高法金 賈海山

（1.山東工商學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005；2.煙建集團(tuán) 第十建安公司，山東 煙臺(tái) 264000）

彈簧振子是大學(xué)物理的重要組成部分，也是一個(gè)重要的物理模型。在一般大學(xué)物理的教學(xué)中都會(huì)講授靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因素，并且在處理和求解問題的過程中都近似認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，即靜摩擦因數(shù)等于動(dòng)摩擦因數(shù)。一般而言，靜摩擦因數(shù)大于動(dòng)摩擦因素，然而這種差別對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響，在教學(xué)過程并沒有得到詳細(xì)的闡述。本文以水平面上放置的彈簧振子為例，系統(tǒng)的分析了摩擦力對(duì)彈簧振子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響。

如圖1所示，水平放置一個(gè)彈簧，以恒定速度v0向右運(yùn)動(dòng)。

圖1

建立右向?yàn)檎较虻膞軸，設(shè)零時(shí)刻彈簧處于原長狀態(tài)，彈簧振子的坐標(biāo)為零，速度為零。彈簧振子的質(zhì)量為m，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k。

若地面光滑，根據(jù)受力分析，由牛頓第二定律得

利用初始條件t=0,x=0,v=0,a=0求得微分方程的解為彈簧振子的速度為

若地面有摩擦力，且動(dòng)摩擦因數(shù)μ等于靜摩擦因數(shù)μ0時(shí)，由于t=0時(shí)，彈簧處于原長，所以在t=0到t=gμ/ω2v0這段時(shí)間內(nèi)，彈簧振子處于靜止?fàn)顟B(tài)。

此后時(shí)刻，彈簧振子開始運(yùn)動(dòng)，對(duì)其受力分析，由牛頓第二定律得

利用初始條件t=gμ/ω2v0，x=0,v=0,a=0求得微分方程的解為

則彈簧振子的速度為

由此式可看出，當(dāng)靜摩擦因數(shù)等于動(dòng)摩擦因數(shù)時(shí)，彈簧振子運(yùn)動(dòng)的速度與地面光滑的情形相比，只不過相差一個(gè)初相位，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同。

而當(dāng)?shù)孛嬗心Σ亮Γ潇o摩擦因數(shù)大于動(dòng)摩擦因數(shù)時(shí)（μ0＞μ），彈簧振子的運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜。初始時(shí)刻（t=0），彈簧振子的速度為零，在t=gμ/ω2v0時(shí)，彈簧振子受到最大靜摩擦力，彈簧振子開始運(yùn)動(dòng)。在其開始運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)，彈簧振子受到的摩擦力發(fā)生突變，由最大靜摩擦力突變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦力，對(duì)彈簧振子受力分析，由牛頓第二定律得，其當(dāng)彈簧振子的速度再次為零之前，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)速度為

利用數(shù)值計(jì)算，下圖給出了彈簧振子的速度圖像。

圖2

當(dāng)靜摩擦因數(shù)大于動(dòng)摩擦因數(shù)，由彈簧振子運(yùn)動(dòng)速度的解析解和其運(yùn)動(dòng)的圖像可知，彈簧振子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程做滑阻運(yùn)動(dòng)。彈簧振子的振幅A大于未受摩擦力或靜摩擦因數(shù)等于動(dòng)摩擦因數(shù)時(shí)的振幅v0。當(dāng)靜摩擦因數(shù)等于動(dòng)摩擦因數(shù)時(shí)，彈簧振子靜止的時(shí)間為零，由此可見，靜摩擦因數(shù)大于動(dòng)摩擦因數(shù)導(dǎo)致彈簧振子做滑阻運(yùn)動(dòng)。另外，彈簧振子靜止的時(shí)間也與彈簧振子的質(zhì)量，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)以及牽引速度v0有關(guān)。

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