王洪珍

(徐州機(jī)電工程高等職業(yè)學(xué)校，江蘇 徐州221011)

機(jī)械傳動(dòng)中，漸開線斜齒輪的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。由于齒廓曲線比較復(fù)雜，尤其是齒根部分的過渡曲線與齒輪的加工方式有關(guān)，所形成的過渡曲線也不一樣。為了得到齒廓曲線，必須通過數(shù)學(xué)模型來描述齒廓的各段曲線。

1 齒廓曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)

斜齒輪端面齒廓曲線包括漸開線、齒根過渡曲線、齒根圓弧和齒頂圓弧。

1.1 齒廓漸開線的數(shù)學(xué)表達(dá)

斜齒輪端面漸開線的生成方法與直齒圓柱齒輪基本相同。不同之處在于斜齒輪法面模數(shù)mn、 法面 分度圓壓力角α、 法面齒頂高系數(shù)h*an和法面頂隙端系數(shù)c*an為標(biāo)準(zhǔn)值，而齒廓曲線方程中用到的是端面壓力角αt與端面模數(shù)mt。

建立圓的漸開線參數(shù)方程：

式中：rb為基圓的半徑；θ 為發(fā)生線與基圓的接觸點(diǎn)A 與B 之間所對應(yīng)的圓心角。

1.2 齒廓過渡曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)

過渡曲線與齒輪加工方式有關(guān)，但其原理基本相同。標(biāo)準(zhǔn)齒條刀具頂部比普通齒條多出一段c*m，用于被加工齒輪的齒根部分切出齒頂間隙。

現(xiàn)以齒條形刀具參數(shù)為例進(jìn)行分析，刀具齒廓的頂部有兩個(gè)圓角，Cp是圓角的圓心，圓角半徑等于rp。刀具各參數(shù)間具有以下關(guān)系：

式中：m 為齒條的模數(shù)；a 為點(diǎn)Cp至中線的距離；b 為點(diǎn)Cp至齒形中心線的距離；α 為齒條的壓力角也就是被加工齒輪的分度圓壓力角；h*a為齒頂高系數(shù)；c* 為頂隙系數(shù)；rp為圓角半徑。

被加工齒輪齒廓的漸開線部分由刀具的斜直線部分切出，而齒根過渡曲線則由刀具的圓角部分切出。如圖2 所示，加工過程中刀具的加工節(jié)線與齒輪的節(jié)圓相切純滾，刀具圓角的圓心將形成延伸漸開線，因此齒輪的過渡曲線是該延伸漸開線的等距曲線。P 點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)，nn 是刀具圓角與過渡曲線接觸點(diǎn)的公法線，可求得延伸漸開線等距曲線，即齒根過渡曲線的參數(shù)方程為：齒根過渡曲線的參數(shù)方程為：

式中：α' 為公法線與刀具加工節(jié)線間的夾角；r 為齒輪分度圓半徑；φ 為角度參變量。

由于刀具的圓角部分和與其連接的兩段直線相切，所以當(dāng)?shù)毒邎A角與齒根過渡曲線剛開始接觸時(shí)，M 垂直于刀具的齒側(cè)直線，此時(shí)nn 與嚙合線重合，α' 等于齒條與齒輪的分度圓壓力角α； 當(dāng)齒條齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)到α'＝π/2 時(shí)，齒條形刀具的頂部直線段與齒根過渡曲線末端接觸，然后由該段直線切出齒根圓弧。由此可知，α'∈[α，π/2]。

1.3 齒槽曲線段間的連接

實(shí)現(xiàn)齒輪參數(shù)化建模，必須用表達(dá)式將齒槽各段曲線精確描述且曲線連接不能有歧義。

1.3.1 漸開線

由于要求與過渡曲線極大值點(diǎn)及給定的一半徑略大于齒頂圓半徑的圓弧相接。結(jié)合漸開線的性質(zhì)：

θF＝tanαF－αF，根據(jù)圖2 所示的原理，假設(shè)B 點(diǎn)為過渡曲線極大值點(diǎn)，并且假設(shè)K 點(diǎn)為與漸開線相接的略大于齒頂圓半徑的點(diǎn)。最終可以確定漸開線的取值范圍：θ∈[tanαB，tanαK]。曲線1 是直接由式（1）繪出的漸開線，曲線旋轉(zhuǎn)θ1后得到曲線2。根據(jù)對稱性可列出另一半漸開線的方程，得到曲線2 關(guān)于X 軸對稱的漸開線：

1.3.2 過渡曲線

如圖3 所示，曲線3 直接由式（3）繪出。曲線旋轉(zhuǎn)θ2后得曲線4。利用對稱性可列出關(guān)于X 軸對稱的另一段過渡曲線的方程，并繪出其曲線。根據(jù)過渡曲線的取值范圍可以得到極大值點(diǎn)B（xmax,ymax）與極小值點(diǎn)A（xmin,ymin）。由極值點(diǎn)可確定：

1.3.3 齒根圓弧

如圖3 所示,通過曲線3 的極小值點(diǎn)A（xmin,ymin）與X 軸的夾角φ2，以及曲線3 變換到曲線4 所旋轉(zhuǎn)的角度θ2，可以確定齒根圓弧的取值范圍：

2 造型設(shè)計(jì)

2.1 造型設(shè)計(jì)步驟

漸開線斜齒輪造型設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是齒輪（包括齒廓）相關(guān)參數(shù)的建立，在UG 中設(shè)計(jì)過程如下：

（1）利用表達(dá)式建立相互關(guān)聯(lián)的表達(dá)式；

（2）使用基本曲線功能中的規(guī)律曲線選項(xiàng)，通過方程式，并利用已經(jīng)建立的表達(dá)式繪制出漸開線曲線、過渡曲線、齒根圓弧、略大于齒頂圓弧，從而形成首尾相接的單個(gè)齒槽線串；

（3）生成與螺旋角相關(guān)聯(lián)的螺旋線；

（4）進(jìn)入草圖，以齒根圓弧的圓心畫出齒頂圓，一定要用表達(dá)式來定義齒頂圓的直徑；

（5）利用相關(guān)的特征操作（拉伸、沿引導(dǎo)線掃描、沿圓周陣列）完成漸開線齒輪的三維建模。

初始化齒輪如圖4 所示。

2.2 表達(dá)式的生成

對圓柱斜齒輪而言，其端面是漸開線，符合齒廓嚙合基本定律，即可改變齒數(shù)z、法面模數(shù)mn、壓力角α、螺旋角β 等常用參數(shù)，可以得到不同的圓柱斜齒輪的三維模型。建立表達(dá)式可以用以下兩種方式：①選擇Tools＞Expressions，直接輸入表達(dá)式。②建立一個(gè)文件名稱用英文字母或數(shù)字表示的純文本文檔，并輸入相關(guān)的表達(dá)式，保存并關(guān)閉后更改文件擴(kuò)展名為.exp； 然后在UG 中選Tools＞Expressions＞Import，輸

入建立.exp 文件。

在建立對基本參數(shù)賦初值的表達(dá)式時(shí)采用第一種方式，所建立表達(dá)式如下：

Z=25 //齒數(shù)

mn=4 //法面模數(shù)

alpha=20 //法面壓力角

beta=12 / /螺旋角

ha=l ∥法面齒頂高系數(shù)

c=0.25 //法面頂隙系數(shù)

h=20 //齒輪厚度

2.3 實(shí)現(xiàn)

斜齒輪的造型實(shí)現(xiàn)要求齒輪能夠?qū)崿F(xiàn)在其設(shè)計(jì)要求發(fā)生改變時(shí)，它的結(jié)構(gòu)尺寸也相應(yīng)地改變以滿足新的設(shè)計(jì)需要。為此，只需要將上述所建立的齒輪實(shí)體模型的相關(guān)特征參數(shù)進(jìn)行更改，就可以生成各種相關(guān)參數(shù)的齒輪三維模型。

3 結(jié)論

運(yùn)用UG 進(jìn)行齒輪精確建模時(shí)，齒廓曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)十分重要。借助UG 中的規(guī)律曲線功能可以直接生成齒廓曲線，無需對其進(jìn)行修剪、變換，對齒廓曲線實(shí)現(xiàn)了完全參數(shù)化設(shè)計(jì)。由于采用了UG 內(nèi)部表達(dá)式工具，避免了編程處理，通用性比較強(qiáng)。齒輪精確造型設(shè)計(jì)對齒輪的應(yīng)力分析、干涉檢驗(yàn)、數(shù)控仿真等都有實(shí)際意義。

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