史國盈

隨著新一輪課程改革的逐步深入，初中數(shù)學(xué)教材也隨之進(jìn)行了全面的更新，改頭換面，知識結(jié)構(gòu)理性化，教材的難度逐步降低了，更多地以學(xué)生為主體，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，注重培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)，鍛煉學(xué)生的能力。教師也要轉(zhuǎn)變自己的思想觀念，由原來知識的傳播者轉(zhuǎn)為知識發(fā)現(xiàn)的引導(dǎo)者，因此教師也要不斷地學(xué)習(xí)、不斷地探索新東西。在教學(xué)第一線十幾年的親身體驗(yàn)，我發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)中的四項(xiàng)基本的尺規(guī)作圖（即：1.作一個角等于已知角 2.作線段的垂直平分線 3.作已知角的平分線 4.過一點(diǎn)作已知直線的垂線）作用很強(qiáng)大，以這四項(xiàng)基本的尺規(guī)作圖可以進(jìn)行多種圖形的尺規(guī)作圖。但多年來未發(fā)現(xiàn)圓切線的尺規(guī)作圖的方法，有學(xué)生問及，總覺得有些遺憾和尷尬。因此，本人在課余時間查閱資料，請教有經(jīng)驗(yàn)的老教師，對此進(jìn)行了多方的探究和摸索，功夫不負(fù)有心人，最終讓我想出來了?，F(xiàn)在介紹一下，和各位同仁共勉。

圓切線的尺規(guī)作圖分兩類：一類是過圓上一點(diǎn)作圓的切線；另一類是過圓外一點(diǎn)作圓的切線（注：過圓內(nèi)一點(diǎn)無法作圓的切線）。具體尺規(guī)作圖方法如下：

過圓上一點(diǎn)作圓的切線

如圖（甲）：已知⊙O和圓上一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作⊙O的切線。此類作圖方法較為簡單，只需連接點(diǎn)P和圓心O，構(gòu)成半徑OP，然后過點(diǎn)P作半徑OP的垂線即可。

具體作法如下：1.連接OP，并延長。

2.以P為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，交OP及OP的延長線于點(diǎn)M、N。

3.分別以M、N為圓心，以大于線段MN的一半的長為半徑畫弧交于點(diǎn)Q。

4.作直線PQ。則直線PQ即為所求的切線。

（理論依據(jù)：過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）

過圓外一點(diǎn)作圓的切線

如圖（乙）：已知⊙O和圓外一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作⊙O的切線。具體作圖方法要分兩步走。

第一步：在練習(xí)本上或其他地方作一條線段AB等于⊙O的半徑，如圖（丙）再過其一個端點(diǎn)B（或A）作線段AB的垂線BF，然后以點(diǎn)A為圓心，以線段AC的長為半徑畫弧交BF于點(diǎn)C，連接AC構(gòu)成一直角三角形。這里的線段BC的長就等于點(diǎn)P向⊙O作的切線的切線長。

第二步：在圖（乙）上，以P為圓心，以線段BC的長為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)M、N。過點(diǎn)P、M（或P、N）兩點(diǎn)作直線PM（或直線PN），則直線PM（或直線PN）就是要求作的⊙O的切線。

作為一名數(shù)學(xué)教師要考慮數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性，下面證明其正確性。

證明：如圖（丁）連接OM、OP，則線段OM是⊙O的半徑。三條線段OP、OM、PM構(gòu)成三角形。由第一步的作圖過程、圖（丙）、勾股定理的逆定理，易知OM⊥PM，所以直線PM是⊙O的切線。（理論依據(jù)：過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）

由于本人的能力有限，以上的作圖方法和證明過程可能存在謬誤，敬請指正。

（作者單位 河南省舞鋼市八臺一中）