。

數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，但高于現(xiàn)實(shí)。從現(xiàn)實(shí)生活中可以找到數(shù)學(xué)的原型與生長點(diǎn)，通過比較與抽象，就可以得到抽象化、規(guī)范化的數(shù)學(xué)知識，由此形成的數(shù)學(xué)知識更加有利于學(xué)生的理解，有利于學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的形成過程。

二、找準(zhǔn)學(xué)校數(shù)學(xué)中的比較點(diǎn)

學(xué)校數(shù)學(xué)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主渠道，學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是學(xué)生數(shù)學(xué)知識不斷積累、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不斷豐富、認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善、應(yīng)用能力不斷提高的過程。因此，在數(shù)學(xué)新知學(xué)習(xí)時(shí)，往往與原有知識基礎(chǔ)有著密切的聯(lián)系，且這種聯(lián)系不僅體現(xiàn)在外顯的知識結(jié)構(gòu)上，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維方式上。

“面積”與“周長”是同時(shí)存在于同一個(gè)封閉圖形的兩個(gè)幾何量。但是，由于學(xué)習(xí)的需要，往往會放到兩個(gè)學(xué)期進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生也會誤認(rèn)為這是兩個(gè)相互獨(dú)立的概念。因此，在建立面積概念的同時(shí)，可以對同一個(gè)物體的面或封閉圖形，同時(shí)指出它的“面積”與“周長”，讓學(xué)生通過直觀比較，既明白兩者的區(qū)別，也感受到它們之間的聯(lián)系。

在實(shí)際教學(xué)中，筆者以課本封面的周長與面積為例進(jìn)行了直觀比較，并請學(xué)生分別指出課本封面的周長與面積。

在學(xué)生正確地指出后，教師進(jìn)行總結(jié)：同樣是這本數(shù)學(xué)書的封面，既有以前學(xué)過的有關(guān)周長的知識，又有今天學(xué)的面積知識，它們都可以用來描述數(shù)學(xué)書封面的特征。

同樣地，“面積單位”與“長度單位”雖然有著不同的使用范疇，但也可以看成“同類事物”進(jìn)行比較。即數(shù)學(xué)中的“同類事物”有時(shí)需要通過拓展外延來實(shí)現(xiàn)，例如，“8”和“9”兩個(gè)具體整數(shù)的大小比較，“分?jǐn)?shù)”與“整數(shù)”則可以進(jìn)行兩類不同的數(shù)的意義比較，“分?jǐn)?shù)的意義”與“分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用問題”則可以在思維結(jié)構(gòu)上進(jìn)行比較。

三、融合兩類數(shù)學(xué)的比較點(diǎn)

學(xué)校數(shù)學(xué)為學(xué)生提供了相對抽象、嚴(yán)密的數(shù)學(xué)體系；生活數(shù)學(xué)則為學(xué)生提供了豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，兩類數(shù)學(xué)的有機(jī)融合構(gòu)成了學(xué)生豐富立體的數(shù)學(xué)世界。在實(shí)際教學(xué)中，教師既要明晰兩類數(shù)學(xué)中各自的比較點(diǎn)，還要能夠把它們有機(jī)地融合，形成更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于形成揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)流程。

如理解“面積”的意義，教師可以通過三次比較，即通過“長度”與“大小”的比較，概括出“物體表面的大小”就是物體表面的“面積”。接著通過數(shù)學(xué)書封面的周長與面積的比較，形象地說明“周長”與“面積”的不同屬性。在此基礎(chǔ)上教師出示如下圖的問題。在“封閉圖形”與“不封閉圖形”的比較中概括出“封閉圖形的大小”就是這些圖形的“面積”。

同樣，教師可以通過三次比較來完成“面積單位”的意義構(gòu)建。如前文中所述，首先通過對“日常面積單位”中各種形狀的比較來感受確定“法定面積單位”的必要，接著通過“長度單位”與“法定面積單位”的比較，發(fā)現(xiàn)兩種單位體系之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步形成“面積單位”的觀念。在此基礎(chǔ)上，再以“1平方分米”為重點(diǎn)，列舉了“1平方分米”的各種具體的呈現(xiàn)方式，通過具體現(xiàn)象的比較分析，建立起更加扎實(shí)的“面積單位”的意義。具體如下。

教師讓學(xué)生在不同大小的正方形彩紙中找出“1平方分米”的彩紙后，引導(dǎo)學(xué)生歸納：邊長為1分米的正方形，它的面積是1平方分米。接著請學(xué)生在身邊找1平方分米，用手勢比畫1平方分米。通過上述活動，學(xué)生的頭腦中已經(jīng)構(gòu)建了“1平方分米”的大小觀念，但這個(gè)觀念還只局限于“正方形”，為打破這種思維定勢，建立起更加完整的1平方分米的概念，筆者接著組織了如下兩個(gè)活動。

一是測量。用1平方分米的正方形彩紙測量書本的封面，估計(jì)數(shù)學(xué)書的封面大約是多少平方分米。學(xué)生在封面上鋪上兩個(gè)1平方分米的正方形后，在一邊還空出一個(gè)長條，大多數(shù)學(xué)生通過估計(jì)認(rèn)為這一長條大約是1平方分米。教師順勢追問：怎樣來檢驗(yàn)空白部分大致是1平方分米呢？根據(jù)學(xué)生的回答，教師把一個(gè)“1平方分米”的彩紙平均分成2個(gè)小長方形，拼到空白處。如下圖，直觀地展示了學(xué)生“1平方分米”的兩種形狀。教師繼續(xù)追問：1平方分米還可以是其他的形狀嗎？

二是剪拼。學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)同還可以有其他形狀后，教師把一個(gè)“1平方分米”的正方形彩紙，剪成不規(guī)則的兩個(gè)部分，再進(jìn)行拼組，得到各種不規(guī)則的形狀后展示，并問：是1平方米嗎？再把一張“1平方分米”的彩紙卷成一個(gè)圓柱，再問：這一個(gè)彎曲的面還是“1平方分米嗎？”在對各種直觀現(xiàn)象的辨析過程中，豐富了“1平方分米”的表象與內(nèi)涵。如下圖。

一般地，通過聯(lián)系學(xué)生日常數(shù)學(xué)的事例比較，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有“根”：把抽象的數(shù)學(xué)知識與鮮活的生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系；通過與原有學(xué)校數(shù)學(xué)知識的比較，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有“魂”并形成更加完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而兩者的有機(jī)融合，可以讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既有“根”又有“魂”。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)教研室 311200）