均值不等式即是必修五第三章內(nèi)容，是學(xué)生必須掌握的一個重點知識，應(yīng)用廣泛，如果把課本的定理和練習(xí)的幾個式了組合在一起就成為了，但最后一個不等式即課本沒有涉及，敘述為兩個正實數(shù)的調(diào)和平均數(shù)不大于這兩個數(shù)的幾何平均數(shù)，而幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均，算術(shù)平均數(shù)不大于的它們的平方平均數(shù)，而平方平均數(shù)不大于它們的反調(diào)和平均數(shù)在證明過程中用代數(shù)的方法比較多，構(gòu)造幾何模型的比較少，最近聽了華東師范大學(xué)博士汪曉勤教授的《高中數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素養(yǎng)——HPM視角》的專題講座，提及古代泥版數(shù)學(xué)上就有記載均值不等式用幾何構(gòu)造證明，頗感興趣，仔細(xì)研讀，整理七種不同幾何模型證明均值不等式.圖1

模型二如圖2，AB為直徑，D是半圓上一點，過

D作DC⊥AB于C，連OD，過C作CE⊥OD于E，以O(shè)

為圓心OC為半徑作半圓，過O作FO⊥OD交半圓于F，過

F作FD的垂線交DO的延長線于G，則根據(jù)圖中線段的大小

模型三如圖3，設(shè)四邊形ABCD是一個直角梯形，

線段EF，GH，MN，PQ，均與上下底平行，PQ

等分梯形面積，MN為中位線，GH將梯形分成兩個，

且梯形AGHD∽梯形GBCH，EF過梯形的對角線AC、

BD的交點I設(shè)AD=a，BC=b，則MN=a+b2由

梯形AGHD∽梯形GBCH，GH是AD與BC的比例

中項，所以GH=ab，EF過梯形的對角線AC、

模型四如圖4，在Rt△ABC中，AD，AM分別是斜邊

BC上的高線、中線，作DH∥AM，AH⊥DH于H，

模型六如圖6，第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)

正方形ABCD，內(nèi)接正方形EFGH，設(shè)AE=a，BE=b，

由圖可知Rt△BEF的內(nèi)接正方形BRST邊長易得為

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.

作者簡介楊志芳，男，1965年生，浙江省富陽市人，中學(xué)高級教師，市學(xué)科帶頭人，杭州市中小學(xué)教師中、高專業(yè)技術(shù)資格評審委員專家?guī)斐蓡T長期從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究和教育科研發(fā)表和獲獎的論文30余篇，主持或參與省市課題10個，主編、參編教輔用書8本，曾獲杭州市優(yōu)秀教師等榮譽(yù)