木世杰 孫雪梅 朱維宗

1引言

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)飛速發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展、生活中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用，算法思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)開(kāi)設(shè)“算法初步”，利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，利于提高學(xué)生思維的邏輯性、條理性和精確性隨著新課程的全面深入，關(guān)于算法的“教與學(xué)”的問(wèn)題已經(jīng)引起了師生的廣泛關(guān)注由于算法的課程內(nèi)容對(duì)于很多數(shù)學(xué)老師來(lái)說(shuō)是比較陌生的，在具體實(shí)踐中又沒(méi)有現(xiàn)成的經(jīng)驗(yàn)可以“拿來(lái)我用”，因此給教師的教學(xué)帶來(lái)了全新的挑戰(zhàn)

二十世紀(jì)末，計(jì)算機(jī)大師DEKnoth提出“計(jì)算機(jī)科學(xué)就是研究算法的學(xué)問(wèn)”，“控制計(jì)算機(jī)運(yùn)行的任何程序至少是一個(gè)‘半算法，而每種算法都可以轉(zhuǎn)化為一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算或邏輯判斷”[1]由此可見(jiàn)，“算法”既是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心，算法與計(jì)算機(jī)技術(shù)有著緊密的聯(lián)系因此，可采用 “數(shù)學(xué)與信息技術(shù)相結(jié)合”的教學(xué)方式來(lái)進(jìn)行高中“算法初步”的教學(xué)

2“數(shù)學(xué)與信息技術(shù)相結(jié)合”教學(xué)方式

“數(shù)學(xué)與信息技術(shù)相結(jié)合”教學(xué)方式的指導(dǎo)思想：一、在數(shù)學(xué)課堂上，注重對(duì)算法理論知識(shí)的解讀和傳授；二、在信息技術(shù)課堂上，結(jié)合具體的案例讓學(xué)生體會(huì)算法思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的作用，并且通過(guò)及時(shí)的上機(jī)體驗(yàn)，幫助學(xué)生更好地掌握算法語(yǔ)句，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)算法的興趣

“數(shù)學(xué)與信息技術(shù)相結(jié)合”教學(xué)方式的基本環(huán)節(jié)：情境導(dǎo)入，激疑引趣——探究交流，分析算法——講練結(jié)合，上機(jī)驗(yàn)證——類比遷移，歸納概括

“情境導(dǎo)入，激疑引趣”是前提，這對(duì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究起著思維導(dǎo)向，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的作用如讓學(xué)生從實(shí)例情境“煮米線”的過(guò)程入手，指出“做任何事情，都是在一定的條件下按某種順序執(zhí)行的一系列操作”通過(guò)這樣的引入方式，介紹算法的含義以及“step by step”的算法思想就水到渠成另外，由于學(xué)生第一次接觸算法，對(duì)于某些專用術(shù)語(yǔ)，教學(xué)中可采用通俗易懂、形象有趣的語(yǔ)言進(jìn)行教學(xué)，可幫助學(xué)生理解抽象術(shù)語(yǔ)，如用“峰回路轉(zhuǎn)”來(lái)描述循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖

“探究交流，分析算法”是核心教學(xué)中要注重師生、生生之間的交流討論讓學(xué)生暢所欲言，發(fā)現(xiàn)奇思妙想，最后找出最佳算法在綜合實(shí)踐課的案例學(xué)習(xí)中，不再是由教師講解，而是讓學(xué)生自己上臺(tái)講解

“講練結(jié)合，上機(jī)驗(yàn)證”是手段了解算法的知識(shí)點(diǎn)后，學(xué)生未必能夠牢固掌握，只有通過(guò)適量地“練”才能鞏固因而在課堂上安排適當(dāng)?shù)木毩?xí)，要求學(xué)生即時(shí)上機(jī)體驗(yàn)，通過(guò)在計(jì)算機(jī)上的實(shí)踐驗(yàn)證，理解和掌握算法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)課程的整合

“類比遷移，歸納概括”是關(guān)鍵“算法初步”有效教學(xué)的一個(gè)重要指標(biāo)，是學(xué)生的算法學(xué)習(xí)能否從一個(gè)問(wèn)題遷移到另一個(gè)問(wèn)題，從一個(gè)情境遷移到另一個(gè)情境算法中的一個(gè)很重要的思想是類比思想，即把算法問(wèn)題進(jìn)行歸類，從而揭示出問(wèn)題中的共同本質(zhì)在教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生善于認(rèn)識(shí)不同問(wèn)題間的相互關(guān)系，并依據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去概括、反映事物的本質(zhì)特征，類比聯(lián)想事物之間共同的要素，加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系認(rèn)識(shí)越深刻，概括水平也就越高，遷移過(guò)程越順利，遷移的效果也就越好解決一類算法問(wèn)題后要及時(shí)歸納概括，從而利于學(xué)生掌握算法的邏輯結(jié)構(gòu)、加深對(duì)算法知識(shí)點(diǎn)的理解，加速算法技能的形成

使用“數(shù)學(xué)與信息技術(shù)相結(jié)合”教學(xué)方式進(jìn)行“算法初步”的學(xué)習(xí)，并非是要學(xué)生產(chǎn)生算法就是計(jì)算機(jī)技術(shù)的錯(cuò)覺(jué)，而是要讓學(xué)生結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)，以更直觀的形式學(xué)習(xí)算法，通過(guò)及時(shí)的上機(jī)體驗(yàn)，加深對(duì)算法理論知識(shí)的理解、對(duì)算法思想的感受以及對(duì)程序框圖設(shè)計(jì)的掌握使學(xué)生不僅有理性認(rèn)識(shí)，而且也有相應(yīng)的感性認(rèn)識(shí)，通過(guò)上機(jī)實(shí)踐，學(xué)生能更切實(shí)地感受到算法的奇妙，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)算法的興趣

3應(yīng)用“數(shù)學(xué)與信息技術(shù)相結(jié)合”的教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)的教學(xué)案例

案例秦九韶算法（選自人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修3第一章《算法初步》的13節(jié)《算法案例》）

教學(xué)過(guò)程片斷（實(shí)錄）：

（1）問(wèn)題導(dǎo)入，激疑引趣

提出問(wèn)題：設(shè)計(jì)求多項(xiàng)式當(dāng)x=x0的值的算法，并寫(xiě)出程序，統(tǒng)計(jì)所做的計(jì)算的種類及計(jì)算次數(shù)

（意圖使學(xué)生在自己操作的過(guò)程中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)問(wèn)題本身及其算法）

學(xué)生提出一般的解決方案，如：當(dāng)x=5時(shí)，

教師點(diǎn)評(píng)上述算法一共做了15次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算；優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，易懂，缺點(diǎn)是不通用，不能解決任意多項(xiàng)式的求值問(wèn)題，而且計(jì)算效率不高

問(wèn)：有沒(méi)有更高效的算法？

（意圖幫助學(xué)生建立改進(jìn)算法、提高計(jì)算效率的意識(shí)）

師：計(jì)算x的冪時(shí)，可以利用前面的計(jì)算結(jié)果，以減少計(jì)算量，即先計(jì)算x2再依次算x2x （x2x）x，（（x2）x）x的值，這樣計(jì)算上述多項(xiàng)式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法？

生：9次乘法運(yùn)算，5次加法

（2）探究交流，分析算法

師：第二次做法與第一種相比，乘法的運(yùn)算次數(shù)減少了，因而可以提高速度，而且對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，做一次乘法所需的運(yùn)算時(shí)間比做一次加法要長(zhǎng)得多，因此第二種做法可以更快地得到結(jié)果

師：能否探索更好的算法，來(lái)解決任一多項(xiàng)式的求值問(wèn)題？

（意圖進(jìn)一步探索有一般意義的算法）

教師引導(dǎo)學(xué)生把多項(xiàng)式變形為：

師：從內(nèi)到外，把每一個(gè)括號(hào)都看成一個(gè)常數(shù)，那么變形后的式子 中有哪一些“一次式”？x的系數(shù)依次都是什么？

師：若將x的值代入變形后的式子中，那么求值的計(jì)算過(guò)程是怎么樣的

（意圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納概括）

師：計(jì)算的過(guò)程可以列表表示為（如表1所示）：

生：將變形前x的第一個(gè)系數(shù)乘以x的值，加上變形前第二個(gè)系數(shù)，得到一個(gè)新的系數(shù)；將此系數(shù)再乘以x的值，再加上變形前的第三個(gè)系數(shù)，又得到一個(gè)新的系數(shù)；繼續(xù)對(duì)新系數(shù)做上面的變換直到與變形前的最后一個(gè)系數(shù)相加，得到一個(gè)新的系數(shù)為止，這個(gè)系數(shù)即為所求的多項(xiàng)式的值

師：指出這種算法就是“秦九韶算法”（同時(shí)介紹秦九韶）

師：用秦九韶算法求多項(xiàng)式與其組成有直接聯(lián)系嗎？用秦九韶算法計(jì)算上述多項(xiàng)式的值，需要多少次加法運(yùn)算？

（意圖引導(dǎo)學(xué)生分析秦九韶算法的特點(diǎn)）

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在求值的過(guò)程中，計(jì)算只與多項(xiàng)式的系數(shù)有關(guān)，讓學(xué)生統(tǒng)計(jì)所進(jìn)行的乘法和加法運(yùn)算的次數(shù)

生：共做了5次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算

（3）講練結(jié)合，上機(jī)驗(yàn)證

師：秦九韶算法適用于一般的多項(xiàng)式f（x）的求值問(wèn)題嗎？

（意圖引出秦九韶算法的通用性的特點(diǎn)）

師：怎樣用秦九韶算法求一般的多項(xiàng)式f（x）當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)的值？

生：先將多項(xiàng)式變形為f（x）然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：把n次多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問(wèn)題，即求

生：n次乘法運(yùn)算，n次加法運(yùn)算

師：觀察上述秦九韶算法中的n個(gè)一次式，可見(jiàn)vk的計(jì)算要用到vk-1的值若令v0=an，可以得到下面的公式：

這是一個(gè)在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，此可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)

算法步驟如下：

第一步：輸入多項(xiàng)式次數(shù)n、最高次項(xiàng)的系數(shù)an和x的值

第二步：將v的值初始化為an，將i的值初始化為n-1

第三步：輸入i次項(xiàng)的系數(shù)ai

第五步：判斷i是否大于或等于0，若是，則返回第三步；否則，輸出多項(xiàng)式的值v

師：怎樣用程序框圖表示秦九韶算法？

（意圖引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)秦九韶算法中的循環(huán)過(guò)程，并用算法的循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)表示這個(gè)過(guò)程）

程序框圖：（略）

……

例設(shè)計(jì)利用秦九韶算法計(jì)算5次多項(xiàng)式

程序框圖：（略）

練習(xí)：利用程序框圖試編寫(xiě)vb程序并在計(jì)算機(jī)上調(diào)試自己的程序

……

（4）類比遷移，歸納概括

師（小結(jié)）：通過(guò)對(duì)秦九韶算法的學(xué)習(xí)，你對(duì)算法本身有哪些進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)

（意圖引導(dǎo)學(xué)生歸納概括，促進(jìn)知識(shí)的正遷移）

生1：算法具有通用性的特點(diǎn)，可以解決一類問(wèn)題

生2：解決同一類問(wèn)題，可以有不同的算法，但計(jì)算的效率是不同的，應(yīng)該選擇高效的算法

生3：算法的種類雖多，但三種邏輯結(jié)構(gòu)可以有效地表達(dá)各種算法

……

評(píng)析這是一個(gè)經(jīng)典的算法案例之一，旨在讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了算法的初步知識(shí)，理解了表示算法的算法步驟、程序框圖和三種不同的程序方式后，結(jié)合典型算法案例，讓學(xué)生經(jīng)歷算法解決的全過(guò)程，體驗(yàn)算法在解決問(wèn)題中的重要作用，進(jìn)一步體會(huì)算法的基本思想，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力算法本身就是與具體問(wèn)題結(jié)合在一起的，如果只空講理論，既不能使學(xué)生真正理解算法，也不能針對(duì)具體問(wèn)題設(shè)計(jì)出正確的算法，而從典型的、學(xué)生熟悉的算法模型中挖掘、提煉出來(lái)的思想和方法，更容易被學(xué)生接受由于案例中涉及的數(shù)據(jù)計(jì)算量較大，在計(jì)算機(jī)上對(duì)該算法進(jìn)行校驗(yàn)可以使學(xué)生更直觀地感受算法思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)算法的興趣加深了對(duì)算法概念實(shí)質(zhì)的理解，增強(qiáng)了對(duì)算法思想的感受，提高了對(duì)程序框圖的設(shè)計(jì)能力

4教學(xué)建議

算法是從問(wèn)題到用計(jì)算機(jī)求解的中間環(huán)節(jié)，這個(gè)環(huán)節(jié)需要通過(guò)人的邏輯思維來(lái)完成下圖說(shuō)明了用計(jì)算機(jī)求解算法問(wèn)題中數(shù)學(xué)和信息科學(xué)的關(guān)系

用計(jì)算機(jī)求解算法問(wèn)題中數(shù)學(xué)與信息科學(xué)的關(guān)系

正因?yàn)樗惴ㄌ幵趩?wèn)題和計(jì)算機(jī)求解的中間，所以，可從數(shù)學(xué)和信息科學(xué)兩個(gè)角度來(lái)研究算法但從數(shù)學(xué)和信息科學(xué)研究算法的側(cè)重是不同的，從數(shù)學(xué)方面研究算法側(cè)重于算法設(shè)計(jì)

41正確區(qū)分算法教學(xué)和程序語(yǔ)言教學(xué)的不同設(shè)計(jì)的算法正確與否要通過(guò)編程并且運(yùn)行程序進(jìn)行驗(yàn)證，借助于程序語(yǔ)言可以使算法得以實(shí)現(xiàn)；反之要設(shè)計(jì)程序就必須弄清算法原理算法教學(xué)是程序語(yǔ)言教學(xué)的基礎(chǔ)，程序語(yǔ)言教學(xué)是算法教學(xué)必要的延續(xù)，兩者相輔相成然而，兩者在教學(xué)重點(diǎn)上有所不同，算法的教學(xué)重點(diǎn)在于：體現(xiàn)算法的思想——程序化思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性；而程序語(yǔ)言教學(xué)卻是計(jì)算機(jī)語(yǔ)言教學(xué)，教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)編程兩者各有特色，相互聯(lián)系，在算法教學(xué)時(shí)可以充分結(jié)合程序語(yǔ)言教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能把自己的算法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，但不可本末倒置，不要把算法內(nèi)容簡(jiǎn)單處理成程序語(yǔ)言的學(xué)習(xí)或程序設(shè)計(jì)

42選取恰當(dāng)?shù)膶?shí)例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)算法的興趣在算法教學(xué)中，要注意循序漸進(jìn)，理論性不要太強(qiáng)，最好的方式就是結(jié)合實(shí)例進(jìn)行教學(xué)選取例子時(shí)要注意把握以下幾點(diǎn)：

選取的例子應(yīng)該來(lái)自學(xué)生的生活實(shí)踐，或是在數(shù)學(xué)課上所學(xué)過(guò)的例如，在介紹while循環(huán)語(yǔ)句時(shí)，可以選擇數(shù)學(xué)1中的二分法，便于承前啟后，導(dǎo)入新知識(shí)

選取的例子最好有豐富的背景，有趣味性在中國(guó)的《九章算術(shù)》和《孫子算經(jīng)》等古代數(shù)學(xué)著作中有許多有趣的問(wèn)題，可供選擇如著名的“雞兔同籠”問(wèn)題，該例既有趣味性也有代表性，利用此例引入算法含義，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣在介紹輸入輸出語(yǔ)句時(shí)，可進(jìn)一步利用此例，問(wèn)能否設(shè)計(jì)一個(gè)二元一次方程組的通用算法來(lái)啟發(fā)學(xué)生思考，從而引出輸入輸出語(yǔ)句的教學(xué)

選取的例子的算理不要太難，以貼近現(xiàn)實(shí)生活為佳，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，可以適當(dāng)提高例子的難度開(kāi)始學(xué)習(xí)算法時(shí)，選取的例子太難容易使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)心理所選例子既要有蘊(yùn)涵豐富的算法思想，又要能夠貼近生活，讓學(xué)生能從中輕松地學(xué)習(xí)算法的“三基”——基本思想，基本結(jié)構(gòu)以及基本語(yǔ)句如在剛開(kāi)始上算法課時(shí)，可以選擇 “給出求1×2×3×4×5×6的一個(gè)算法”的例子，該例子理解起來(lái)較簡(jiǎn)單，卻又蘊(yùn)涵著算法的基本思想——程序化解題思想

43利用計(jì)算機(jī)輔助學(xué)生學(xué)習(xí)算法，讓學(xué)生能將自己寫(xiě)出的算法通過(guò)計(jì)算機(jī)得以實(shí)現(xiàn)，使學(xué)生能夠看到自己的創(chuàng)作成果，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)算法的興趣數(shù)學(xué)教師也要在計(jì)算機(jī)教師的幫助和配合下，深入研究算法相關(guān)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生把具體問(wèn)題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語(yǔ)句，在應(yīng)用環(huán)節(jié)上進(jìn)一步體會(huì)和呈現(xiàn)算法思想和算法的教育價(jià)值。