雍愛霞

(合肥電子工程學(xué)院，安徽合肥230037)

0 引 言

目前國內(nèi)的永磁球形步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的研究參照的是美國Hopkins大學(xué)Gregory S.Chirikjian等人設(shè)計(jì)的原型結(jié)構(gòu)［1－3］，已有大量的文獻(xiàn)對(duì)該類型的電機(jī)進(jìn)行了基礎(chǔ)研究的探討［4－5］。轉(zhuǎn)子球體在三維空間的轉(zhuǎn)角檢測(cè)是電機(jī)控制中迄待解決的關(guān)鍵技術(shù)，同時(shí)也是制約電機(jī)理論研究和工程應(yīng)用的瓶頸，迄今為止針對(duì)方位角檢測(cè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和探索主要有滑軌式、噴涂式、攝像頭式等，其中非接觸式方位角檢測(cè)的設(shè)計(jì)是主要的研究方向，同時(shí)將檢測(cè)的設(shè)計(jì)應(yīng)用到電機(jī)控制中去是最終的目的。本文嘗試著研究球形步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的閉環(huán)控制轉(zhuǎn)動(dòng)，建立加權(quán)有向圖模型，針對(duì)無串?dāng)_的確定任務(wù)的轉(zhuǎn)動(dòng)和有串?dāng)_的重新定位等。

1 線圈換相的理論分析和仿真

永磁球形步進(jìn)電動(dòng)機(jī)是一種新型的多自由度電機(jī)，其結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)機(jī)理都與傳統(tǒng)電機(jī)完全不同，轉(zhuǎn)子內(nèi)部嵌有80個(gè)永磁體按照某種特定規(guī)則排列分布，其坐標(biāo)位置的計(jì)算見文獻(xiàn)［1］的參數(shù)設(shè)計(jì)。永磁體的N極指向球外，定子內(nèi)腔半球形，非導(dǎo)磁材料支撐，內(nèi)部放置16個(gè)帶鐵心的線圈，定子被固定在一個(gè)支座上，每個(gè)定子線圈都可以分別通電的。通過某種特定的導(dǎo)電策略給線圈通電，從而可以拖動(dòng)轉(zhuǎn)子按期望軌跡進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)。每個(gè)鐵心線圈周圍有一個(gè)光電編碼環(huán)，其中嵌入的六個(gè)光電編碼器距離相等，因此隨著轉(zhuǎn)子球體的空間運(yùn)動(dòng)，在不考慮光電編碼器的分辨率情況下，96個(gè)光電編碼器的輸出與空間方位角一一對(duì)應(yīng)，文獻(xiàn)［6－7］探討了轉(zhuǎn)子球體噴涂式方位角檢測(cè)的方法。

轉(zhuǎn)子球體做的三維運(yùn)動(dòng)保持球心不變，電機(jī)的通電線圈和永磁體的吸附將產(chǎn)生在空間中的某步距轉(zhuǎn)動(dòng)，然后達(dá)到一個(gè)空間的某個(gè)穩(wěn)定角度，對(duì)于該種結(jié)構(gòu)的球形電機(jī)而言，要達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)至少需要兩個(gè)永磁體和兩個(gè)相應(yīng)的通電線圈吸附在一起。理論上來說通電的線圈個(gè)數(shù)越多，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)就越精細(xì)、轉(zhuǎn)動(dòng)路徑就越多，能夠到達(dá)空間的方位角也就越多，但球形電機(jī)的距角特性、轉(zhuǎn)動(dòng)分析和動(dòng)力學(xué)空間平衡將變得更為復(fù)雜，為了控制和計(jì)算簡(jiǎn)便，這里只研究每次兩個(gè)線圈同時(shí)通電情況下轉(zhuǎn)子球體的轉(zhuǎn)動(dòng)分析。令球形電機(jī)初始狀態(tài)下定子線圈與永磁體的分布如圖1所示，文獻(xiàn)［4］詳細(xì)地論述了三維電磁場(chǎng)，可知每個(gè)永磁體所在位置處磁場(chǎng)最強(qiáng)，永磁體之間的磁場(chǎng)則較弱，當(dāng)給定子上的兩個(gè)線圈同時(shí)通電后，與定子通電線圈距離相等并分別位于這兩個(gè)線圈最近的永磁體對(duì)將受力吸附在一起，不同的通電線圈對(duì)使得電機(jī)產(chǎn)生不同的旋轉(zhuǎn)要素。

圖1 部分線圈/永磁體的初發(fā)始位置

其中 Mi的坐標(biāo)為(xi，yi，zi)、Mj的坐標(biāo)為(xj，yj，zj)、Wm的坐標(biāo)為(xm，ym，zm)、Wn的坐標(biāo)為(xn，yn，zn)，D為永磁體 Mi和永磁體 Mj之間的距離。令永磁體對(duì)(Mi，Mj)和線圈對(duì)(Wm，Wn)的距離相等，分別計(jì)算這組永磁體對(duì)和通電線圈對(duì)之間的距離，令:

將文獻(xiàn)［8］中符合通電條件的線圈對(duì)和永磁體對(duì)的坐標(biāo)公式修改為下式，就認(rèn)為可以給這兩個(gè)線圈通電，轉(zhuǎn)子將產(chǎn)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。

2 球形步進(jìn)電動(dòng)機(jī)閉環(huán)控制方法

作為一種復(fù)雜的三維空間旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)，根據(jù)符合換相條件的每一對(duì)通電線圈對(duì)/永磁體對(duì)產(chǎn)生一次三維轉(zhuǎn)動(dòng)步距角的特點(diǎn)，將所有轉(zhuǎn)動(dòng)路徑的集合用加權(quán)有向圖模型來描述，如此以來復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)控制問題就可以描述成有向圖的遍歷。

閉環(huán)控制系統(tǒng)的加權(quán)有向圖記為D=(A，R)，如圖2所示，其中A、R分別表示D的頂點(diǎn)集合和弧集合，弧記為(Ai，Aj)，表示這兩個(gè)頂點(diǎn)間有一次步距運(yùn)動(dòng)，加權(quán)有向圖模型的閉環(huán)控制算法需要計(jì)算的參量包括當(dāng)前位置下方位角、步距角旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)組、符合通電條件的永磁體對(duì)/線圈對(duì)。其中旋轉(zhuǎn)四元數(shù)組來表示有向圖的權(quán)值，因此若干次步距角的組合旋轉(zhuǎn)可以充分利用四元數(shù)組的計(jì)算優(yōu)勢(shì)，方便提取轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角等旋轉(zhuǎn)要素，且便于編程。

圖2 閉環(huán)控制的加權(quán)有向圖

有向圖中的頂點(diǎn)為從初始方位角轉(zhuǎn)動(dòng)到當(dāng)前位置下的群元矩陣A，在三維實(shí)坐標(biāo)空間R3中將保持球心不變的轉(zhuǎn)動(dòng)變換構(gòu)成三維轉(zhuǎn)動(dòng)群［9］，選取特殊實(shí)正交矩陣SO(3)中矩陣余弦A作為加權(quán)有向圖的頂點(diǎn)，可以直觀地在三維空間中進(jìn)行方位角標(biāo)定，且方便地與四元數(shù)組進(jìn)行互換［10］，其構(gòu)成:

這里采用Z－Y－X歐拉角的矩陣余弦，其中A3(Φ)為繞偏航軸轉(zhuǎn)動(dòng)Φ，A2(θ)為繞俯仰軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ，A1(Φ)為繞滾動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)Φ。

由式(2)計(jì)算可以方便地計(jì)算出各頂點(diǎn)A符合通電條件的線圈對(duì)/永磁體對(duì)，同時(shí)令轉(zhuǎn)子球體在空間的某一方位角為初始位置，球體的任意步進(jìn)轉(zhuǎn)動(dòng)可以由矩陣A∈SO(3)來定義，傳感器的輸出向量:

式中:s1，s2，…，sn為n個(gè)傳感器對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)向量，滿足{si∈R3;‖si‖=1}。建立閉環(huán)控制系統(tǒng)加權(quán)有向圖各路徑的參數(shù)如表1所示。

對(duì)于點(diǎn)到點(diǎn)復(fù)雜的空間運(yùn)動(dòng)可以歸結(jié)為加權(quán)有向圖中兩點(diǎn)間最短路徑的求解，經(jīng)典的Dijkstra尋優(yōu)算法可以找到最短路徑，但需要遍歷加權(quán)圖的各個(gè)頂點(diǎn)，這里采用A*啟發(fā)式算法可以搜索出圖中起始點(diǎn)A0到目標(biāo)點(diǎn)At的最佳路徑，首先分別計(jì)算這兩個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輸出向量c(A0)和c(At)。

表1 起始點(diǎn)A0的各路徑的具體參數(shù)

在A算法中設(shè)置評(píng)估函數(shù)f(n):

定義:

n用來衡量該頂點(diǎn)在圖中的深度，搜索路徑圖時(shí)每經(jīng)由一個(gè)頂點(diǎn)的擴(kuò)展，深度n自動(dòng)加1。h(n)是頂點(diǎn)An到目的頂點(diǎn)函數(shù)代價(jià)的估計(jì)值，在這里定義為頂點(diǎn)An與目的頂點(diǎn)顏色向量“相異”的元素?cái)?shù)量，路徑搜索時(shí)總選擇h(n)最小值的節(jié)點(diǎn)優(yōu)先擴(kuò)展，所以滿足了h(n)≤h*(n)的條件，該算法稱為A*算法，h(n)隨坐標(biāo)軸的二維旋轉(zhuǎn)的關(guān)系如圖3所示。A*算法的可采納性表明該搜索算法總能找到一條最佳路徑，搜索步驟如下:

圖3 目標(biāo)函數(shù)h(n)與旋轉(zhuǎn)角度的二維關(guān)系

(1)設(shè)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)為初始節(jié)點(diǎn)A0，計(jì)算該節(jié)點(diǎn)的f(n)并放入OPEN表中;

(2)若OPEN表為空，則失敗退出;

(3)取出OPEN表中第一順位節(jié)點(diǎn)定義為An節(jié)點(diǎn)，計(jì)算c(An)，與當(dāng)前測(cè)量值相比較，如有不同表示有串?dāng)_，重新進(jìn)行方位角檢測(cè)并定位為An節(jié)點(diǎn)，放入OPEN表中;

(4)若An為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，則成功退出，否則轉(zhuǎn)到(5);

(5)對(duì)An節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)展，若有子節(jié)點(diǎn)，則n=n+1，計(jì)算各子節(jié)點(diǎn)的f(n)，放入OPEN表中，同時(shí)將父節(jié)點(diǎn)放入CLOSED表中;

(6)若An節(jié)點(diǎn)沒有子節(jié)點(diǎn)，則轉(zhuǎn)(2);

(7)計(jì)算An各子節(jié)點(diǎn)符合旋轉(zhuǎn)條件的通電線圈對(duì)/永磁體對(duì)，并對(duì)OPEN表按f值以升序排列;

(8)OPEN表中刪除當(dāng)前節(jié)點(diǎn)An，轉(zhuǎn)(2)。

3 閉環(huán)控制的方法和仿真

球形電機(jī)是一個(gè)多路徑的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，為計(jì)算方便，這里分別做了簡(jiǎn)化處理，令球心坐標(biāo)為三維坐標(biāo)原點(diǎn)，球半徑為1，加權(quán)有向圖中球形電機(jī)初始方位角下各條路徑的參數(shù)如表1所示，利用對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)組參數(shù)計(jì)算路徑一各永磁體、線圈的位置坐標(biāo)如圖4所示。

圖4 路徑－永磁體的新位置

給定一個(gè)未知目標(biāo)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的傳感器輸出為Cx，建立初始方位角下運(yùn)動(dòng)軌跡的加權(quán)有向圖，按A*算法搜索到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的搜索過程如圖5所示，由搜索圖可知，A*算法可以跳出局部極值并不需要遍歷所有節(jié)點(diǎn)，路徑上的各項(xiàng)參數(shù)如表2所示，任取球面一點(diǎn)坐標(biāo)為(－0.520 84 0.215 74 0.825 94)，它在搜索到的最佳路徑上運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示。

在加權(quán)有向圖的步進(jìn)運(yùn)動(dòng)中或是在最佳路徑的搜索過程中，偶有的串?dāng)_會(huì)偏離預(yù)定的軌跡，例如搜索路徑中第一條軌跡因串?dāng)_的各項(xiàng)參數(shù)對(duì)照如表3所示。每次步進(jìn)的運(yùn)動(dòng)控制前將光電傳感器的輸出與有向圖數(shù)據(jù)庫中預(yù)知路徑的傳感器輸出相比較，不一致時(shí)則判定有串?dāng)_存在，需要對(duì)當(dāng)前方位角進(jìn)行重新定位，對(duì)于步進(jìn)運(yùn)動(dòng)的串?dāng)_而言，角度位移基本都落在圖3中的線性區(qū)內(nèi)，此類方位角檢測(cè)可以采用啟發(fā)式搜索達(dá)到最高的搜索效率［6］，對(duì)于偶有的串?dāng)_將引起大角度的軌跡偏離，文獻(xiàn)［11］已討論這種情況下的重新定位。

表2 初始方位角下搜索路徑的各項(xiàng)參數(shù)

表3 串?dāng)_中第一條軌跡的參數(shù)對(duì)照

啟發(fā)式搜索對(duì)于鄰域的搜索效率最高，從頂點(diǎn)開始的搜索軌跡如圖7所示。設(shè)置esp＜0.15，可看出在第15次迭代時(shí)到達(dá)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)f=0.102 1，由該節(jié)點(diǎn)的方位角參數(shù)計(jì)算出因串?dāng)_的實(shí)際旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)組為［0.998 4 0.041 7 0.024 5 －0.028 6］，重新計(jì)算該角度下符合步進(jìn)旋轉(zhuǎn)的23對(duì)永磁體/線圈對(duì)，如表4所示，并添加到步進(jìn)軌跡的加權(quán)有向圖中去。

圖7 串?dāng)_后目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的啟發(fā)式搜索軌跡

表4 串?dāng)_后各路徑的具體參數(shù)

4 結(jié) 語

本文針對(duì)球形電機(jī)三維空間步進(jìn)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，構(gòu)建了步進(jìn)運(yùn)動(dòng)的加權(quán)有向圖，由于運(yùn)動(dòng)控制中可能存在串?dāng)_會(huì)使球形電機(jī)偏離預(yù)定軌跡，本文將方位角檢測(cè)算法添加到運(yùn)動(dòng)控制中，研究了球形步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的閉環(huán)控制方法。仿真表明，A*算法不需要遍歷圖中所有節(jié)點(diǎn)就可以搜索到點(diǎn)到點(diǎn)的最佳路徑，且在串?dāng)_偏離預(yù)定軌跡時(shí)，啟發(fā)式搜索可以快速地尋找到失步的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，從而重新計(jì)算永磁體對(duì)/線圈對(duì)并添加到已有的有向圖中去。

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