☉浙江省紹興縣稽東鎮(zhèn)中學(xué) 尉嗣侃

思維要“逼”，探究才能進(jìn)行到底
——由一堂《二元一次方程組的圖像解法》的公開(kāi)課說(shuō)起

☉浙江省紹興縣稽東鎮(zhèn)中學(xué) 尉嗣侃

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，可以鍛煉學(xué)生的思維能力，使其不斷地發(fā)展.《新課標(biāo)》中明確指出數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面需要大力加強(qiáng)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問(wèn)題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程.當(dāng)今的數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)出一種探究式教學(xué)的模式，但何為探究，如何探究，卻引人深思！

部分?jǐn)?shù)學(xué)課堂常常讓學(xué)生討論、交流，或者動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)、量一量、折一折，教師便問(wèn)學(xué)生有何發(fā)現(xiàn)，看似探究味兒十足，但學(xué)生其實(shí)是被動(dòng)式的接受知識(shí)，數(shù)學(xué)的思維也未得到任何發(fā)展，并不能發(fā)現(xiàn)知識(shí)的規(guī)律和本質(zhì).筆者認(rèn)為學(xué)生的思維在一定程度上不得不“逼”，一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題或直觀的結(jié)論學(xué)生往往是憑借記憶或感覺(jué)而得出的，并不能領(lǐng)悟問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，所以教師要在教學(xué)的過(guò)程中不停的追問(wèn)，不停的讓學(xué)生感覺(jué)難以回答，于是學(xué)生才會(huì)積極在頭腦中搜索知識(shí)，這樣思維碰撞后才能“逼”出他們最深層的思想，才能將探究進(jìn)行到底.

筆者就以曾上過(guò)的一節(jié)公開(kāi)課《二元一次方程組的圖像解法》的4個(gè)片段入手與讀者交流，共同體會(huì)從課堂的點(diǎn)滴出發(fā)，“逼”出學(xué)生的思想，真正讓課堂充滿探究的意味兒.

一、問(wèn)題情境

師：前面的課中我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)圖像的畫(huà)法，下面請(qǐng)同學(xué)們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，畫(huà)出一次函數(shù)y=－x+3的圖像，并在直線上標(biāo)出任意3個(gè)點(diǎn)，寫(xiě)出相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).

（學(xué)生動(dòng)筆在學(xué)案上畫(huà)圖像，并寫(xiě)出坐標(biāo)，教師巡視時(shí)提醒學(xué)生記得在圖像旁標(biāo)明函數(shù)的解析式）

生：我找的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0，3）、（ 1，2）、（ 3，0）.

師：請(qǐng)你將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)換一種語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成我們熟悉的形式，比如（ 0，3）可以轉(zhuǎn)換成當(dāng)x=0時(shí)，y=3.

生：（ 1，2）、（ 3，0）分別可以轉(zhuǎn)換成當(dāng)x=1時(shí)，y=2；當(dāng)x=3時(shí)，y=0.

師：繼續(xù)換個(gè)角度來(lái)研究，式子y=－x+3其實(shí)大家十分熟悉，雖然它現(xiàn)在是一次函數(shù)，但我們對(duì)它早就了解，以前它叫什么？

生：二元一次方程.

師：那么當(dāng)x=0時(shí)，y=3滿足于二元一次方程y=－x+3嗎？ 當(dāng)x=1時(shí)，y=2呢？ 當(dāng)x=3時(shí)，y=0呢？

生：均滿足.

師：對(duì)于不同的式子說(shuō)不同的話，既然滿足于方程，那我們要寫(xiě)成怎樣的形式？

師：直線y=－x+3上有多少個(gè)點(diǎn)？不會(huì)大家找的都是這三個(gè)點(diǎn)吧？有不同的點(diǎn)嗎？

（學(xué)生積極舉手，說(shuō)出自己所找的點(diǎn)的坐標(biāo)）

師：這些點(diǎn)寫(xiě)成解的形式是方程y=－x+3的解嗎？

生：是的！

師：如果再找第4個(gè)、第5個(gè)點(diǎn)呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

分析：通過(guò)不停的追問(wèn)，讓學(xué)生感受從特殊到一般的過(guò)程，讓學(xué)生的思維不斷完善，便很容易的歸納出：一次函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是對(duì)應(yīng)的二元一次方程的一組解.

二、建構(gòu)活動(dòng)

1.方程的解與函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)

師：下面給同學(xué)們一個(gè)機(jī)會(huì)，寫(xiě)出方程y=－x+3的任意3組解，并把這些解寫(xiě)成點(diǎn)的坐標(biāo)形式，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出這些點(diǎn).

（學(xué)生動(dòng)手操作，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出）

師：你發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)在哪兒？

生：點(diǎn)在直線上.

師：直線有很多條，到底在什么直線上？

生：直線y=－x+3上.

師：那如果我再找?guī)讉€(gè)解，寫(xiě)成點(diǎn)的坐標(biāo)形式，你覺(jué)得這些點(diǎn)還在這條直線上嗎？

生：是的！

師：老師突然感覺(jué)十分激動(dòng)，以前二元一次方程的解是一組數(shù)，現(xiàn)在卻能看得見(jiàn)了，你有這樣的感覺(jué)嗎？你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：二元一次方程組的解在直線上.

師：這說(shuō)法不對(duì)，解怎么可能在直線上？

生：那解寫(xiě)成坐標(biāo)在直線上！

師：坐標(biāo)也不會(huì)在直線上呀？

（學(xué)生此時(shí)難以描述，有很多話想說(shuō)但不知道如何組織語(yǔ)言，思考了幾秒鐘以后，回答出：以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的圖像上）

師：你能用一句通俗易懂的話來(lái)總結(jié)上面兩個(gè)發(fā)現(xiàn)嗎？

分析：這次的追問(wèn)“逼”出了學(xué)生的思想，真正明白了對(duì)于不同的式子說(shuō)不同的話，要注意語(yǔ)言的規(guī)范.學(xué)生在仔細(xì)思考后，組織了語(yǔ)言：二元一次方程的解與相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng).筆者迅速將其在黑板上記錄，上述一系列的“逼”，使學(xué)生的思維更上了一層，明白了點(diǎn)的坐標(biāo)和方程的解對(duì)應(yīng)、方程與函數(shù)的式子對(duì)應(yīng)的雙重關(guān)系，這是學(xué)生的第一次思維被完整“逼”出.

2.二元一次方程組的解與函數(shù)圖像的交點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)

師：請(qǐng)?jiān)佼?huà)出y=x－5的圖像，為了節(jié)省紙張，我們畫(huà)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（也為后面的活動(dòng)埋下伏筆）.

（學(xué)生畫(huà)好后，仿照之前的發(fā)現(xiàn)敘述一次對(duì)應(yīng)關(guān)系）

師：既然y=x－5與y=－x+3的圖像在同一平面直角坐標(biāo)系中，那我們就來(lái)研究一下，這兩條相交直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，老師覺(jué)得有一點(diǎn)很值得研究，你覺(jué)得呢？

生：交點(diǎn)很有研究?jī)r(jià)值.

師：價(jià)值在哪兒？

生：它是對(duì)應(yīng)的方程組的解.

師：交點(diǎn)會(huì)是一個(gè)方程組的解嗎？交點(diǎn)不就是一個(gè)點(diǎn)嗎？

生（有些著急）：講錯(cuò)了，是交點(diǎn)的坐標(biāo).

師：那為什么是呢？

生：因?yàn)榻稽c(diǎn)既在y=x－5的圖像上，又在y=－x+3的圖像上，所以這個(gè)點(diǎn)是公共點(diǎn)，按照我們之前的發(fā)現(xiàn)，公共點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)公共解，也就是說(shuō)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)既符合方程y=x－5，又符合方程y=－x+3，也就是公共解，兩個(gè)方程的公共解就是方程組的解，所以這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的方程組的解.

（這次的追問(wèn)讓學(xué)生說(shuō)出了自己的完整想法，也讓結(jié)論更加清晰）

師：難道同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線一定有一個(gè)交點(diǎn)嗎？

分析：不停的“逼”，讓學(xué)生的思維主動(dòng)“跳”了出來(lái)，對(duì)知識(shí)更加明確，于是回答：如果兩個(gè)一次函數(shù)的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，即兩直線相交，那么二元一次方程組有唯一解，交點(diǎn)的坐標(biāo)就是相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解；如果兩個(gè)一次函數(shù)的圖像有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，即兩直線重合，那么相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組有無(wú)數(shù)組解；如果兩個(gè)一次函數(shù)的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，即兩直線平行，那么相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組無(wú)解.學(xué)生的這個(gè)回答比書(shū)本上的結(jié)論還要完整，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論是在不斷完善中形成的，筆者給予學(xué)生高度的贊賞，第二次的“逼”達(dá)到了完美的效果.

（筆者立馬出了幾個(gè)訓(xùn)練題強(qiáng)化二元一次方程組的解與交點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的題）

三、數(shù)學(xué)化認(rèn)識(shí)

師：看到這個(gè)二元一次方程組，你有什么想法？

生：除了可以利用加減消元法、代入消元法，還可以利用找交點(diǎn)的方法來(lái)解.

師：那你會(huì)怎么找交點(diǎn)來(lái)解呢？要經(jīng)歷哪些步驟？

生：首先把方程形式轉(zhuǎn)換成函數(shù)形式，接著在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)圖像并找到交點(diǎn)，最后轉(zhuǎn)換成解的形式.

師：很好，可以簡(jiǎn)記為變函數(shù)、畫(huà)圖像、找交點(diǎn)、寫(xiě)結(jié)論.

分析：這次的“逼”讓學(xué)生多了一種方法來(lái)解決二元一次方程組的解，并了解這種圖像解法的步驟，雖然學(xué)生體會(huì)到方程和函數(shù)之間的聯(lián)系，但并不了解為何要學(xué)習(xí)這節(jié)課，用意何在，為何要將一個(gè)簡(jiǎn)單的題目復(fù)雜化.

（筆者針對(duì)這類題給予了一個(gè)例題，并板書(shū)格式、步驟）

四、能力拓展

1.以圖看解

圖1

師：你能解釋一下嗎？

生：通過(guò)上面的發(fā)現(xiàn)知道交點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的解.

師：我們上面講的是二元一次方程組的圖像解法，而這個(gè)圖像所表示的好像不是一次函數(shù)吧？那你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：如果兩個(gè)圖像有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)的坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的方程組的解，我們可以擴(kuò)展為通過(guò)交點(diǎn)來(lái)求二元高次方程組的解了.

分析：這個(gè)“逼”讓學(xué)生逐漸意識(shí)到圖像解法是一個(gè)通法，“逼”學(xué)生說(shuō)出可以用其解決二元高次方程組的解，但有的學(xué)生依然會(huì)用以前的方法解決本題，而有些學(xué)生已經(jīng)逐步意識(shí)到圖像解法也是應(yīng)該掌握的一個(gè)方法了.

2.以題作圖

（學(xué)生知道這節(jié)課在學(xué)圖像解法，但是仍然喜歡用自己原先學(xué)過(guò)的消元法，因?yàn)閷W(xué)生覺(jué)得消元法更簡(jiǎn)單、更熟悉、更方便，于是將這個(gè)方程組消去y，得到含有x的方程：x5－x－1=0，看到這個(gè)方程，學(xué)生們徹底放棄，因?yàn)樗麄兏静粫?huì)解，這正是筆者想要的結(jié)果，為筆者的下一個(gè)“逼”提供了幫助）

師：我相信大家肯定嘗試了原來(lái)的方法，你會(huì)解嗎？其實(shí)老師也不會(huì)，那我們?cè)撛趺崔k呢？

生：用圖像法試試吧！

師：對(duì)于消元法，雖然有時(shí)候很簡(jiǎn)單，但遇到不會(huì)解的方程你就無(wú)從下手了，而圖像人人都會(huì)畫(huà)，多找一些點(diǎn)圖像就會(huì)更精確，那我們用圖像法試試看.

（為了節(jié)省時(shí)間，筆者用幾何畫(huà)板展示了兩個(gè)函數(shù)的圖像，并清晰的找到了交點(diǎn)，雖然交點(diǎn)的坐標(biāo)是近似數(shù)，但方法顯然是可行的）

分析：通過(guò)這次的“逼”，讓學(xué)生無(wú)計(jì)可施，終于在此時(shí)感受到今天的學(xué)習(xí)是有價(jià)值的，圖像解法也是一種學(xué)習(xí)過(guò)程中必不可少的方法.

（學(xué)生想都不想，看到五次方馬上開(kāi)始動(dòng)手畫(huà)圖像）

師：有人發(fā)現(xiàn)了什么嗎？

生：畫(huà)圖像來(lái)解決此題！

師：一定要畫(huà)圖像嗎？你用以前的方法看看.

（學(xué)生將這個(gè)方程組消去y，得到含有x的方程：x5=x，看到這個(gè)方程恍然大悟，很快解出了方程組，覺(jué)得又被老師欺騙了）

為了讓學(xué)生得到更加清晰的結(jié)果，筆者用幾何畫(huà)板展示了圖像并找到了交點(diǎn)，直觀的幾何畫(huà)板展示讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)用圖像和消元法的結(jié)果是一樣的.

分析：通過(guò)這次的“逼”，學(xué)生清晰地意識(shí)到圖像解法是正確的方法，在遇到不會(huì)求解的二元高次方程組的時(shí)候利用圖像解法能體現(xiàn)其優(yōu)勢(shì)，真正的學(xué)以致用，明白選對(duì)方法很重要.

上面幾個(gè)片段中，雖然沒(méi)有一處讓學(xué)生開(kāi)展討論，但是處處滲透探究，從一節(jié)課的開(kāi)始到一節(jié)課的結(jié)束都以問(wèn)題為核心，不停根據(jù)學(xué)生的回答繼而追問(wèn)，用一個(gè)又一個(gè)的問(wèn)題“逼”學(xué)生展示自己，“逼”學(xué)生說(shuō)出自己的最真實(shí)想法，不斷地使學(xué)生的知識(shí)內(nèi)化，轉(zhuǎn)為生成經(jīng)驗(yàn)，也“逼”出了本節(jié)課的規(guī)律.所以無(wú)論何時(shí)，數(shù)學(xué)課堂不得不“逼”，這樣才能探數(shù)學(xué)之實(shí)質(zhì)，究數(shù)學(xué)之本質(zhì)，讓探究進(jìn)行到底！