9 加錨巖質邊坡穩(wěn)定性評價的極限分析上限法

9.1 加錨巖質邊坡極限分析上限法可行性分析

傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定極限分析法采用垂直條分法，這個方法沒有考慮巖質邊坡中存在的斷層、節(jié)理和層面等不連續(xù)結構面的工程地質特征。薩爾瑪博士（1979）首次提出對滑體進行斜分條的剛體極限平衡分析方法，該方法假定滑體必須破裂成可以相對滑動的塊體才能發(fā)生整體移動，也就是說，滑體滑動時不僅要克服主滑面的抗剪強度，而且還要克服滑體本身的強度。該法假定沿條塊側面也達到了極限平衡，這樣，通過靜力平衡條件即可唯一確定邊坡的穩(wěn)定系數(shù)或加載系數(shù)。薩爾瑪法分析節(jié)理巖體邊坡穩(wěn)定較為合理，因為該法考慮了滑體本身的強度，可以處理具有復雜結構面的邊坡，可以根據(jù)坡體內的各類結構面來劃分條塊，并且不要求各條塊保持垂直。但是薩爾瑪法一般無法保證它的解答是精確解答的上限還是下限。

1975年，陳惠發(fā)的專著《極限分析與土體塑性》，首次在土力學的邊坡穩(wěn)定性評價領域引入了極限分析方法，為土質邊坡穩(wěn)定性分析方法做出了開創(chuàng)性的工作。1997年，Donald和陳祖煜又提出了通過變形協(xié)調和塑性力學上限定理求解土質邊坡穩(wěn)定性的計算方法，進一步推動了土質邊坡穩(wěn)定性極限分析方法的發(fā)展。2002年，陳祖煜教授作為黃文熙講座的撰稿人，在巖土工程學報發(fā)表了論文《土力學經(jīng)典問題的塑性力學上、下限解》，在極限分析理論框架下，就土質邊坡的垂直條分法和斜條分法做了深入的研究。極限分析法中的上限定理和下限定理得到的解答為精確解答的上限和下限，因此該方法得到越來越廣泛的應用。

將塑性力學的極限分析方法引入到土質邊坡穩(wěn)定性分析中，在學術界沒有爭議。但是，在巖質邊坡中，極限分析方法是否適用，可能還會有不同看法。當巖質邊坡發(fā)生破壞時，滑體沿某一滑裂面滑動的同時，在其內部也會產(chǎn)生沿陡傾角結構面的剪切破壞。實際上，在自然界中，絕大部分巖體至少存在一組或幾組陡傾角的結構面（斷層、節(jié)理和層面）。特別是Ⅲ，Ⅳ級結構面應引起足夠的重視，因為巖質邊坡剪切破壞基本沿這兩級結構面發(fā)生。極限分析方法就是將材料的本構關系簡化為理想的剛塑性應力-應變關系，將其應用于巖質邊坡，則可以近似地認為滑裂面和陡傾結構面是塑性區(qū)，而被滑裂面和陡傾結構面分割的塊體為理想剛性體。

將極限分析方法應用于巖質邊坡穩(wěn)定性分析評價是一種新的途徑，它與傳統(tǒng)的剛體極限平衡法有較大的區(qū)別，目前仍舊處于研究階段。Donald和陳祖煜（1997）應用極限分析上限定理，從變形協(xié)調條件出發(fā)，通過建立優(yōu)化的斜分條機動許可速度場，根據(jù)外力功率和內能耗散率相平衡的原理得到了邊坡最小的穩(wěn)定系數(shù)。盡管一些學者對極限分析法進行了研究并取得了一些可喜的進展，但是在極限分析法中有效反映地震作用、地下裂隙水的影響以及巖石錨索（桿）支護效應的力學分析模型還很少見。因此，筆者根據(jù)極限分析上限法的基本思想，考慮地震作用、地下裂隙水的影響以及巖石錨索（桿）的支護效應，建立了錨固巖質邊坡的滑體計算模型，并通過算例，對這種方法進行了穩(wěn)定性分析評價。

極限分析法是同剛體極限平衡法根本不同的新方法。這種分析方法最早由Drucker和Prager提出，是將物體的本構關系簡化為理想剛塑性應力-應變關系，利用剛塑性體處于極限狀態(tài)的普遍原理——上下限定理求解極限荷載的一種分析方法（龔曉南，1997）。極限分析法中的上限定理和下限定理得到的是精確解答的上限和下限。它的理論基礎是塑性力學的塑性位勢理論。它的最大優(yōu)點在于計算中考慮了巖土材料的應力-應變關系，而且物理概念清楚，計算也較簡單。

根據(jù)完全塑性土（在剪切時體積不收縮）的應力-應變關系可以推導得出結論：假定外力所做的功全部消耗在滑動面間很薄的一個塑性變形區(qū)（速度間斷面），那么這層土不僅沿滑動面位移，而且還沿法線方向運動，其合成速度方向與滑面的交角為土的內摩擦角。此外，根據(jù)摩爾-庫侖屈服準則相適應的相關聯(lián)流動法則可得到結論：滑面上的耗散能僅為黏結力與剪切位移值的乘積。

在應用極限分析中的上限法解決巖石邊坡穩(wěn)定性問題時，一般假定滑體自身無內能消耗，體積沒有變形，相當于剛體，滑坡時內能耗散僅產(chǎn)生于克服滑面（速度間斷面）上的阻力。大量工程地質調查表明，地質結構面是影響巖質邊坡穩(wěn)定的關鍵因素，巖質邊坡大都沿巖體中軟弱結構面發(fā)生失穩(wěn)破壞。在邊坡滑動過程中，巖體側向結構面將發(fā)生相對滑動，同時豎向結構面并不總是保持垂直。因此，滑坡時內能耗散不僅產(chǎn)生于克服滑裂面上的阻力，同時消耗于克服側向結構面上的阻力，換言之，側向結構面在錯動時也會有內能耗散。

針對加錨巖質邊坡，極限分析上限法的基本要點是：當滑動體滑動時，外力（包括自重、地震力、錨固力和裂隙水壓力）所做的功率等于內力（包括滑面上和側向結構面上的阻力）所消耗的功率。于是，可由滑體處于極限狀態(tài)時兩功率相等的條件（虛功率方程）求出極限荷載、臨界高度穩(wěn)定系數(shù)（馬崇武，等，2003；肖成志，等，2005）。

9.2 加錨巖質邊坡極限分析法計算模型

9.2.1 加錨巖質邊坡計算模型

基于極限分析上限法的錨固巖質邊坡計算模型（圖9-1）（王根龍，等，2007），是將一個滑體按照滑裂面和側向結構面離散為不同的滑體單元，然后按照極限分析法的上限定理，構建一個機動許可的速度場vi-1，vi，vi-1,i。這一模式假定邊坡在發(fā)生破壞時，被底滑裂面和傾斜分界面分割的各塊體為剛體，而底滑裂面和傾斜分界面為塑性區(qū)?？紤]到位移協(xié)調條件要求相鄰滑體單元移動不至于導致它們的重疊或分離，也就是說，相鄰滑體單元的速度多邊形要矢量閉合。用公式表示為

相關聯(lián)流動法則要求每個iv均與底滑裂面夾角為φi，要求相鄰滑體單元結構面的相對速度vi-1,i與結構面夾角為φi-1,i。根據(jù)相鄰滑體單元速度矢量閉合三角形的幾何關系（陳祖煜，1997），可以將式（9-1）標量化后表示為

簡記為

式中：

式中：θi，θi-1和θi-1,i為速度與x軸的夾角，定義為從x負方向開始，以逆時針旋轉為正，且有0≤θ≤2π。在計算mi時，當i=1，令m1=1；在計算ni-1,i時，注意i≥2。θi和θi-1的計算公式為

式中：αi，αi-1為底滑裂面與水平方向的夾角，如果底滑裂面傾向與坡向一致，則α取正值，反之則取負值。

圖9-1 極限分析上限法錨固巖質邊坡的滑體計算模型

圖9-1所示為極限分析上限法錨固巖質邊坡滑體計算模型，第i個滑體單元為上側塊體，第i-1個滑體單元為下側塊體。對于第i個滑體單元和第i-1個滑體單元間的結構面，計算θi-1,i的公式可以分為以下兩種情況（陳祖煜，等，2005）。

（1） 當θi＞θi-1時，說明下側滑體單元相對于上側滑體單元向上移動，此時下側滑體單元對上側滑體單元起到了阻滑的作用，這種情況在滑坡分析中占多數(shù)。此時θi-1,i的計算公式為

（2） 當θi≤θi-1時，說明下側滑體單元相對于上側滑體單元向下移動，此時下側滑體單元對上側滑體單元不但起不到阻滑的作用，反而有了下滑的危險，這種情況在滑坡分析中占少數(shù)。此時θi-1,i的計算公式為：

式中：δi-1,i為第i-1個滑體單元和第i個滑體單元間結構面的傾角，從負y軸順時針向負x軸轉為正。

9.2.2 加錨巖質邊坡的外力作用力

在計算模型中，通過對滑體單元施加水平力考慮地震作用的影響；通過對滑體單元施加垂直于底滑裂面和側向結構面的作用力考慮地下水的影響；通過對滑體結構面施加錨固力考慮巖石錨桿的支護效應。反映在極限分析上限法錨固巖質邊坡計算模型中，需要分別考慮地震作用力、裂隙水壓力、錨索（桿）錨固力和自重作用力，以下對各種作用力進行分述。

1）地震作用力

地震作用在邊坡上的動荷載取決于坡體上產(chǎn)生的最大加速度。作用于第i個滑體單元的水平地震作用力為KcWi，如圖9-1（a）。Kc為水平地震系數(shù)，其大小為邊坡質點最大加速度與重力加速度g的比值。地震系數(shù)的取值和場地地震烈度有關，表9-1列舉了各種地震烈度的經(jīng)驗地震系數(shù)。

表9-1 經(jīng)驗地震系數(shù)Kc

2）裂隙水壓力

裂隙水壓力是邊坡穩(wěn)定性分析中必須考慮的一個重要因素。這里采取與Michalowski（1995）類似的處理方法，將裂隙水壓力當作外力做功出現(xiàn)在虛功率平衡方程中，用來求解邊坡穩(wěn)定的上限解。計算滑體單元裂隙水壓力（圖9-2）公式為

式中：Ui為作用在第i個滑體單元底滑裂面上的水壓力；Pw(i-1,i)為作用在第i-1個滑體單元和第i個滑體單元間側向結構面上的水壓力；Pw(i,i+1)為第i個滑體單元和第i+1個滑體單元間側向結構面上的水壓力；zw(i-1,i)為第i-1個滑體單元和第i個滑體單元間側向結構面的裂隙水深；zw(i,i+1)為第i個滑體單元和第i+1個滑體單元間側向結構面的裂隙水深；dw(i-1,i)為第i-1個滑體單元和第i個滑體單元間側向結構面水位以下部分的長度；dw(i,i+1)為第i個滑體單元和第i+1個滑體單元間側向結構面水位以下部分的長度。

圖9-2 滑體單元裂隙水壓力作用示意圖

3）錨索（桿）錨固力（張強勇，等，2005）

作用在第i個滑體單元滑裂面上的錨索（桿）錨固力，如圖9-1（a）所示，計算公式為

式中：Rxi，Ryi分別為第i個滑體單元滑裂面上錨索（桿）錨固力的水平、豎直分量；Rmi為第i道錨索（桿）在每延米范圍內提供的錨固力；βi為第i道錨索（桿）傾角；Rmi1為第i道錨索（桿）在每延米范圍內由鋼筋提供的抗拉承載力；Rmi2為第i道錨索（桿）在每延米范圍內抗拔承載力；ni為第i道錨索（桿）中的鋼筋根數(shù)；di為第i道錨索（桿）中鋼筋的直徑；γs為荷載分項系數(shù)；Six為第i道錨索（桿）的水平間距；fyi為第i道錨索（桿）中鋼筋抗拉強度設計值；Di為第i道錨索（桿）的錨固段直徑；Σqsik為第i道錨索（桿）和巖石的摩阻力；Lia為第i道錨索（桿）在滑裂面以外的有效錨固段長度。

9.3 外力功率與內能耗散

作用于邊坡計算模型（圖9-1）的外力包括錨索（桿）錨固力、地震作用力和自重，同時也將裂隙水壓力當作外力考慮。外力功率W外計算公式為

式中：

式中：Wanchor為錨索（桿）錨固力的水平和豎直分量在應變速度場v上的外力功率；Wseismic為地震作用力在應變速度場v上的外力功率；Wgravity為自重在應變速度場v上的外力功率；Wwater為滑裂面和側向結構面上裂隙水壓力在應變速度場v上的外力功率；φi為第i個滑體單元底滑裂面的內摩擦角；φi-1,i為第i-1個滑體單元與第i個滑體單元側向結構面的內摩擦角；其他符號同上。

滑裂面和側向結構面上的阻力（內力）包括剪切力和法向力，其中剪切力包括兩部分，一部分為黏聚力C，如圖9-1（b）所示，它是已知的；另一部分是摩擦力，其值為Ntanφ，它和法向力N一起，構成一個與滑面法線方向夾角為φ的合力P——“組合摩擦力”。這個組合摩擦力的大小通常是未知的，但它的方向是已知的，即與法線方向夾角為φ。由于塑性速度v與滑面夾角為φ，這樣“組合摩擦力”P與塑性速度v正交，所以P在v上所做的功率為零。因此，在計算內力產(chǎn)生的內能耗散內W時，只有滑裂面和側向結構面上的黏聚力C在應變速度場v上所產(chǎn)生的內能耗散率，其計算公式為

式中：

式中：Dslip為滑裂面上的黏聚力在應變速度場v上所產(chǎn)生的內能耗散率；Dside為側向結構面上的黏聚力在應變速度場v上所產(chǎn)生的內能耗散率；ci為第i個滑體單元底滑裂面的黏聚力；ci-1,i為第i-1個滑體單元與第i個滑體單元側向結構面的黏聚力；li為第i個滑體單元底滑裂面長度；hi-1,i為第i-1個滑體單元與第i個滑體單元側向結構面長度。

9.4 加錨巖質邊坡虛功率方程

將式（9-10）、式（9-15）和式（9-18）代入虛功率方程W外=D內中，由于每個滑體單元底滑裂面的速度和滑體單元間側向結構面的速度，均可以表達為第一個滑塊速度v1的線性函數(shù)，因此可以從虛功率方程中消掉所有的速度項。整理后得到極限分析法的加錨巖質邊坡穩(wěn)定系數(shù)上限解表達式為（王根龍，等，2007）

式中：

公式（9-19）是穩(wěn)定系數(shù)K的隱式方程，需要通過迭代的算法求解。在計算時，先假設一個初始的穩(wěn)定系數(shù)K，應用迭代計算直至前后兩次穩(wěn)定系數(shù)K值滿足所要求的計算精度為止。一般來說對于滿足條件的情況，迭代都是收斂的。

當不考慮錨桿錨固力、地震力和裂隙水壓力時，式（9-19）可以簡化為

9.5 算例分析

圖9-3所示為巖質邊坡復雜平面滑動問題的標準考題（理正巖土分析軟件系統(tǒng)默認的薩爾瑪法例題），圖中已標注了極限分析上限法的機動許可速度場。算例用到的基本計算參數(shù)詳見表9-2，同時由表9-3給出了極限分析上限法計算速度場的結果。考慮“自重”、“自重+地震”、“自重+水”、“自重+地震+水”和“自重+錨索”五種不同的工況，采用極限分析上限法和薩爾瑪法分別進行了穩(wěn)定性計算，結果見表9-4。通過兩種不同方法的對比分析，可以發(fā)現(xiàn)誤差均在5%左右，顯示了較好的吻合性，這就從應用上說明了極限分析上限法是解決復雜平面滑動問題的有效方法。

圖9-3 巖質邊坡的極限分析上限法工程地質剖面

表9-2 極限分析上限法穩(wěn)定性計算參數(shù)

表9-3 極限分析上限法速度場計算成果

表9-4 兩種方法穩(wěn)定系數(shù)計算結果對比

盡管算例在天然狀態(tài)處于基本穩(wěn)定狀態(tài)，但在考慮地震作用力和裂隙水壓力的情況下，都會產(chǎn)生滑動破壞，因此屬于潛在不穩(wěn)定巖質邊坡，需要采用加固方案提高整體穩(wěn)定性（圖9-3）。通過給邊坡第三個滑體單元滑面分別施加1 000kN級、2 000kN級、3 000kN級、4 000kN級、5 000kN級和6 000kN級的預應力錨索錨固工程，選用錨固力、地震作用力（水平地震系數(shù)Kc=0.1）和裂隙水壓力三個影響穩(wěn)定系數(shù)的因素組合（不同工況），采用極限分析上限法分別進行了穩(wěn)定性分析計算，結果見表9-5。計算結果顯示，當錨固力達到6 000kN時，單獨考慮水和地震條件下的穩(wěn)定系數(shù)Fs都大于1.1，但在最不利組合情況下，邊坡穩(wěn)定系數(shù)依然小于1.0?？偟膩碇v，隨著錨固力的增加，邊坡穩(wěn)定系數(shù)在各種工況條件下均有所提高。

表9-5 不同錨固力作用下的穩(wěn)定系數(shù)計算結果

地震作用是影響邊坡穩(wěn)定性的一個重要因素，所以有必要分析加錨巖質邊坡上限法穩(wěn)定系數(shù)計算結果與地震系數(shù)的關系。當?shù)卣鹆叶葹棰鞫?、Ⅷ度和Ⅸ度，對應水平地震系?shù)Kc分別取0.1，0.2和0.4時，采用文中方法計算了錨固力為3 000kN和6 000kN的穩(wěn)定系數(shù)，并繪制了關系曲線（見圖9-4）。曲線直觀地給出了地震作用和錨固之間的關系，可以得到三點結論：① 相同錨固力條件下的邊坡穩(wěn)定系數(shù)隨地震烈度的增強而減??；② 相同地震烈度條件下的邊坡穩(wěn)定系數(shù)隨錨固力增加而提高；③ 穩(wěn)定系數(shù)與水平地震系數(shù)呈非線性變化，當?shù)卣鹣禂?shù)較小時，穩(wěn)定系數(shù)下降速度較快，而當?shù)卣鹣禂?shù)變大時，穩(wěn)定系數(shù)下降速度較平緩。

圖9-4 不同錨固力的水平地震系數(shù)和穩(wěn)定系數(shù)對比關系曲線

最后，對于穩(wěn)定系數(shù)的計算方法提出一點新的看法。由于穩(wěn)定系數(shù)K是隱式出現(xiàn)的，所以通常采用迭代的計算方法來求解，但通過實際的應用，筆者發(fā)現(xiàn)常規(guī)的迭代方法收斂性較差，計算效果不佳。建議采用“等K法”來實現(xiàn)穩(wěn)定系數(shù)計算，其具體的步驟是：① 給定穩(wěn)定系數(shù)K的求解范圍，并設置穩(wěn)定系數(shù)初始值；② 設定循環(huán)語句步長（10-6）；③ 通過式（9-19）得到穩(wěn)定系數(shù)計算值；④ 執(zhí)行循環(huán)語句，得到一系列穩(wěn)定系數(shù)初始值和計算值；⑤ 繪制初始值、計算值和對應循環(huán)次數(shù)的關系曲線，其交點即為穩(wěn)定系數(shù)的最終解。

圖9-5顯示的是該邊坡在自重條件下，采用等K法繪制的曲線，其交點顯示穩(wěn)定系數(shù)計算值為K=1.079。

圖9-5 穩(wěn)定系數(shù)最終計算結果確定方法