激發(fā)習(xí)題活力 引領(lǐng)學(xué)生成長

史厚勇

（南通市城西小學(xué)，江蘇 南通 226000）

數(shù)學(xué)習(xí)題是數(shù)學(xué)課本的重要組成部分，是學(xué)生知識(shí)內(nèi)化、能力形成的載體，其重要成為大家的共識(shí)。然而在實(shí)際教育教學(xué)中，數(shù)學(xué)習(xí)題往往定位在知識(shí)與技能上，忽視情感、態(tài)度和價(jià)值觀、忽視過程與方法，使得數(shù)學(xué)習(xí)題逐漸變得單調(diào)、枯燥，毫無生機(jī)。作為教師，應(yīng)該重新審視習(xí)題的作用，充分挖掘習(xí)題的潛在功能，激活習(xí)題鮮活的生命力，引領(lǐng)學(xué)生在習(xí)題的解讀中發(fā)現(xiàn)、體驗(yàn)、感悟，讓習(xí)題可觀、可感、可親。

一、發(fā)現(xiàn)解題之“美”

數(shù)學(xué)是富有魅力的學(xué)科，雖沒有鮮艷的色彩，沒有美妙的聲音，沒有動(dòng)感的畫面，卻有一種獨(dú)特的美。數(shù)學(xué)習(xí)題孕育其中，質(zhì)樸，深沉，令人賞心悅目。在教學(xué)中，教師應(yīng)讓孩子通過數(shù)學(xué)習(xí)題感受更多的數(shù)學(xué)意義，體會(huì)數(shù)學(xué)的神奇，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)習(xí)題的美，引發(fā)學(xué)生美的享受。

【片段實(shí)錄】

例如，教學(xué)蘇教版二年級(jí)上冊第84頁第7題

師：同學(xué)們做完了三組題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)每組兩道題的得數(shù)是一樣的。

生2：我發(fā)現(xiàn)下面乘法中兩個(gè)數(shù)都一樣。

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)！為什么每組兩道題的得數(shù)一樣呢？

生3：我知道。第一道題中，3比1大，可以借1個(gè)給1，這樣兩個(gè)數(shù)都變成了2，也就是1+3=2+2，2個(gè)2相加就是2×2=4。

生4：我也是這樣想的。在1+3+5中，從5里面借給2給1，這樣三個(gè)數(shù)都變成了3，也就是1+3+5=3+3+3，3 個(gè) 3相加就是 3×3=9。

生5：第三組，5分1個(gè)給3,7分3個(gè)給1，這樣就是 4個(gè) 4，也就是 4×4=16。

師：同學(xué)們真不簡單！你能創(chuàng)造出這樣的算式嗎？（部分學(xué)生躍躍欲試）先在小組里面說一說，再寫一寫。

生6：我們組創(chuàng)造了這樣一組算式：1+3+5+7+9=25，5×5=25。

生 7：我們組創(chuàng)造的是：1+3+5+7+9+11=36，6×6=36。

生 8：我們是 1+3+5+7+9+11+13=49，7×7=49。

……

（教師根據(jù)學(xué)生的回答，板書）

生9：我發(fā)現(xiàn)他們寫的數(shù)都有規(guī)律，都是從1開始寫的。我覺得這樣的算式很多，寫不完。

生10：我發(fā)現(xiàn)個(gè)秘密，就是加數(shù)有幾個(gè)就是幾乘幾。

師：你們認(rèn)同他們的觀點(diǎn)嗎？我們不妨聽聽他們的解釋。

生 9：你看在加法中是 1、3、5、7、9，數(shù)在逐漸變大，每兩個(gè)數(shù)之間相差2。這樣的算式可以寫無數(shù)個(gè)。

生 10：1+3+5是 3個(gè)數(shù)，就是3×3；1+3+5+7是 4個(gè)數(shù)就是4×4；……1+3+5+7+9+11+13是7個(gè)數(shù)，就是7×7。

師：真的有這樣的秘密嗎？認(rèn)真觀察，小組內(nèi)討論，驗(yàn)證有沒有這樣的秘密。

（學(xué)生在小組內(nèi)討論，有的拿出筆寫出多個(gè)類似的算式進(jìn)行計(jì)算，不一會(huì)兒舉手的學(xué)生越來越多，情緒高漲，顯得特別興奮）

師：有這樣的秘密嗎？（有），那么你們認(rèn)為“1+3+5+7+9+11+13+15+17”應(yīng)該等于？

（學(xué)生自覺地?cái)?shù)了起來，然后齊聲答道9×9）

師：對嗎？能算一算嗎？

（學(xué)生一起計(jì)算1+3+5+7+9+11+13+15+17=81，9×9=81）

師：看來，大家發(fā)現(xiàn)的秘密還真行。如果老師寫出8×8，你知道應(yīng)該等于1+3+5……加到幾？

（學(xué)生掰手指數(shù)數(shù)）

生（齊）：1+3+5+7+9+11+13+15。

師：為什么不往下加了？

生（齊）：已經(jīng)有8個(gè)數(shù)了。

師：對嗎？驗(yàn)證看看。

（學(xué)生計(jì)算，得到兩邊結(jié)果都是64）

師：同學(xué)們做了三組題，發(fā)現(xiàn)了題中的秘密，可是老師還有一個(gè)疑惑，是不是所有的類似加法都有這樣的秘密。

（學(xué)生聽后，有些說“有”，有些說“沒有”，有的則安靜，產(chǎn)生疑惑）

師：看來同學(xué)們也不敢肯定，我們不妨自己舉例子試試看。

（學(xué)生小組內(nèi)寫算式觀察）

生11：我們組寫的是1+2+3+4+5，不能寫成兩個(gè)相同的數(shù)相乘，但可以寫成3×5=15。

生12：我們寫的是2+4+6，也不能寫成兩個(gè)相同的數(shù)相乘，但可以寫成4×3=12。

生13:我們寫的是1+4+7，寫成兩個(gè)數(shù)相乘是4×3，不能寫成兩個(gè)相同的數(shù)相乘。

生14：我們組寫得比較多。2+4=3×2，2+4+6=4×3，2+4+6+8=5×4，2+4+6+8+10=6×5……我們發(fā)現(xiàn)雖然不能寫成兩個(gè)相同的數(shù)相乘，但是發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是用中間的數(shù)乘加數(shù)的個(gè)數(shù)。

師：先不要忙著下結(jié)論，小組內(nèi)再多寫幾個(gè)這樣算式驗(yàn)證一下。

（學(xué)生在小組內(nèi)書寫，不一會(huì)兒爭先恐后地要發(fā)言）

師：你們寫的算式都有這樣的秘密嗎？

生（齊）：有。

師：同學(xué)們的眼光真不簡單，課后不妨多寫一些不同的算式，讓我們多發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)的秘密……

蘇教版教材中設(shè)置此題，從運(yùn)算的角度來思考，二年級(jí)學(xué)生在掌握了乘法口訣并且已經(jīng)熟練計(jì)算簡單的加減法的基礎(chǔ)上，能夠快速的完成解答。然而，此題并非局限于此，在教學(xué)中，需要將習(xí)題從更高層面上審視，引發(fā)學(xué)生的思考，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去提升。在我們看來，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)也許是那么的淺顯，也許是那么的不嚴(yán)密，也許是那么的微不足道。然而，教師從題組中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提升，將習(xí)題進(jìn)行創(chuàng)造性的再生，將習(xí)題富有了生命力，引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、感悟。學(xué)生經(jīng)歷其中，不知不覺獲得情感的、精神的愉悅，而且生機(jī)勃勃，鮮活亮麗，這是簡單的習(xí)題計(jì)算所不能達(dá)到的。

二、體驗(yàn)改題之“變”

在新課程理念下，教師要緊緊把握習(xí)題的橋梁作用，讓橋梁變得更寬，更廣，因此需要教師加深對教材例題的理解和把握，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)習(xí)題的“變”，在“變”中提升。

例如，教學(xué)蘇教版五年級(jí)下冊“有關(guān)圓的組合圖形的面積計(jì)算”，教材提供的是圓環(huán)，通過圓環(huán)面積計(jì)算的推導(dǎo)，掌握其計(jì)算方法。這對學(xué)生而言比較簡單，作為教者應(yīng)把教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行延伸，延伸學(xué)生的知識(shí)廣度，溝通、形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

【片段實(shí)錄】

教師首先出示圓環(huán)，對圓環(huán)的知識(shí)進(jìn)行簡單的介紹，引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)內(nèi)圓和外圓，并發(fā)現(xiàn)圓環(huán)同一圓心的特點(diǎn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中圓環(huán)，如游泳圈、水管龍頭的墊圈、汽車輪胎等，并學(xué)會(huì)畫圓環(huán)，然后出示例題。

師：你能求出這個(gè)環(huán)形的面積嗎？（出示課本例10）

師：讀題并觀察圓環(huán)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)外圓半徑就是指外面大圓的半徑，內(nèi)圓半徑就是指里面空白部分小圓的半徑？

生2：我發(fā)現(xiàn)求圓環(huán)鐵片的面積只要用大圓的面積減去里面空白小圓的面積就行了。

師：是這樣嗎？

（學(xué)生再次觀察圓環(huán)，然后小組內(nèi)討論得到一致的看法）

師：看來大家對求圓環(huán)的面積都有了共同認(rèn)識(shí)，不妨自己算一算。

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，教師個(gè)別指導(dǎo)，并集體訂正）

師：你是怎樣列式的，要求圓環(huán)的面積需要哪些條件？

生3：需要知道外圓的半徑和內(nèi)圓的半徑，然而分別求出外圓的面積和內(nèi)圓的面積，再相減即可。列式為3.14×102－3.14×62=200.96 平方厘米。

師：不錯(cuò)，可是老師發(fā)現(xiàn)有同學(xué)這樣列式3.14×（102－62）也得到200.96平方厘米，你們認(rèn)為對嗎？

生4：我認(rèn)為對的，實(shí)際上是運(yùn)用了乘法分配律，把3.14×102－3.14×62這個(gè)算式進(jìn)行了整理，而且比原來的算式更簡便。

師：有道理，看來我們在計(jì)算中還要多觀察。下面一題，你能做出來嗎？

出示：求下面環(huán)形的面積。（單位：厘米）

師：這個(gè)環(huán)形的面積是怎樣計(jì)算的?

生5：這道題沒有直接告訴我們外圓半徑和內(nèi)圓半徑，但是知道外圓直徑和內(nèi)圓直徑，因此可以先轉(zhuǎn)化求出外圓半徑和內(nèi)圓半徑，最后再求圓環(huán)面積。

師：缺少我們需要的條件，我們可以轉(zhuǎn)化，找出我們需要的條件。如果老師把這個(gè)圓環(huán)對折，你能求出下面圖形的面積嗎？

出示：

師：如果我再對折一次怎樣求陰影部分的面積？生7：用環(huán)形的面積乘。

師：你是怎么想的？

師“：頭腦中有圖”，對于我們解決問題有很大的幫助。下面一組題，你能求出陰影部分的面積嗎？

出示：

生9：第一幅圖，用大圓面積減去兩個(gè)半圓的面積就能求出陰影部分的面積。

生10：第一幅圖，用大圓面積減去一個(gè)小圓的面積就能求出陰影部分的面積。

師：你是怎樣想的?

生11：兩個(gè)小半圓正好可以拼成一個(gè)整圓。

師：真不錯(cuò)。

生12：第二幅圖的陰影面積同第二幅圖的思考方法一樣。也是用大圓面積減去一個(gè)小圓的面積就能求出陰影部分的面積。

生13：第三幅圖我覺得還是用大圓面積減去一個(gè)小圓的面積就能求出陰影部分的面積。

師：為什么？

生14：兩個(gè)半環(huán)形，可以把它們拼成一個(gè)整環(huán)形。

師：（指著圖形）這幾個(gè)圖形的陰影部分各不相同，計(jì)算方法怎么會(huì)一樣呢?

生15：它們陰影的形狀變了，但都包含在大圓內(nèi)，所以計(jì)算的方法沒有變，都是用大圓的面積減去空白部分的小圓面積求出陰影面積。

師：對。陰影的形狀各不相同，但只要仔細(xì)觀察，把圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼磙D(zhuǎn)化，就能找到不變的規(guī)律。你能說出下面陰影部分的面積該怎樣計(jì)算？

出示：求下面陰影部分的面積。

生16：第一幅圖，是由一個(gè)圓和一個(gè)正方形組成的，正方形在圓的里面，因此陰影部分的面積是大圓面積減去正方形的面積。列式為3.14×52－22。

生17：第二幅圖，大的圖形是一個(gè)梯形，陰影部分的面積就是用梯形的面積減去圓的面積。

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)，雖然圖形發(fā)生了變化，但是同學(xué)們的眼力真“神”！老師還想考考大家。

出示：

A．求下面圖形中陰影面積。（單位：厘米）

B．觀察下面這組圖形，不計(jì)算你能否判斷出它們的陰影面積與上題的結(jié)果是否相等？為什么？

生19：相等。因?yàn)檫@一組圖形的條件相同，陰影面積都包含在相等的正方形內(nèi)，圖中空白部分面積都可轉(zhuǎn)化成直徑與正方形邊長相等的圓，都可按上題的計(jì)算方法用正方形的面積減去一個(gè)圓面積求得陰影面積。

生20：這幾幅圖中的陰影面積雖然形狀變了，但都可以轉(zhuǎn)化，解題思路和解題方法不變。

……

教學(xué)中通過對例題多角度，多方面的變式探索，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，變中求“活”，變中求“新”，變中求“異”，變中求“廣”。學(xué)生由“點(diǎn)”到“面”的變化體驗(yàn)，在經(jīng)歷習(xí)題的層層變化推進(jìn)中，使得習(xí)題彰顯生命活力，從而激活學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感，提高思維能力，自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)也得到充實(shí)。

三、感悟破題之“妙”

數(shù)學(xué)習(xí)題的重要作用是鍛煉學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題方法。然而在我看來，學(xué)生解題≠做題，而是通過解題過程內(nèi)化知識(shí)。解題的關(guān)鍵在于“破題”，在“破”中享受思維，享受數(shù)學(xué)習(xí)題帶來的樂趣。

例如，教學(xué)蘇教版五年級(jí)上冊“求小數(shù)的近似數(shù)”。

教材通過兩次取近似數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生比較其精確度，讓學(xué)生理解“1.50比1.5更精確一些”，從而明確1.50中百分位上的0不能省略。在我看來，教材中的直接結(jié)論雖然能夠?qū)W(xué)生的理解起到強(qiáng)化作用，然而學(xué)生能否真正理解“為什么1.50比1.5的精確度更高”還值得推敲。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對1.50比1.5更精確的理解只是進(jìn)行了語言重復(fù)，并沒有內(nèi)化，因此教學(xué)中我將“如何教”設(shè)計(jì)為預(yù)案的難點(diǎn)。

【片段實(shí)錄】

（學(xué)生分別求出1.496億千米分別精確到十分位、百分位的近似值1.5和1.50）

師：近似數(shù)1.50末尾的0能去掉嗎？

生1：能去掉。因?yàn)楦鶕?jù)小數(shù)的性質(zhì)，小數(shù)部分末尾添上0或者去掉0，小數(shù)的大小不變，因此1.50去掉0，就可以寫成1.5。

生2：不能去掉，1.50的計(jì)數(shù)單位是0.01,1.5的計(jì)數(shù)單位是0.1，它們的計(jì)數(shù)單位不同。

生3：能去掉。它們的計(jì)數(shù)雖然單位不同，但是結(jié)果是一樣的，1.50里面有150個(gè)0.01，1.5里面有15個(gè)0.1，只是表示的數(shù)量不一樣，其實(shí)并沒有改變大小。

（三位學(xué)生的發(fā)言一時(shí)讓所有的學(xué)生感到為難，對1.50末尾的0能否省略感到無所適從）

師：看來，1.50末尾的0能否省略還真難住了我們。我們不妨先放一放，先來看這樣一個(gè)問題：一個(gè)兩位小數(shù)，保留一位數(shù)是1.5，這個(gè)數(shù)原來可能是多少？

生4：一個(gè)兩位數(shù)保留一位小數(shù)是1.5，那么我們要看百分位。這時(shí)候出現(xiàn)兩種情況，進(jìn)位與不進(jìn)位。如果向十分位進(jìn)位，那么原來就是1.4幾，所以原來的兩位小數(shù)從1.45到1.49之間。如果不進(jìn)位，那么原來的兩位小數(shù)是1.5幾，從1.50到1.54之間。

師：也就是說，一個(gè)兩位小數(shù)保留一位小數(shù)是1.5，原來的兩位小數(shù)是在1.45到1.54之間。如果這是一個(gè)三位小數(shù)，保留一位小數(shù)后是1.5，這個(gè)三位小數(shù)可能是多少？

生5：用剛才的思路，我覺得可能是1.450到1.540之間。

生6：不對。應(yīng)該是1.450到1.549之間。因?yàn)楸Ａ粢晃恍?shù)看百分位，跟千分位沒有關(guān)系，所以千分位上可以是0到9的任意一個(gè)數(shù)字。

師：你們覺得哪位的觀點(diǎn)正確。

（學(xué)生小組內(nèi)討論后，判定生6的觀點(diǎn)正確）

師：你能在數(shù)軸上找出1.450和1.549嗎？

（學(xué)生在給定的數(shù)軸上分別找出1.450和1.549，教師用括號(hào)線標(biāo)出其取值的范圍。如圖）

師：從圖上我們明顯可以看出一個(gè)三位小數(shù)保留為一位小數(shù)的取值范圍。如果還是一個(gè)三位小數(shù)保留兩位小數(shù)后是1.50，那么原來的三位小數(shù)可能是多少？

生7：三位小數(shù)保留兩位小數(shù)后是1.50，那么原來的三位小數(shù)在1.495到1.504之間。

師：你能在數(shù)軸上表示出它的取值范圍嗎？

（學(xué)生在數(shù)軸上分別找出1.495和1.504，教師用括號(hào)線標(biāo)出其取值的范圍。如圖）

師：比較兩張數(shù)軸圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三位數(shù)的取值范圍不同。

生9：約等于1.5的取值范圍比約等于1.50的取值范圍大得多。

師：取值范圍越來越小，說明近似數(shù)怎樣？

生10：范圍越來越小，說明近似數(shù)越來越接近原數(shù)，也就是近似數(shù)越來越精確。

師：現(xiàn)在我們來看1.50末尾的0能不能省略。

生齊：不能。

師：現(xiàn)在你能回答為什么嗎？

生11：我覺得保留的位數(shù)越多越精確，因此這個(gè)小數(shù)末尾的0，不能省略。

生12:1.50雖然小數(shù)部分末尾有0，但是這里的0與小數(shù)的性質(zhì)不同，這里的0表示的是精確度，所以不能省略。

教學(xué)中，筆者將難點(diǎn)采用數(shù)形結(jié)合的思想巧妙轉(zhuǎn)化，通過“讓圖說話”的形式，變告訴為發(fā)現(xiàn)，變生硬為推理，將難點(diǎn)深深烙印在學(xué)生思維中，凸顯破題中的妙趣橫生。

學(xué)生剛學(xué)過分?jǐn)?shù)乘法，感到無法解決，因此面露難色。執(zhí)教時(shí)，筆者將此題進(jìn)行了分解：

學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，通過分解思考，從簡單中發(fā)現(xiàn)，再運(yùn)用到題中，使思路變得簡單而巧妙。其過程就像呼吸那樣流暢、自然，學(xué)生在解題中也不知不覺體味到數(shù)學(xué)的“妙”。

數(shù)學(xué)習(xí)題作為知識(shí)的載體，是可見的，然而其內(nèi)在價(jià)值則隱喻其中。作為教師要充分解讀習(xí)題，從習(xí)題中挖掘隱性的、潛在的數(shù)學(xué)價(jià)值，激活習(xí)題的內(nèi)在活力，讓習(xí)題變得鮮活，讓習(xí)題變得飽滿，讓習(xí)題蘊(yùn)含生命力，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)、能力、情感的協(xié)調(diào)成長。