趙榮紅

摘 要：根據(jù)拉格郎日（Lagrange）插值算法原理，運(yùn)用Flash的ActionScript腳本語(yǔ)言，以現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（或文獻(xiàn)數(shù)據(jù)）為依據(jù)，通過(guò)內(nèi)插方式，增補(bǔ)中間數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了常見(jiàn)物質(zhì)的溶解度曲線繪制，使曲線更具平滑，消除了由于數(shù)據(jù)結(jié)點(diǎn)少而產(chǎn)生拆線的不足。

關(guān)鍵詞：Lagrange插值算法；溶解度曲線；ActionScript腳本語(yǔ)言

一、概述

初學(xué)化學(xué)教學(xué)中溶解度及溶解度曲線的知識(shí)，是讓學(xué)生理解和掌握溶液的概念和基本特征，認(rèn)識(shí)溶解現(xiàn)象，了解物質(zhì)的溶解過(guò)程以及溶液在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用，了解飽和溶液和溶解度的概念、含義，了解溶解度曲線的意義。在教學(xué)課件的設(shè)計(jì)中，如何能更好地繪制出溶解度曲線使學(xué)生能更有效、直觀地去理解和掌握教學(xué)內(nèi)容有著十分重要的意義。本文是通過(guò)運(yùn)用一種常用的插值方法——拉格郎日（Lagrange）插值法，實(shí)現(xiàn)常見(jiàn)物質(zhì)的溶解度曲線繪制。

二、基本原理

所謂“插值”，通俗地講就是在所給函數(shù)表中再“插入”一些需要的函數(shù)值。數(shù)據(jù)表中的函數(shù)值為已知的節(jié)點(diǎn)xi，稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn)，插值節(jié)點(diǎn)上所給的函數(shù)值yi=f（xi）稱(chēng)為樣本值，函數(shù)值待求點(diǎn)x，則稱(chēng)為插值點(diǎn)。插值節(jié)點(diǎn)所界定的Δ=[minxi，maxxi]稱(chēng)為插值區(qū)間。插值方法的設(shè)計(jì)原理是針對(duì)某個(gè)插值點(diǎn)x，用插值節(jié)點(diǎn)xi上的樣本值組合生成f（x）的近似值y即：

f（x）≈■λi f（xi） （1）

就是說(shuō)，適當(dāng)選取權(quán)系數(shù)λi，而取yi的組合值，即：

y=■λi yi （2）

作為插值結(jié)果。

用于插值計(jì)算的式（2）即稱(chēng)為式（1）的插值公式。插值方法的目的在于尋求函數(shù)的近似值，自然要求所求出的插值結(jié)果能夠有足夠的精度。為保證所設(shè)計(jì)的插值公式f（x）具有“盡可能高”的精度，則可以用n階多項(xiàng)式表示。Lagrange插值方法的基本思想是：將待求的n次多項(xiàng)式的插值函數(shù)f（x）改寫(xiě)成用已知函數(shù)值的系數(shù)的n+1個(gè)待定n次多項(xiàng)式的線性組合形式，再用插值條件和函數(shù)分解技術(shù)確定n+1個(gè)待定n次多項(xiàng)式，求出插值多項(xiàng)式。有如下形式的Lagrange插值基函數(shù)。

φi（x）=■■，i=0，1，2，...，n （3）

顯然基函數(shù)

φi（xi）=1

φi（xj）=0，j=0，1，...，i-1，i+1，...，n

因而將它們加以組合即得所求的插值公式

y=■yiφi（x）=■yi ■■ （4）

這種形式的插值公式稱(chēng)為L(zhǎng)agrange插值公式。

三、插值實(shí)現(xiàn)

1.常見(jiàn)物質(zhì)的溶解度

通過(guò)查閱資料可獲取各種物質(zhì)的溶解度，表1列出了幾種常見(jiàn)物質(zhì)的溶解度值。

注：？葚表示為用Lagrange方法計(jì)算的值。

2.實(shí)現(xiàn)方法

根據(jù)（4）式，我們用Flash動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)軟件的ActionScript 3定義了一個(gè)類(lèi)Lagrange，通過(guò)該類(lèi)的一個(gè)方法LagrangeInsert（ ）完成給定插入點(diǎn)x的函數(shù)值計(jì)算。（如下代碼所示）

public class Lagrange

{

public function LagrangeInsert（xx：Number，leng：int，arr1：Array，arr2：Array）：Number

{

var yy：Number = 0；

var i：int；

var j：int；

var l：Number；

for （i=0； i

{

l = 1；

for （j=0； j

{

if （i ！= j）

{

l *= （xx-arr1[j]）/（arr1[i]-arr1[j]）；

}

}

yy += arr2[i] * l；

}

return yy；

}

}

說(shuō)明：在上述方法中，xx表示插入點(diǎn)橫坐標(biāo)（即任意溫度值），leng表示物質(zhì)溶解度測(cè)定值（或參考文獻(xiàn)值的結(jié)點(diǎn)數(shù)），一般來(lái)講可能是11個(gè)結(jié)點(diǎn)值（從0到100，每10度一個(gè)測(cè)定值），arr1和arr2分別表示溫度和對(duì)應(yīng)溶解度測(cè)定值（或參考文獻(xiàn)值）。任意給定一個(gè)溫度值（xx），就可計(jì)算并返回一個(gè)溶解度值（yy表示）（即插入值）。根據(jù)需要，通過(guò)循環(huán)方法可以計(jì)算出多個(gè)插入值，然后將這些值通過(guò)繪制線段的方法繪制出來(lái)，即可形成一條平滑的曲線，避免了出現(xiàn)折線形式。如我們計(jì)算NH4HCO3的20個(gè)溶解度值：

表2 Lagrange插值法計(jì)算所得溶解度值

■

NH4HCO3的溶解度曲線為如下圖所示：

■

四、結(jié)論

運(yùn)用該方法，實(shí)現(xiàn)了常見(jiàn)物質(zhì)的溶解度曲線繪制，使曲線更具平滑，對(duì)完成這類(lèi)曲線繪制具有一定的幫助作用，對(duì)制作更為精確、漂亮的教學(xué)課件有很好的借鑒意義。

參考文獻(xiàn)：

王能超.計(jì)算方法簡(jiǎn)明教程.北京：高等教育出版社，2004-01.

（作者單位 陜西省咸陽(yáng)渭城二初中）