劉傲艷
一個(gè)零件的形狀如圖1中陰影部分.按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°,∠B、∠C應(yīng)分別是29°和21°,檢驗(yàn)人員度量得∠BDC=141°,就斷定這個(gè)零件不合格.這個(gè)問題很有趣,你能說明理由嗎?學(xué)習(xí)了《平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)》這一章,就會(huì)輕松解決這個(gè)問題了.
《平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)》是學(xué)好平面幾何知識(shí)的重要基礎(chǔ),怎樣才能掌握這一章節(jié),我建議同學(xué)們從下列幾方面入手.
一、 體會(huì)知識(shí)結(jié)構(gòu)
二、 明確重點(diǎn)難點(diǎn)
本章的重點(diǎn)內(nèi)容是探究兩直線平行的條件和平行線的性質(zhì),探索三角形的有關(guān)性質(zhì)和應(yīng)用.難點(diǎn)則是平行線的判定與性質(zhì)的條件和結(jié)論易混淆,探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式過程中應(yīng)用的化歸思想需深入領(lǐng)會(huì).
三、 理解知識(shí)要點(diǎn)
1. 認(rèn)識(shí)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
(1) 同位角:兩條直線被第三條直線所截,如果兩個(gè)角在第三條直線的同一邊,在被截兩條直線的同一方向,那么這兩個(gè)角叫做同位角.如圖2中的∠1和∠2分別在直線c的同一邊,并且都在直線a、b的上方.同位角是指兩個(gè)角的位置關(guān)系,在判別“同位角”時(shí),注意位置上的兩個(gè)“同”:在第三條直線的同一邊,在被截兩直線的同一方向.同位角不一定相等.
(2) 內(nèi)錯(cuò)角:兩條直線被第三條直線所截,如果兩個(gè)角在被截兩條直線之間,在第三條直線的兩旁,那么這兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.如圖2中的∠2和∠7分別在直線a、b之間,并且在直線c的兩旁.內(nèi)錯(cuò)角是指兩個(gè)角的位置關(guān)系,內(nèi)錯(cuò)角的特征:在被截兩直線之間,在截線的兩旁.內(nèi)錯(cuò)角不一定相等.
(3) 同旁內(nèi)角:兩條直線被第三條直線所截,如果兩個(gè)角在被截兩條直線之間,在第三條直線的同旁,那么這兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角.如圖2中的∠2和∠5分別在直線a、b之間,并且在直線c的同旁.同旁內(nèi)角是指兩個(gè)角的位置關(guān)系,同旁內(nèi)角的特征:在被截兩直線之間,在截線的同旁.同旁內(nèi)角不一定互補(bǔ).
(4) 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角都是由兩條直線被第三條直線所截而形成的,將其分別從圖中分解出來,得出其基本圖形可分別形象地記為“F” 形、“Z”形、“C” 形.當(dāng)圖形較為復(fù)雜時(shí),一定要觀察清楚同位角(或內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角)是哪兩條直線被哪一條直線所截的.另外這三種角講的只是位置關(guān)系,通常情況下,它們之間不存在固定的大小關(guān)系.
2. 兩直線平行的條件
① 同位角相等,兩直線平行.② 內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.③ 同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.
以上三種方法都是利用角的關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.具體做法:要判斷兩條直線平行,首先需要兩個(gè)角,并且這兩個(gè)角是兩條直線被第三條直線所截成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角;其次是要具備角的大小相等或互補(bǔ).在兩者都具備的前提下,兩條被截的直線互相平行.
3. 探索平行線的性質(zhì)
① 兩直線平行,同位角相等.② 兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.③ 兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).
同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)是平行線特有的性質(zhì).不要誤認(rèn)為凡同位角、內(nèi)錯(cuò)角都相等,凡同旁內(nèi)角都互補(bǔ).
4. 兩直線平行的條件與平行線的性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系
(1) 平行線的性質(zhì)和兩條直線平行的條件的前提和結(jié)論恰好相反,運(yùn)用時(shí)關(guān)鍵是弄清楚它們各自的前提和結(jié)論.
(2) 兩條直線平行的條件是由角的數(shù)量和位置關(guān)系推得直線的位置關(guān)系,而平行線的性質(zhì)則是由直線的位置關(guān)系推得角的數(shù)量關(guān)系.
5. 圖形的平移
(1) 圖形的平移:在平面內(nèi),將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離,這樣的圖形的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移.平移運(yùn)動(dòng)時(shí),圖形上的每一點(diǎn)都是沿同一方向移動(dòng)相同的距離. 圖形的平移由平移的方向和平移的距離決定.平移的距離是指對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間線段的長度.
(2) 圖形平移的性質(zhì):① 平移不改變圖形的形狀、大小,即平移前后的兩個(gè)圖形全等,平移只改變了圖形的位置.② 圖形經(jīng)過平移,連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所得的線段互相平行(或在同一條直線上)并且相等.③對(duì)應(yīng)線段平行且相等.
(3) 平行線之間的距離:如果兩條直線互相平行,那么其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的距離相等,這個(gè)距離稱為平行線之間的距離.兩條平行間的距離處處相等.
(4) 畫平移圖形:畫平移后的新圖形,要首先確定平移方向和距離,再確定關(guān)鍵點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)位置,最后按原有的方式依次連接,就可得到平移后的圖形.作圖的依據(jù)是平移的性質(zhì).
(5) 圖形平移的應(yīng)用:利用平移的性質(zhì)可以巧算某些圖形的周長和面積,還可以設(shè)計(jì)美麗的圖案.
6. 認(rèn)識(shí)三角形
(1) 三角形的概念:三角形是由3條不在同一條直線上的線段,首尾依次相接組成的圖形.三角形有3條邊、3個(gè)內(nèi)角和3個(gè)頂點(diǎn).
(2) 三角形分類:① 按邊分類為:不等邊三角形和等腰三角形;② 按角分類為:銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.
(3) 三角形的三邊關(guān)系:三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.要判斷所給三條線段能否構(gòu)成三角形,可以用兩條較小的線段長之和與最大線段長進(jìn)行比較,若前者大于后者,則這三條線段能構(gòu)成三角形,否則,不能構(gòu)成三角形.
(4) 三角形中的特殊線段:①在三角形中,從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線,簡稱三角形的高.三角形的高垂直于三角形的一邊,一個(gè)三角形有3條高,并且3條高相交于一點(diǎn).②在三角形中,一個(gè)內(nèi)角的平分線與它對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線分三角形一角所成的兩個(gè)角相等, 一個(gè)三角形有3條角平分線,并且3條角平分線相交于一點(diǎn).③在三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段,叫做三角形的中線.三角形的中線分三角形一邊為相等的兩條線段, 一個(gè)三角形有3條中線,并且3條中線相交于一點(diǎn).三角形的高、中線、角平分線都是線段.
7. 三角形的內(nèi)角和
(1) 三角形的內(nèi)角和:三角形3個(gè)內(nèi)角的和等于180°.這個(gè)結(jié)論揭示了3個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系.
(2) 直角三角形兩銳角互余.
(3) 三角形外角的概念及性質(zhì):① 三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫三角形的外角.三角形的一個(gè)外角就是三角形某個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角.② 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.
(4) 多邊形的內(nèi)角和:n邊形的內(nèi)角和是(n-2)180°.
(5) 多邊形的外角和:① 多邊形的一邊與相鄰的另一邊的延長線所組成的角,叫做多邊形的外角. 多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ).② 在多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角,它們的和叫做這個(gè)多邊形的外角和.任意多邊形的外角和都等于360°.多邊形的外角和與它的邊數(shù)無關(guān).