田霖，屈香菊，譚文倩

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

0 引言

高超聲速技術(shù)是當(dāng)前各主要航空航天大國(guó)積極探討與研發(fā)的關(guān)鍵技術(shù)之一。從軍事方面看，運(yùn)用這項(xiàng)技術(shù)開發(fā)的新一代武器系統(tǒng)將成為未來信息化戰(zhàn)爭(zhēng)的重要組成部分，該系統(tǒng)是具備戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)威懾力的空間作戰(zhàn)平臺(tái)，相關(guān)技術(shù)的研究應(yīng)用于民用航空也將產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)效益。

吸氣式高超聲速飛行器是高超聲速研究的一個(gè)重要領(lǐng)域。該類飛行器的飛行任務(wù)剖面可分為3個(gè)階段，即發(fā)射段、巡航段和下滑段。從飛行動(dòng)力學(xué)研究角度來看，國(guó)內(nèi)外相關(guān)工作主要集中在飛行器的建模以及巡航段定直平飛時(shí)的模態(tài)特征分析方面。與穩(wěn)態(tài)巡航相比，飛行器在發(fā)射段的運(yùn)動(dòng)軌跡屬于機(jī)動(dòng)軌跡，其運(yùn)動(dòng)模態(tài)受基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，可能產(chǎn)生新的運(yùn)動(dòng)模態(tài)。此外，由于目標(biāo)飛行器在此階段與助推火箭組成一個(gè)整體，其構(gòu)型是非對(duì)稱的，因此傳統(tǒng)的縱橫分開的線化模型不再適合于分析高超聲速飛行器發(fā)射段的運(yùn)動(dòng)。

本文以美國(guó)X-43A飛行器在“飛馬座”火箭助推下的發(fā)射段為背景，說明了整體飛行器在機(jī)動(dòng)參考軌跡上線化模型的特殊性。同時(shí)，通過選取機(jī)動(dòng)軌跡上的一個(gè)具有代表性的特征點(diǎn)，計(jì)算得出了飛行器在該特征點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)特征，并對(duì)其形成機(jī)理進(jìn)行了分析。

1 飛行軌跡特征分析

整體飛行器通過大型運(yùn)輸機(jī)掛載，經(jīng)空中投放后，火箭點(diǎn)火并迅速躍升高度。該階段屬于發(fā)射段，此時(shí)整體飛行器的躍升過程見圖1。

圖1 發(fā)射段機(jī)動(dòng)軌跡示意圖

進(jìn)入躍升后，飛行器通過增大迎角產(chǎn)生法向加速度，迅速將飛行姿態(tài)調(diào)整到一個(gè)較大的航跡傾角;飛行器在直線躍升段以固定的航跡傾角直線加速爬升;改出躍升時(shí)，飛行器迎角逐漸減小至負(fù)值，負(fù)的法向加速度使飛行軌跡逐漸改出為水平，保證吸氣式飛行器與火箭分離時(shí)的平穩(wěn)狀態(tài)。由于改出躍升段的運(yùn)動(dòng)與常規(guī)飛行有較大差別，并且包含了整個(gè)機(jī)動(dòng)軌跡上所有的運(yùn)動(dòng)特征，因此本文選擇該段上的某特征點(diǎn)作為基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行模態(tài)特征分析，并探討其產(chǎn)生機(jī)理。

2 模型線化

根據(jù)飛行器六自由度一般運(yùn)動(dòng)方程，采用小擾動(dòng)線性化理論，建立非對(duì)稱構(gòu)型、機(jī)動(dòng)軌跡基準(zhǔn)狀態(tài)下的線化模型如式(1)所示，其中x=［V α q θH β p r φ］T為狀態(tài)變量。

飛行器在發(fā)射段的機(jī)動(dòng)軌跡屬于加速運(yùn)動(dòng)，合外力不為零;由于運(yùn)動(dòng)軌跡彎曲，因此俯仰角速度不為零;并且在機(jī)動(dòng)過程中高度、航跡傾角和迎角均不為零。另外，由于飛行器的構(gòu)型不對(duì)稱，因此其側(cè)滑角也按不為零處理。

由于飛行器的基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)是非定常的，其擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為變系數(shù)微分方程，為便于數(shù)值求解，本文采用“系數(shù)凍結(jié)法”［1］，將變系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｏ禂?shù)微分方程。由此可得狀態(tài)矩陣A:

其中:

從狀態(tài)矩陣可知，該飛行器在發(fā)射段與傳統(tǒng)飛機(jī)巡航飛行的不同之處在于:

(1)飛行狀態(tài)引起的變化。由于飛行器處于爬升高度的過程中，航跡傾角較大，力和力矩隨高度變化明顯;同時(shí)，機(jī)動(dòng)軌跡上的俯仰角速度使得縱、橫向的運(yùn)動(dòng)均受俯仰角速度的影響。

(2)飛行器構(gòu)型不對(duì)稱帶來的耦合。飛行器的構(gòu)型并不完全對(duì)稱，由此也造成了縱、橫向一定程度上的運(yùn)動(dòng)耦合。

3 模態(tài)特征

本文以X-43A與“飛馬座”火箭構(gòu)成的整體飛行器為研究對(duì)象，發(fā)射段的結(jié)構(gòu)參數(shù)和特征點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)見文獻(xiàn)［2-5］。通過采用相似構(gòu)型的飛行器，估算特征點(diǎn)上的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)［6-8］，由此計(jì)算得到狀態(tài)方程的特征根如圖2所示。飛行器在該特征點(diǎn)處具有兩個(gè)大的正實(shí)根和一對(duì)具有正實(shí)部的復(fù)根，說明飛行器運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定。

圖2 特征根分布圖

以特征向量實(shí)部作為狀態(tài)變量的初值，對(duì)飛行器基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行模態(tài)激勵(lì)，從而確定各模態(tài)的主導(dǎo)運(yùn)動(dòng)變量，以便分析模態(tài)形成的機(jī)理。β0=－0.35°情況下的計(jì)算結(jié)果見圖3～圖8。

圖3 縱向振蕩模態(tài)激勵(lì)曲線

圖4 橫側(cè)向振蕩模態(tài)激勵(lì)曲線

圖5 縱橫向耦合振蕩模態(tài)激勵(lì)曲線

圖6 滾轉(zhuǎn)發(fā)散模態(tài)激勵(lì)曲線

圖7 縱向快變化模態(tài)一激勵(lì)曲線

圖8 縱向快變化模態(tài)二激勵(lì)曲線

表1給出了飛行器模態(tài)特征分析結(jié)果。

表1 飛行器特征點(diǎn)處模態(tài)特征

由以上計(jì)算結(jié)果可知:

(1)縱向存在一個(gè)頻率較高的振蕩模態(tài)，該模態(tài)阻尼很小，經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間振蕩后緩慢發(fā)散;橫側(cè)向也有一個(gè)較高頻率的振蕩模態(tài)，且該模態(tài)在縱向引起了一定的振蕩;

(2)縱向另外的一個(gè)振蕩模態(tài)衰減為一正一負(fù)的兩個(gè)實(shí)根，對(duì)應(yīng)縱向快變化模態(tài)一和二，這兩個(gè)模態(tài)均在橫側(cè)引起了一定的振蕩;

(3)橫側(cè)向存在一個(gè)大的正實(shí)根，對(duì)應(yīng)滾轉(zhuǎn)發(fā)散模態(tài)。從擾動(dòng)響應(yīng)曲線來看，這將使橫側(cè)向的滾轉(zhuǎn)迅速發(fā)散，同時(shí)引起縱向長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)發(fā)散;

(4)縱向一個(gè)小根與橫側(cè)向一個(gè)小根相耦合，形成了一個(gè)縱橫向耦合的振蕩模態(tài)，該模態(tài)經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間振蕩后收斂。

飛行器縱向及橫側(cè)向的運(yùn)動(dòng)模態(tài)都呈現(xiàn)出了新的特點(diǎn):縱向短周期運(yùn)動(dòng)阻尼很小，模態(tài)特性較差，而長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)則出現(xiàn)了單調(diào)收斂和發(fā)散兩個(gè)新模態(tài);橫側(cè)向滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)發(fā)散，荷蘭滾模態(tài)特征不明顯，同時(shí)，還有一個(gè)小根與縱向的一個(gè)小根耦合出了新的振蕩模態(tài);此外，縱、橫向運(yùn)動(dòng)在很多模態(tài)均出現(xiàn)了一定程度的耦合現(xiàn)象。針對(duì)這些運(yùn)動(dòng)模態(tài)特征，下面將對(duì)其形成機(jī)理進(jìn)行分析。

4 機(jī)理分析

對(duì)比穩(wěn)態(tài)巡航，發(fā)射段的最大不同在于存在一個(gè)較大的航跡傾角，這對(duì)飛行器的影響主要有兩個(gè)方面:首先，一個(gè)較大的γ值會(huì)使飛行器的受力與巡航時(shí)的情況大不相同;其次，由于γ值較大，力和力矩隨高度的變化明顯。

保持其它的飛行狀態(tài)值不變，γ0依次取0°，3°，6°，9°，12°，可計(jì)算出飛行器各模態(tài)特征根的變化，如圖9所示(其中(b)為(a)的局部放大圖)。由計(jì)算結(jié)果可知，縱向的一個(gè)振蕩模態(tài)在γ0增大到6°時(shí)衰減為一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根;同時(shí)，橫側(cè)向的一個(gè)小的負(fù)實(shí)根和縱向的一個(gè)小的正實(shí)根耦合成一個(gè)振蕩模態(tài);其它運(yùn)動(dòng)模態(tài)受γ0值變化的影響不大。因此，航跡傾角主要影響飛行器長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)，對(duì)短周期運(yùn)動(dòng)影響不大。

圖9 特征根隨航跡傾角的變化

飛行器在橫側(cè)向出現(xiàn)了一個(gè)具有大實(shí)根的滾轉(zhuǎn)發(fā)散模態(tài)。要分析其形成機(jī)理，需從橫側(cè)向的運(yùn)動(dòng)方程入手。側(cè)滑角的線化方程為:

由于在特征點(diǎn)處α0＜0，假定飛行器受擾動(dòng)產(chǎn)生 Δp＞0，則 Δβ·＜0，即 Δβ ＜0。而此時(shí) Lβ＜0，由此產(chǎn)生附加的滾轉(zhuǎn)力矩ΔL=LβΔβ＞0，使Δp·＞0，即Δp＞0。由分析可知，當(dāng)基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為負(fù)迎角時(shí)，飛行器由于受到擾動(dòng)產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)角速度將進(jìn)一步變大。在此過程中，如果滾轉(zhuǎn)阻尼力矩不足以抑制這一趨勢(shì)，將引起滾轉(zhuǎn)發(fā)散。

若采用僅包含β和p的二階模型(見式(3))，其特征根中包含了相應(yīng)的不穩(wěn)定大實(shí)根λ=1.156 8，由此驗(yàn)證了上面的分析。

當(dāng)α0為負(fù)時(shí)，其絕對(duì)值越大，由Δp引起的Δβ越大，從而產(chǎn)生的ΔL也越大，系統(tǒng)越不穩(wěn)定;當(dāng)Lβ越大，產(chǎn)生的ΔL也越大;α0和 Clβ取不同的值時(shí)，對(duì)應(yīng)的橫側(cè)向?qū)嵏狄姳?和表3。通過計(jì)算，同樣驗(yàn)證了以上分析。

表2 不同α0對(duì)應(yīng)的橫側(cè)向?qū)嵏?/p>

由于飛行器構(gòu)型不對(duì)稱，基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)軌跡上存在一定的β0，因此橫側(cè)向相關(guān)的氣動(dòng)參數(shù)不為零。根據(jù)第2節(jié)的分析，這將帶來縱橫向的運(yùn)動(dòng)耦合。取β0=－0.1°，計(jì)算結(jié)果如圖10～圖13所示。

圖10 橫側(cè)向振蕩模態(tài)激勵(lì)曲線

圖11 滾轉(zhuǎn)發(fā)散模態(tài)激勵(lì)曲線

圖12 縱向快變化模態(tài)一激勵(lì)曲線

圖13 縱向快變化模態(tài)二激勵(lì)曲線

與之前β0=－0.35°時(shí)的模態(tài)激勵(lì)曲線相比可知，|β0|越小，耦合程度也越小?？梢姡鲜?個(gè)模態(tài)縱橫向耦合的原因是飛行器構(gòu)型不對(duì)稱。

5 結(jié)論

(1)航跡傾角對(duì)飛行器長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)有較大影響。從計(jì)算結(jié)果看，當(dāng)γ0較小時(shí)，傳統(tǒng)的長(zhǎng)周期模態(tài)仍能保持;當(dāng)γ0≥6°時(shí)，長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)將出現(xiàn)新的特征，這將給控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來新的問題。

(2)α及Lβ的共同作用影響橫側(cè)向滾轉(zhuǎn)模態(tài)。在軌跡改出段，當(dāng)α取值為負(fù)時(shí)，|α0|和|Lβ|越大，橫側(cè)向滾轉(zhuǎn)發(fā)散越明顯，飛行器也越不穩(wěn)定。|α0|代表軌跡機(jī)動(dòng)性，|Lβ|則由氣動(dòng)構(gòu)型確定，這說明從控制器設(shè)計(jì)要求來說，需要綜合考慮氣動(dòng)特性和軌跡選擇。

(3)由飛行器構(gòu)型不對(duì)稱引起的β0使縱橫向運(yùn)動(dòng)耦合。|β0|越大，耦合越明顯，越難控制。

在實(shí)際應(yīng)用中，考慮這些因素的影響對(duì)飛行器設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。例如在設(shè)計(jì)發(fā)射軌道時(shí)，直線躍升段航跡傾角不宜過大;俯仰改出時(shí)，負(fù)迎角也不應(yīng)太大，即要求改出軌道變化不劇烈。

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