基于k/N 保障系統(tǒng)的連續(xù)施工設(shè)備配置優(yōu)化分析

劉云 李敏

(1.陜西咸陽(yáng)古建集團(tuán)有限公司，陜西咸陽(yáng) 712000;2.西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西西安 710014)

工程施工過(guò)程中設(shè)備系統(tǒng)能否正常工作決定了工程任務(wù)的完成效果，特別是在搶險(xiǎn)過(guò)程中，施工設(shè)備往往需要連續(xù)工作，保障工作設(shè)備的正常工作就顯得尤為重要，然而在實(shí)際工作過(guò)程中要求所有的設(shè)備同時(shí)正常工作難度會(huì)很大，準(zhǔn)備備用設(shè)備就成為必然，一旦發(fā)生設(shè)備故障則可用備用設(shè)備替代，從而保證工作能連續(xù)完成。若備用設(shè)備數(shù)量足夠多則工程必然可以順利實(shí)施，但這一結(jié)果是以犧牲成本為前提的，其實(shí)在實(shí)際工作過(guò)程中這種情況完全沒(méi)有必要，我們需要的是整個(gè)工作系統(tǒng)的工作狀態(tài)正常，當(dāng)組成工作系統(tǒng)的具體設(shè)備有個(gè)別失靈，只要事件不影響系統(tǒng)工作結(jié)果，就完全可以不必考慮，所以備用件的個(gè)數(shù)越少越好。

以某施工單位進(jìn)行搶修作業(yè)為例，為能夠短時(shí)間、高效率的完成任務(wù)，共安排5套設(shè)備同時(shí)作業(yè)，而實(shí)際只要其中3套設(shè)備能正常工作，就能保證整個(gè)搶修系統(tǒng)工作正常，這時(shí)這5套設(shè)備就構(gòu)成了一個(gè)工作系統(tǒng)，其中的2套設(shè)備構(gòu)成備用設(shè)備，我們將這種系統(tǒng)稱為k/N系統(tǒng)。由于k/N系統(tǒng)具有高可靠性，在施工作業(yè)中，尤其是在使用一些高科技的設(shè)備工作中被越來(lái)越多的應(yīng)用。

k/N系統(tǒng)理解起來(lái)很簡(jiǎn)單，但是最關(guān)鍵的問(wèn)題是在一定概率要求的條件下，如何確定保障工程系統(tǒng)正常工作的設(shè)備的最小備用保有量，即設(shè)備保障量的最優(yōu)值。由于設(shè)備工作的具體狀況復(fù)雜多變，為了更清楚的研究問(wèn)題，本文將按單階段任務(wù)和多階段任務(wù)兩種情況來(lái)進(jìn)行分析。

1 單階段任務(wù)中的k/N系統(tǒng)設(shè)備保障量分析

假設(shè)某任務(wù)的完成方式為單階段一次完成，所需時(shí)間為T，完成任務(wù)所需要的設(shè)備中的某種構(gòu)件可以形成k/N系統(tǒng)，其中該構(gòu)件的失效率為λ。這一系統(tǒng)在執(zhí)行工作任務(wù)的時(shí)候，當(dāng)有構(gòu)件發(fā)生故障后，需要依據(jù)“備用設(shè)備消耗量最小”的原則，即只要不影響設(shè)備完成當(dāng)前任務(wù)，就不需要進(jìn)行故障部件的更換，此時(shí)只要工作部件的數(shù)量能夠不小于k，那么就可以保證整個(gè)系統(tǒng)正常工作。但是當(dāng)發(fā)生故障的部件過(guò)多，從而導(dǎo)致系統(tǒng)中能夠正常工作的部件數(shù)量小于k時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)就無(wú)法順利工作了，此時(shí)則需要立刻更換設(shè)備，以便系統(tǒng)可以繼續(xù)正常工作。

建立數(shù)學(xué)模型，要求備用設(shè)備的保障率不小于已經(jīng)給定的概率P，從而求解出在單階段任務(wù)狀態(tài)下設(shè)備保障量的最優(yōu)值S。

我們可以把這種情況下k/N的系統(tǒng)按照其在任務(wù)執(zhí)行期間發(fā)生的失效過(guò)程分為兩個(gè)不同的階段:發(fā)生故障后對(duì)故障件進(jìn)行修理的階段和無(wú)法修理需要更換故障件的階段，這兩個(gè)階段的變化過(guò)程如圖1所示。

設(shè)t為兩個(gè)階段的分割時(shí)間點(diǎn)，在t時(shí)刻以前，系統(tǒng)中部件故障不更換，在t時(shí)刻以后，部件故障立刻用備用設(shè)備替換。也就是說(shuō)，在0～t期間，系統(tǒng)中共有N－k－1個(gè)部件發(fā)生故障，在t～T期間，每有一個(gè)部件發(fā)生故障就立即更換，系統(tǒng)一直保持僅有k個(gè)部件工作的狀態(tài)，那么，在t時(shí)刻，恰好出現(xiàn)N－k個(gè)部件故障。

圖1 k/N系統(tǒng)階段變化過(guò)程

設(shè)P(N，k，T，j)為在任務(wù)期間恰好消耗j個(gè)備用設(shè)備的概率，s為面向任務(wù)的設(shè)備儲(chǔ)備量。

當(dāng)j=0時(shí)，即任務(wù)期間沒(méi)有更換備用設(shè)備，那么整個(gè)任務(wù)都處在不更換故障件階段(t＞T)，在任務(wù)期間故障件的數(shù)量不大于N－k－1。此時(shí):

當(dāng)j＞0時(shí)，即任務(wù)期間更換了j個(gè)備用設(shè)備，此整個(gè)任務(wù)必然包含了不更換故障件階段和更換故障件階段，則t≤T，設(shè)f(t)為間隔點(diǎn)的概率密度函數(shù)，此時(shí):

在更換故障件階段共消耗j個(gè)備用設(shè)備的概率恰好等于由k個(gè)部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)在T－t時(shí)間內(nèi)消耗j個(gè)備用設(shè)備的概率:

然后再用計(jì)算 P(N，k，T，j)。

其中，P(N，k，T，j)即為任務(wù)期間正好需要j個(gè)備用設(shè)備的概率，而P(j≤s)則表示單階段任務(wù)期間備用設(shè)備需求量j≤s的概率。那么:

這里S就是所求的最優(yōu)設(shè)備保障量。

2 多階段任務(wù)中的k/N系統(tǒng)設(shè)備保障量分析

單階段任務(wù)發(fā)生的狀況一般比較簡(jiǎn)單，但大多數(shù)情況下任務(wù)的發(fā)生是由不同的工作階段共同組成的，各階段之間互相影響，也就是我們所稱的多階段任務(wù)。這種情況下，k/N系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中的N和k只會(huì)隨著任務(wù)階段的變化而變化，各階段要求的工作部件數(shù)量也不同，也就是說(shuō)這個(gè)k/N系統(tǒng)在各個(gè)階段的任務(wù)中是不同的。

假設(shè)一個(gè)多階段任務(wù)可以被分解為L(zhǎng)個(gè)階段性任務(wù)，其中各構(gòu)件的配置數(shù)為N，各階段任務(wù)的完成時(shí)間為Tl。該k/N系統(tǒng)會(huì)隨著各階段需完成的任務(wù)要求變化，設(shè)在第l(l=1，2，…，L)個(gè)任務(wù)中，起先有kl個(gè)可工作部件，任務(wù)要求工作期間至少要保證Kl個(gè)部件工作，此時(shí)系統(tǒng)為Kl中取kl系統(tǒng)。要求備用設(shè)備保障率不小于P，多階段任務(wù)期間最優(yōu)設(shè)備保障量為S。

令第l階段備用設(shè)備消耗量為jl，該階段結(jié)束時(shí)的可工作部件恰好是下階段任務(wù)開(kāi)始時(shí)的可工作部件數(shù) kl+1，P(kl，Kl，Tl，jl)為任務(wù)期間備用設(shè)備消耗的概率。

通過(guò)分析可知，若kl≥Kl，則kl可取設(shè)備基本保障量Kl，每階段問(wèn)題可按單階段情況來(lái)處理;若kl＜Kl，則要按照備用設(shè)備消耗量最小的原則先對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行整修，更換Kl－kl個(gè)故障件，然后再開(kāi)始執(zhí)行該階段任務(wù)，此時(shí)系統(tǒng)可被看作是由Kl個(gè)部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 多階段任務(wù)執(zhí)行示意圖

在kl＜Kl的前提下，當(dāng)本階段任務(wù)準(zhǔn)備的備用設(shè)備數(shù)jl≥Kl－kl時(shí)，系統(tǒng)可以被看作一個(gè)由Kl個(gè)部件組成的串聯(lián)系統(tǒng);然而當(dāng)本階段任務(wù)備用設(shè)備數(shù)jl＜Kl－kl時(shí)，表示用來(lái)替換Kl－kl個(gè)故障件的備用設(shè)備不夠用，任務(wù)將無(wú)法繼續(xù)執(zhí)行。

根據(jù)上面的結(jié)果分情況討論可得:

設(shè)系統(tǒng)在每個(gè)階段任務(wù)開(kāi)始時(shí)的可工作部件數(shù)量為k1，k2，…，kL，在該階段任務(wù)結(jié)束時(shí)可工作部件數(shù)量為k*(k*≥KL)，且總備用設(shè)備消耗量恰好為 s的概率為 P(k1，k2，…，kL，k*，s)。則:

設(shè)P(s)為系統(tǒng)在此多階段任務(wù)中恰好消耗s個(gè)備用設(shè)備的概率，則:

設(shè)P(j≤s)則表示多階段任務(wù)期間備用設(shè)備需求量j≤s的概率。那么:

那么:

這里S就是所求的最優(yōu)設(shè)備保障量。

3 應(yīng)用實(shí)例

某施工搶修作業(yè)設(shè)備包含5個(gè)同類型的部件，部件的發(fā)生失效的概率為λ=0.001 h－1，部件發(fā)生失效的情況之間互不干擾。現(xiàn)在該設(shè)備要完成一個(gè)搶險(xiǎn)任務(wù)，任務(wù)全程可分為3個(gè)階段，在第1階段，任務(wù)的工作時(shí)間為100 h，要求至少保證2個(gè)部件工作正常;第2階段的工作時(shí)間為250 h，至少要有3個(gè)部件工作正常;第3階段的工作時(shí)間為250 h，要求至少保證2個(gè)部件工作正常。需要在備用設(shè)備保障率不低于 0.90，0.95，0.99 的條件下，確定該部件的最優(yōu)設(shè)備保障量。利用前面建立的數(shù)學(xué)模型，可以得到結(jié)果如表1所示。

表1 最優(yōu)設(shè)備保障量核算結(jié)果

由此可知當(dāng)需要工作順利完成時(shí)，若備用設(shè)備的保障率要達(dá)到90%，只需提供一個(gè)備用設(shè)備即可。

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