潘建明

學(xué)習(xí)本章的內(nèi)容不要被本章的標(biāo)題所迷惑，本章的本質(zhì)內(nèi)容是整式的乘法和因式分解，面積只是幫助同學(xué)們理解本章公式和法則的背景知識，也就是說數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)好本章的重要助手.

一、 教材解讀

本章的內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了整式加減的基礎(chǔ)上，進一步對整式乘法運算的研究，也是后繼學(xué)習(xí)整式、分式、方程等內(nèi)容的基礎(chǔ)，非常重要，請同學(xué)們要全面掌握，為將來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

本章的6節(jié)內(nèi)容分為3個部分，第1～3節(jié)的本質(zhì)內(nèi)容是整式的乘法，第4節(jié)乘法公式，第5、6節(jié)是因式分解.本章的知識結(jié)構(gòu)關(guān)系如圖1：

從整體中去把握知識結(jié)構(gòu)，才能使所學(xué)知識的記憶更加牢固、對知識的理解更加深刻，也便更好地將知識進行內(nèi)化和加強知識之間的聯(lián)系.

二、 難點突破

1. 在整式乘法的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們遇到的最大的難點是對相關(guān)運算法則的理解.

突破難點的方法是對字母含義的本質(zhì)理解和對乘法分配律法則的靈活運用.在代數(shù)式ab中，字母a、b表示什么？它們可以表示數(shù)和式，這里的式是指整式即單項式或多項式.如果a、b都表示數(shù)，在小學(xué)階段就已經(jīng)探究過了；如果其中一個是數(shù)，另一個是整式，在前面的去括號的學(xué)習(xí)中也探究過了；現(xiàn)在遇到的情境是，如果a、b都表示整式，可以將其乘積的形式歸納為3種類型：單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式.

單項式乘單項式的過程要分3個部分：積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積（有理數(shù)的乘法）；相同字母相乘（同底數(shù)冪的乘法）；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里，注意不要把這個因式丟掉.

單項式乘多項式可以直接運用乘法分配律；在多項式乘多項式的過程中，實質(zhì)上是兩次運用乘法的分配律，如：

計算：（m+n）（a+b），若把（a+b）看成一個整體，（m+n）（a+b）=m（a+b）+n（a+b）=ma+mb+na+nb.

另一方面，可用數(shù)形結(jié)合思想，運用圖形的面積 “以形輔數(shù)”來幫助理解這三個法則，這是法則的背景知識.

在單項式乘多項式和多項式乘多項式的計算過程中，最容易犯的錯誤是乘法計算的過程中漏掉一些項，這一點同學(xué)們千萬要注意.

2. 在乘法公式的學(xué)習(xí)過程中，遇到的最大困難是對公式的本質(zhì)理解和正確運用.

對完全平方公式和平方差公式的本質(zhì)理解，可以從數(shù)和形兩個方面結(jié)合起來進行.從數(shù)的方面要理解公式的本質(zhì)來源是多項式乘多項式法則；從形的角度，一是要分清適用公式的形式特征，二是要從數(shù)形結(jié)合思想，運用圖形的面積 “以形輔數(shù)” 來理解公式.

在完全平方公式運用中，很多同學(xué)會將公式寫成（a±b）2=a2+b2，少了±2ab.可以借助圖2來幫助理解，從整體考慮這個大正方形的面積為（a+b）2，從局部考慮這個大正方形的面積應(yīng)為a2+b2+ab+ab，它們表示的是同一個正方形的面積，雖然形式不同，但它們要相等，因此有（a+b）2=a2+2ab+b2，可見不能少掉2ab！在平方差公式的學(xué)習(xí)中，教材中的圖不太利于同學(xué)們對教材意圖的理解，現(xiàn)在可看下面的圖3，它能更好地促進同學(xué)們對平方差公式認(rèn)識的內(nèi)化.圖3中的計算面積的意圖你能理解嗎？怎樣才能得到平方差公式呢？大家不妨動手試一試！

在因式分解的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們常常對因式分解的綜合運用感到困難，怎樣在進行因式分解的過程中提高學(xué)習(xí)策略的運用水平呢？請關(guān)注圖4中的分解策略.

說明：在因式分解過程中首先想到的是提取公因式法，提取公因式后，再看括號里的是二項式還是三項式，若是二項式看能否再用平方差公式進行再分解，若是三項式看能否再用完全平方公式進行再分解，一定要分到不能分為止.

三、 學(xué)法指導(dǎo)

本章中的主要題型是計算和分解因式，計算又分為整式乘法運算和套用公式進行運算.在整式乘法運算中，要先確定運算順序，再運用相應(yīng)的法則進行計算；若遇到冪（或積）的乘方要先進行運算，然后按運算順序進行，一定要細(xì)心.在套用公式進行運算中，一定先要判斷是否符合公式適用的要求，再正確運用公式計算.在分解因式的過程中一定要注意先提取公因式，再運用公式分解（要注意與乘法公式的聯(lián)系和區(qū)別），分到不能分為止.

例1 計算：（2x+3）（x2-x-1）.

【分析】多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.相乘時，必須做到不重不漏，所以要按一定的順序進行，通常是選擇多項式的第一項乘遍另一個多項式的每一項，依此類推，再把所得的積相加.

【解答】原式=2x3-2x2-2x+3x2-3x-3

=2x3+x2-5x-3.

【說明】（1） 計算時注意不能漏項.檢查的方法是：在未合并同類項之前，看積的項數(shù)是否等于原來兩個多項式項數(shù)的積.本題在未合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)是2×3=6，即6項；（2） 多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時一定要注意確定積中各項的符號；（3） 最后結(jié)果中有同類項的要合并，并按某一字母的降冪或升冪排列.

例2 計算：（-3+2x+y）（-3-2x-y）.

【分析】在解題之前一定要仔細(xì)觀察，后一個多項式各項都是負(fù)號，可以變形為各項均為正號，另一方面，通常我們總是將多項式變形為字母在前、數(shù)字在后進行排列，因此我們可以將兩個多項式先進行變形再計算.

【解答】原式=-（2x+y-3）（2x+y+3）

=-[（2x+y）2-9]

=-[4x2+4xy+y2-9]

=-4x2-4xy-y2+9.

【說明】變形后可將2x+y看成一個整體，先用平方差公式計算，再用完全平方公式進行計算，去括號時要注意改變括號中所有項的符號.

例3 因式分解：-2m3+8m2-8m.

【分析】經(jīng)觀察后發(fā)現(xiàn)，各項都含有公因式-2m，可先提取公因式（要一次性提完），提完后看能否可以用公式進行因式分解.

【解答】原式=-2m（m2-4m+4）

=-2m（m-2）2.

【說明】提完公因式后，括號里是三項式，再運用完全平方公式進行因式分解.