孫月海，王 蘭，梅江平，張文昌，劉 藝

(天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

位置精度是抓放并聯(lián)機(jī)器人的重要性能指標(biāo)，運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定是改善其精度的有效手段之一．并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法可大致分為兩類(lèi)：自標(biāo)定法和外部標(biāo)定法[1]．自標(biāo)定法利用自身冗余傳感器標(biāo)定，易于實(shí)現(xiàn)在線標(biāo)定，但無(wú)法提供機(jī)架參考系與標(biāo)定測(cè)量參考系間的未知?jiǎng)傮w位移信息，因此難以應(yīng)用于實(shí)際工程．外部標(biāo)定法利用外部傳感器(如激光跟蹤儀、經(jīng)緯儀、三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x等精密測(cè)量設(shè)備)檢測(cè)末端位姿信息，構(gòu)造其與模型計(jì)算值之間的殘差，進(jìn)而通過(guò)相應(yīng)辨識(shí)模型識(shí)別幾何參數(shù)．如 Zhuang等[2]利用電子經(jīng)緯儀測(cè)量了Stewart平臺(tái)的位姿誤差全集；Maurine等[3]用激光位移傳感器標(biāo)定了 Delta-4型并聯(lián)機(jī)器人．這些精密測(cè)量設(shè)備的共同缺點(diǎn)是價(jià)格昂貴、占用空間大，測(cè)量方法繁瑣，數(shù)據(jù)采集時(shí)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，往往需要專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員精細(xì)調(diào)整，標(biāo)定效率較低，難以實(shí)現(xiàn)快速標(biāo)定，實(shí)用性差．

基于視覺(jué)的測(cè)量方法，是一種非接觸式的動(dòng)態(tài)測(cè)量方式，具有速度快、精度合適、靈活性高、實(shí)用性強(qiáng)，不影響被測(cè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)和能夠?qū)崿F(xiàn)無(wú)損測(cè)量等突出優(yōu)點(diǎn)[4]．根據(jù)攝像機(jī)成像模型，以標(biāo)靶為輔助設(shè)備，通過(guò)檢測(cè)標(biāo)靶上特征點(diǎn)，即可獲取攝像機(jī)坐標(biāo)系在標(biāo)靶坐標(biāo)系中位置，進(jìn)而得到檢測(cè)目標(biāo)在標(biāo)靶坐標(biāo)系中的位置信息．如 Meng等[5]和 Andreff等[6]討論了視覺(jué)應(yīng)用于機(jī)器人的標(biāo)定問(wèn)題．Renaud等[7]采用單目攝像機(jī)測(cè)量末端全位姿的方法對(duì) H4機(jī)器人進(jìn)行了標(biāo)定實(shí)驗(yàn)．

在實(shí)際工程應(yīng)用中，基于并聯(lián)機(jī)器人生產(chǎn)線的現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定要求方法簡(jiǎn)單、速度快、標(biāo)定精度比較高．研究表明，對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人，零點(diǎn)誤差是影響其精度的主要誤差源，對(duì)零點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定可有效提高其運(yùn)動(dòng)精度．黃田等[8]提出一種基于末端誤差最小子集檢測(cè)信息的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法．唐國(guó)寶等[9]通過(guò)僅檢測(cè)末端沿z向的位置誤差、以及在初始位形下的姿態(tài)誤差識(shí)別出幾何參數(shù)，對(duì)Delta完成了運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定．

在文獻(xiàn)[8-9]基礎(chǔ)上，以 Delta并聯(lián)機(jī)器人為例，筆者提出一種基于視覺(jué)測(cè)量法的零點(diǎn)標(biāo)定方法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的可行性和有效性．

1 系統(tǒng)分析與零點(diǎn)誤差模型

1.1 系統(tǒng)分析與描述

Delta并聯(lián)機(jī)器人由3個(gè)主動(dòng)臂和從動(dòng)臂連接靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)(如圖 1所示)．主動(dòng)臂經(jīng)回轉(zhuǎn)副和靜平臺(tái)連接，形如平行四邊形的從動(dòng)臂一端與主動(dòng)臂、另一端與動(dòng)平臺(tái)經(jīng)虎克鉸球鉸連接．3個(gè)主動(dòng)臂在伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)下可做高速往復(fù)擺動(dòng)，從而使動(dòng)平臺(tái)做高速三維平動(dòng)[10]．

圖1 Delta機(jī)構(gòu)模型Fig.1 Delta mechanism model

在加工和裝配等環(huán)節(jié)通過(guò)合理的零部件加工、裝配及基礎(chǔ)精度檢測(cè)工藝，可使 Delta并聯(lián)機(jī)器人具備一定的基礎(chǔ)精度：主動(dòng)臂轉(zhuǎn)軸軸線相對(duì)靜平臺(tái)基準(zhǔn)面平行；從動(dòng)臂平行四邊形結(jié)構(gòu)對(duì)邊桿長(zhǎng)成對(duì)保持一致；動(dòng)平臺(tái)加工時(shí)，其尺寸偏差和形位公差都得到嚴(yán)格控制，且其尺寸較小，從而在建模中可將動(dòng)平臺(tái)簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)O′．在保障上述基礎(chǔ)精度前提下，根據(jù)Delta機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立 Delta機(jī)器人誤差模型．

建立靜平臺(tái)坐標(biāo)系 O -XYZ(如圖 2所示)，XY平面為三轉(zhuǎn)動(dòng)副理想軸線所在平面，Y軸指向第2副軸線中點(diǎn)，原點(diǎn)O為XY平面與圓柱形設(shè)計(jì)空間中軸線交點(diǎn)．過(guò)渡系 Oi-xiyizi由系 O -XYZ繞Z軸旋轉(zhuǎn)βi=? π /6 + 2 π(i ? 1 )/3,(i = 1 ,2,3),βi為靜平臺(tái)結(jié)構(gòu)角．

圖2 Delta機(jī)器人標(biāo)定坐標(biāo)系Fig.2 Calibrated coordinate system of Delta robot

建立標(biāo)定坐標(biāo)系 -oxyz，調(diào)整Delta機(jī)器人零點(diǎn)位置使動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)位于設(shè)計(jì)工作空間的中心，標(biāo)定坐標(biāo)系 -oxyz的原點(diǎn)o位于該中心位置，控制動(dòng)平臺(tái)分別沿X、Y軸運(yùn)動(dòng)，標(biāo)定坐標(biāo)系 -oxyz的x、y軸分別與其重合，z軸滿足右手定則．

動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)O′在標(biāo)定坐標(biāo)系 -oxyz中的位置矢量r可表示為

式中：ai為主動(dòng)臂轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線中點(diǎn) Ai坐標(biāo)在系 o-xyz中的位置矢量；l1i、l2i、ui、wi分別為機(jī)械手主動(dòng)臂和從動(dòng)臂的桿長(zhǎng)和單位矢量；θi為主關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角值．其中 ui可以通過(guò)坐標(biāo)系變換得到：令 ui與y軸重合，然后將 ui繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng) βi?π2，之后再繞xi軸轉(zhuǎn)動(dòng)?θi．上述的坐標(biāo)變換可表示為

式中 e2=(0 1 0)T．

1.2 零點(diǎn)誤差映射模型

主動(dòng)臂和從動(dòng)臂桿長(zhǎng)精度易于保證，其誤差可以忽略，對(duì)式(1)做一階攝動(dòng)并線性化，得

式中Δui和Δwi分別為支鏈i中主動(dòng)臂和從動(dòng)臂單位矢量的誤差．式(3)兩端同乘，得

式中：wi0為從動(dòng)臂方向矢量名義值；且Δui=Rot(βi? π2,Z)QxRot(? θi0, xi)e2Δθi，或?qū)懗?/p>

式中0iθ為主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的理想值，其中

將式(5)代入式(4)，有

寫(xiě)成矩陣形式有

或

其中

2 誤差辨識(shí)模型

文獻(xiàn)[8]從理論上證明利用并聯(lián)機(jī)構(gòu)操作空間非線性映射的性質(zhì)，通過(guò)僅檢測(cè)末端在歷經(jīng)所有可控自由度時(shí)沿單軸的相對(duì)位置誤差及其在初始標(biāo)定位形下的姿態(tài)誤差即可識(shí)別出幾何參數(shù)；文獻(xiàn)[9]中以Delta機(jī)構(gòu)為仿真算例，通過(guò)僅檢測(cè)末端沿z向的位置誤差以及在初始位形下的姿態(tài)誤差便可識(shí)別出幾何參數(shù)，仿真結(jié)果證明基于幾何參數(shù)誤差子集的精度標(biāo)定可大大提高末端的位置精度．鑒于此，結(jié)合單目視覺(jué)的平面測(cè)量特點(diǎn)，本零點(diǎn)標(biāo)定方法采用攝像機(jī)測(cè)量并聯(lián)機(jī)器人沿標(biāo)定平面運(yùn)動(dòng)時(shí)末端沿x、y軸向的位置誤差，以辨識(shí)零點(diǎn)誤差，誤差測(cè)量原理見(jiàn)圖3．

圖3 誤差測(cè)量原理Fig.3 Principle of error measurement

Delta機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)末端中心點(diǎn)O′所在水平面為標(biāo)定平面．?dāng)z像機(jī)由剛性連接板固定在動(dòng)平臺(tái)上，且在系統(tǒng)初始化調(diào)整好攝像機(jī)后，使用過(guò)程中攝像機(jī)不再調(diào)整．則攝像機(jī)?光心與動(dòng)平臺(tái)中心之間存在剛性位移(即圖中)，其為常量．控制機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)平移至不同位置時(shí)，則有動(dòng)平臺(tái)末端中心O′和攝像機(jī)光心 Oc的位移相等．因此，測(cè)得攝像機(jī)光心位置誤差即等同于測(cè)得動(dòng)平臺(tái)中心位置誤差．

機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)做平移運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，相對(duì)第 1位置在機(jī)器人標(biāo)定坐標(biāo)系中移動(dòng)的距離 lej可表示為

忽略高階項(xiàng)，得

其中式中：m為機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)平移的位置總數(shù)；jJ為系統(tǒng)在第j位置的誤差雅克比矩陣．

測(cè)量過(guò)程中，攝像機(jī)固接在動(dòng)平臺(tái)末端上不做調(diào)整，則攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)如鏡頭焦距、鏡頭畸變系數(shù)等并不改變，變化的只是攝像機(jī)外部參數(shù)．

攝像機(jī)對(duì)標(biāo)定靶進(jìn)行檢測(cè)，根據(jù)視覺(jué)圖片上特征點(diǎn)位置信息經(jīng)攝像機(jī)標(biāo)定程序可得該位置時(shí)攝像機(jī)的外部參數(shù)jR和jT，將其代入攝像機(jī)的外參模型[11]，即可求出該位置時(shí)，攝像機(jī)光心cjO(攝像機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn))在標(biāo)靶坐標(biāo)系中的位置，即

式中：Rj為3×3的正交變換矩陣；Tj為3×1的平移矢量矩陣．因此，機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)做平移運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，攝像機(jī)光心在標(biāo)定靶坐標(biāo)系移動(dòng)的距離 lcj為

其中

構(gòu)造任意兩測(cè)點(diǎn)間平移距離誤差函數(shù)為

寫(xiě)成矩陣形式有

其中

設(shè) 4m≥ ，式(14)有最小二乘解

式中 H+=(HTH )-1HT．

將辨識(shí)出的零點(diǎn)誤差補(bǔ)償?shù)较到y(tǒng)輸入中，完成零點(diǎn)標(biāo)定．圖4給出了Delta機(jī)器人零點(diǎn)標(biāo)定過(guò)程．

圖4 Delta機(jī)器人零點(diǎn)標(biāo)定過(guò)程Fig.4 Zero calibration process of Delta robot

3 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

機(jī)器人標(biāo)定實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖5所示，由Delta機(jī)器人、CCD攝像頭、標(biāo)定靶和控制系統(tǒng)組成．實(shí)驗(yàn)采用UP680CL攝像機(jī)和 Computar M1614-MP型號(hào)鏡頭．?dāng)z像機(jī)由剛性連接板安裝在動(dòng)平臺(tái)上，并設(shè)法保障攝像機(jī)成像平面和動(dòng)平臺(tái)平面平行．并且，攝像機(jī)經(jīng)標(biāo)定后，其測(cè)量精度滿足機(jī)器人標(biāo)定要求．圖 6為實(shí)驗(yàn)用二維標(biāo)定靶，包括4055×個(gè)直徑為5,mm的圓形靶點(diǎn)，各靶點(diǎn)之間間距為 10,mm．二維標(biāo)靶放置在生產(chǎn)線上，并保證標(biāo)靶平面與攝像機(jī)成像平面平行．在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，標(biāo)靶不再改變位置．選擇標(biāo)靶坐標(biāo)系作為世界坐標(biāo)系，標(biāo)靶系原點(diǎn)在標(biāo)靶左下角．

圖5 零點(diǎn)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.5 Experimental platform of zero calibration

圖6 標(biāo)定靶Fig.6 Calibration target

零點(diǎn)標(biāo)定之前，對(duì) Delta機(jī)器人進(jìn)行初調(diào)，采用目視法使主動(dòng)臂處于大致水平位置．控制動(dòng)平臺(tái)在z= 0 高度平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)至若干位置，采用 Leica-AT901-LR型激光跟蹤儀檢測(cè)標(biāo)定前機(jī)器人末端的位置誤差為，結(jié)果如圖7所示．標(biāo)定前位置誤差最大值為1.442,mm，平均值為0.932,mm．

圖7 標(biāo)定前末端位置誤差Fig.7 Position error of end-effector before calibration

標(biāo)定實(shí)驗(yàn)包括數(shù)據(jù)采集和參數(shù)標(biāo)定 2部分．?dāng)?shù)據(jù)采集時(shí)，在保證標(biāo)靶在攝像機(jī)視覺(jué)范圍的情況下，控制動(dòng)平臺(tái)在某一高度(本實(shí)驗(yàn)為100,mm)平面內(nèi)平移至 20個(gè)位置，記錄該位置處主動(dòng)關(guān)節(jié)傳感器讀值θij( i = 1 ,2,3, j = 1 ,2,… ,2 0)和控制器顯示的位置坐標(biāo)rj(j=1,2,… ,2 0)，同時(shí)拍攝視覺(jué)圖片．其中，選擇的動(dòng)平臺(tái)測(cè)點(diǎn)位置在機(jī)器人工作區(qū)域內(nèi)呈均勻分布．

參數(shù)標(biāo)定則是將采集的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為輸入，代入到前面建立的誤差映射模型和辨識(shí)模型進(jìn)行計(jì)算．具體如下．首先，視覺(jué)圖像經(jīng)圖像處理分析、攝像機(jī)標(biāo)定可得攝像機(jī)外部參數(shù) Rj和 Tj( j =1,2,… ,20)，代入式(12)可得 Bj．其次，將 rj代入理論逆解模型得出相關(guān)數(shù)據(jù)，并代入誤差映射模型得 Jj．另外將 rj代入式(9)可得 Aj．將 Aj、Bj、Jj代入距離誤差函數(shù)(即式(14))，可求得并聯(lián)機(jī)器人零點(diǎn)誤差Δθ，數(shù)值如表 1所示；并用解得的零點(diǎn)誤差修改零點(diǎn)位置，完成零點(diǎn)標(biāo)定．

表1 零點(diǎn)誤差Tab.1 Zero error rad

標(biāo)定后機(jī)器人在 z＝0高度平面內(nèi)末端的位置誤差分布如圖 8所示．標(biāo)定后位置誤差最大值為0.374,mm，平均值為0.211,mm．

圖8 標(biāo)定后末端位置誤差Fig.8 Position error of end-effector after calibration

綜上檢測(cè)結(jié)果，零點(diǎn)標(biāo)定使機(jī)器人末端位置精度從 0.9,mm左右提高到 0.2,mm左右，機(jī)器人的定位精度得到有效提高，證明零點(diǎn)標(biāo)定方法是有效的．以文獻(xiàn)[10]中基于激光跟蹤儀的 Delta機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法為例做比較，零點(diǎn)標(biāo)定方法標(biāo)定結(jié)果較前者精度稍低，但零點(diǎn)標(biāo)定方法較其具有誤差模型簡(jiǎn)單、測(cè)量數(shù)據(jù)簡(jiǎn)便、快速、易操作等優(yōu)點(diǎn)．綜合考慮，零點(diǎn)標(biāo)定方法更適合于工程應(yīng)用中的現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定．

4 結(jié) 論

(1) 運(yùn)用空間矢量法，合理設(shè)定標(biāo)定坐標(biāo)系，構(gòu)建零點(diǎn)誤差模型，并建立基于視覺(jué)測(cè)量法的包含零點(diǎn)誤差的參數(shù)辨識(shí)模型；依據(jù)該模型僅檢測(cè)動(dòng)平臺(tái)沿水平面運(yùn)動(dòng)時(shí)末端x、y向的位置誤差，便可將零點(diǎn)誤差辨識(shí)出來(lái)．

(2) 利用激光跟蹤儀對(duì) Delta機(jī)器人零點(diǎn)標(biāo)定前后的位置精度進(jìn)行測(cè)量，標(biāo)定后的動(dòng)平臺(tái)位置精度從 0.9,mm左右提高到 0.2,mm左右，驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性．

(3) 基于視覺(jué)測(cè)量的零點(diǎn)標(biāo)定方法，測(cè)量設(shè)備普遍、易攜帶，測(cè)量方法簡(jiǎn)單、快速、現(xiàn)場(chǎng)實(shí)施性強(qiáng)，標(biāo)定精度滿足一般工程需求，便于在工程中實(shí)施．

［1］ 叢 爽，尚偉偉. 并聯(lián)機(jī)器人——建模、控制優(yōu)化與應(yīng)用[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2010.Cong Shuang，Shang Weiwei. Parallel Robots—Modeling，Control Optimization and Applications[M].Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2010(in Chinese).

［2］ Zhuang Hanqi，Masory O，Yan Jiahua. Kinematic calibration of a Stewart platform using pose measurements obtained by a single theodolite[C] // Proceedings of IEEE International Conference on Intelligent Robots and Systems. Pittsburgh，USA，1995：329-334.

［3］ Maurine P，Dombre E. A calibration procedure for the parallel robot Delta 4[C] // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation. Minneapolis，USA，1996：975-980.

［4］ 張淑平. 基于視覺(jué)的并聯(lián)機(jī)器人位姿檢測(cè)方法研究[D]. 上海：東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，2010.Zhang Shuping. Stereo Vision Based Position and Posture Estimation of Parallel Manipulator[D]. Shanghai：College of Information Science and Technology，Donghua University，2010(in Chinese).

［5］ Meng Y，Zhuang Hanqi．Autonomous robot calibration using vision technology[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2007，23(4)：436-446.

［6］ Andreff N，Martinet P. Vision-based self-calibration and control of parallel kinematic mechanisms without proprioceptive sensing[J]. Intelligent Service Robotics，2009，2(2)：71-80.

［7］ Renaud P，Andreff N，Lavest J-M，et al. Simplifying the kinematic calibration of parallel mechanisms using vision-based metrology[J]. IEEE Transactions on Robotics，2006，22(1)：12-22.

［8］ Huang Tian，Wang Jinsong，Chetwynd G D，et al.Identifiability of geometric parameters of 6-DOF PKM systems using a minimum set of pose error data[C] //Proceedings of ICRA. Taipei，China，2003：1863-1868.

［9］ 唐國(guó)寶，黃 田. Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)精度標(biāo)定方法研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2003，39(8)：55-60.Tang Guobao，Huang Tian. Kinematic calibration of Delta robot[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2003，39(8)：55-60(in Chinese).

［10］ 李 毅. 高速并聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法研究[D]. 天津：天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，2009.Li Yi. Kinematic Calibration Method for High-Speed Parallel Robot[D]. Tianjin：School of Mechanical Engineering，Tianjin University，2009(in Chinese).