蔡世陽

在九年級(jí)下冊第27章第三節(jié)《用推理的方法研究四邊形》中，例舉了有關(guān)平行四邊形判定的各類方法。在課后作業(yè)中，筆者布置了一道題目：“一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是否為平行四邊形，如果是，請加以證明，如果不是，請舉反例說明。”布置這道作業(yè)題的背景是有關(guān)舉反例的題目是近幾年廈門市中考的熱點(diǎn)。

本題可以用特殊的三角形進(jìn)行舉例說明：

①畫△ABC，使∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；

②在BA上取BE=AC；

③以E為圓心，EB為半徑，作弧，交AB于點(diǎn)D；

④連結(jié)DE。

在四邊形AEDC中，易證∠A=∠EDC，DE=AC，但四邊形AEDC并非平行四邊形。

點(diǎn)評(píng)：本例用了特殊的三角形，具體的角度為學(xué)生所常見的，在具體操作中，以三角形為基礎(chǔ)，所構(gòu)建的四邊形非平行四邊形是易見的，操作過程并不困難。

引申與回味：本方法中限定的特殊角度，可以一般化，只需有∠A=2∠B，對(duì)∠C只需大于60°即可。

在2005～2006年市質(zhì)檢中，曾出過如下題目：

在△ABC的邊AB和BC上，分別找點(diǎn)P和Q，使PQ=AC，∠PQC=∠A。

在當(dāng)中的作答情況中，本題的得分率是全卷最低的一題，說明了學(xué)生在“舉反例”這一類型的題目里思維容量是極大的，也是學(xué)生難以突破的一類題目。

以下將通過學(xué)生的幾種解答方法，對(duì)本題“一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是否為平行四邊形，如果是，請加以證明，如果不是，請舉反例說明?！弊龀鼋獯穑?/p>

方法一：

①畫等腰三角形AEB，使AE=AB，如圖1；

②在EB上取一點(diǎn)C（C不是EB中點(diǎn)），連結(jié)AC，如圖2；

③以AC的垂直平分線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)D，連結(jié)AD，如圖3、4；

四邊形ABCD即為所舉反例。

由對(duì)稱性可有：AE=CD，∠ADC=∠AEB，又∵AE=AB，∠AEB=∠B

∴CD=AB，∠ADC=∠B。

滿足條件一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等，四邊形ABCD并非平行四邊形。

點(diǎn)評(píng)：本例中，利用等腰三角形固有的等邊與等角，利用對(duì)稱的形式確保邊與角的不變性。順利完成反例的列舉，讓人不由耳目一新。

引申與回味：①點(diǎn)C若為中點(diǎn)，則本解中四邊形ABCD為平行四邊形。

②對(duì)于對(duì)稱邊可表述為翻轉(zhuǎn)△AEC，使點(diǎn)A、C位置互換，同樣可以達(dá)到舉例的效果。

③若等腰三角形的底角太小，則四邊形ABCD可能作為凹四邊形，只需改變等腰三角形的底角大小即可。

方法二：

①作鈍角△ACE和其外接圓O；如圖5；

②作AD//CE，CD//AE，相交于點(diǎn)D；如圖6；

③以直徑AO為對(duì)稱軸，作AE的對(duì)稱弦AB；如圖7；

④連結(jié)BC，四邊形ABCD為所舉反例；如圖8。

四邊形AECD為平行四邊形。

故有AE=CD，則CD=AB，∠D=∠E=∠B，滿足條件。

點(diǎn)評(píng)：本例在已建立的平行四邊形的基礎(chǔ)上，利用圖保證邊與角的不變，同時(shí)也運(yùn)用了圖的對(duì)稱性，足以使人眼界大開。

以上的幾種作答方法，是學(xué)生在考試中給出的，說明學(xué)生的思維形式并不僅僅局限于課堂所學(xué)、教師所教，教師應(yīng)當(dāng)在日常教學(xué)中，善于挖掘?qū)W生提供的優(yōu)質(zhì)素材，鼓勵(lì)學(xué)生有自己獨(dú)立的思考方式，千萬不能低估了我們的學(xué)生，看，我們的學(xué)生多聰明！

（作者單位 福建省廈門市海滄區(qū)東孚學(xué)校）