朱鵬鵬 董建民

1阜陽師范學院 安徽 236000 2山東工業(yè)職業(yè)學院 山東 256414

0 引言

1998年，Watts和Strogatz提出了WS小世界模型，這種網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出小世界的特性，度分布遵從泊松分布。

而大量的對現(xiàn)實復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計結(jié)果表明，實際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的度分布服從Power Law分布。為了解釋這種冪律分布，Barabasi和Albert在1999年提出了Scale-Free網(wǎng)絡(luò)模型，即BA無標度網(wǎng)絡(luò)模型。

在研究網(wǎng)絡(luò)病毒傳播之前，我們有必要先對傳染病模型有所了解。生物學中早就開始對病毒傳播進行了研究，并且建立了比較完善的流行病學傳播的數(shù)學模型。

在典型的傳播模型中，種群內(nèi)的個體基本狀態(tài)包括：S(Susceptible)——易染狀態(tài)；I(Infected)——感染狀態(tài)；R(Removed)——被移除狀態(tài)(也稱為免疫狀態(tài)或恢復(fù)狀態(tài))。通常用這些狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換過程來命名不同的傳染模型。例如，易染群體被感染，然后恢復(fù)健康并具有免疫性，稱之為SIR模型。若易染群體被感染后，又返回到易染狀態(tài)，則稱之為SIS模型。下面針對生物學中SI模型、SIS模型、SIR模型具體介紹病毒的傳播過程。

1 SI模型的傳播特性

在 SI 模型中，每個個體處于兩種狀態(tài)中的一種：易感染狀態(tài)(Susceptible)和已感染狀態(tài)(Infective)。模型中每個個體的狀態(tài)變遷過程是：易感染狀態(tài)—>已感染狀態(tài)。

取節(jié)點數(shù)N=1000，感染率因子為β=0.02，分別在相同平均度為10的BA網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)中任選一個節(jié)點作為被感染的節(jié)點，仿真結(jié)果如圖1所示，橫坐標為傳播時間，縱坐標為整個網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點被感染的百分比。從圖中可以看到，病毒經(jīng)過一個較長時間的初始感染階段，當被感染節(jié)點積累到一定的數(shù)量以后，進入快速感染階段，當絕大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點都被感染以后，進入飽和階段。仿真發(fā)現(xiàn)，在病毒傳播的早期，病毒在BA網(wǎng)絡(luò)中的傳播更快，顯然BA網(wǎng)絡(luò)中連接分布的不均勻性有利于病毒的快速傳播。

圖1 SI模型中病毒的傳播趨勢

2 SIS模型的傳播特性

在SIS模型中，每個個體也只有兩種狀態(tài)：易感染狀態(tài)與已感染狀態(tài)，但與SI模型不同的是，它考慮了個體感染后被治愈的可能，被治愈的個體對該病毒仍然是易感染的。

病人每天被治愈的總數(shù)的比例為δ，稱為日治愈率，即該模型考慮了病人可以治愈為健康者的實際情況。

取節(jié)點數(shù)N=1000，感染率因子為β=0.02，治愈率為δ=0.08，分別在相同平均度為10的BA網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)中任選一個節(jié)點作為被感染的節(jié)點，仿真結(jié)果如圖2所示，橫坐標為傳播時間，縱坐標為整個網(wǎng)絡(luò)被感染的百分比。從仿真結(jié)果可知，在初始感染節(jié)點數(shù)目相同的情況下，BA網(wǎng)絡(luò)中病毒的傳播到達穩(wěn)態(tài)時的感染密度比均勻網(wǎng)絡(luò)(小世界網(wǎng)絡(luò))中的要大。

圖2 SIS 模型中病毒的傳播趨勢

3 SIR模型的傳播特性

另外一類被廣泛研究的病毒傳播模型是SIR模型，它描述的傳播行為是，被染個體要么被治愈后獲得對該病毒的免疫能力，要么成為死亡個體從系統(tǒng)中移除。在單位時間內(nèi)，易感染病毒的個體以β平均速率接觸所有網(wǎng)絡(luò)中其他狀態(tài)的體，又以平均速率δ治愈成正?；蛩劳鰻顟B(tài)。

圖3 SIR模型中病毒的傳播趨勢

對于SIR模型來講，當被感染節(jié)點治愈成為健康的節(jié)點以后，相當于把此節(jié)點從整個網(wǎng)絡(luò)中除去，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點總數(shù)由N變?yōu)?N-1。圖3中給出了SIR模型中病毒傳播的趨勢。取節(jié)點數(shù)N=1000，感染率因子為β=0.02，治愈率為δ=0.08。分別在相同平均度為10的BA網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)中任選一個節(jié)點作為被感染的節(jié)點，橫坐標為傳播時間，縱坐標為感染節(jié)點數(shù)?？梢钥吹剑S著時間的增加，最后兩種網(wǎng)絡(luò)感染節(jié)點數(shù)都變?yōu)?，但BA網(wǎng)絡(luò)被感染節(jié)點的峰值高于小世界網(wǎng)絡(luò)，病毒在BA網(wǎng)絡(luò)的流行和消亡都快于小世界網(wǎng)絡(luò)。

4 結(jié)束語

近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究吸引了大批來自不同學科學者們的注意，使得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域獲得較快發(fā)展。同樣，作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的重要組成部分的傳播行為也引起了學者們的廣泛關(guān)注。目前國際國內(nèi)對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播模型的研究都集中于討論靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的傳播行為，研究各種網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)和性質(zhì)對病毒傳播的影響，在該領(lǐng)域已有許多重要發(fā)現(xiàn)，但是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播理論還不完善，還有很多問題有待解決。

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