王俊龍

（1.《高等學(xué)校文科學(xué)術(shù)文摘》雜志社，上海 200234;2.上海師范大學(xué)，上海 200234）

子曰:“工欲善其事，必利其器?！保?］71若要依數(shù)理邏輯為工具來分析語言，我們首先要有一個合適的數(shù)理邏輯工具。然而，現(xiàn)有數(shù)理邏輯工具并不是十分完善的。比如，現(xiàn)有邏輯代數(shù)或集合代數(shù)是建立在布爾代數(shù)基礎(chǔ)上的，而布爾代數(shù)本身是不完善的。眾所周知，1是乘法單位元，0是加法單位元，是就算術(shù)運算而言的。而邏輯運算與算術(shù)運算是不同的運算系統(tǒng)。布爾代數(shù)以1為邏輯乘法單位元，以0為邏輯加法單位元，顯然是混淆了邏輯運算與算術(shù)運算之間的區(qū)別。若是用像布爾代數(shù)這樣的不完備的邏輯工具分析語言，其結(jié)果必定是不能給出令人滿意的研究結(jié)論。有鑒于此，本文將結(jié)合語言中概念的發(fā)展過程來探討什么樣的邏輯才是適合于語言的這樣一個問題。

一 從波普對黑格爾辯證法三段式的評論談起

關(guān)于邏輯學(xué)與黑格爾的辯證法三段式，波普有一個頗為中肯的評論:

像邏輯這樣的理論堪稱為“基礎(chǔ)的”理論，這是表明:因為邏輯是有關(guān)各種推論的理論，因而為所有的科學(xué)所利用。至于辯證法，我們發(fā)現(xiàn)只能合理地運用它;在這個意義上，我們可以說，它不是基礎(chǔ)的理論而只是描述的理論。因此，把辯證法當(dāng)作邏輯學(xué)的重要組成部分就與邏輯學(xué)對立，這是不適當(dāng)?shù)?但是把辯證法當(dāng)作，比如說，進化論，也同樣不適當(dāng)。只有像我們前面批判過的那種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)碾[喻說法和模棱兩可的說法才可能出現(xiàn)這樣的情況:辯證法既是描述某些典型的發(fā)展的學(xué)說，又是一門像邏輯學(xué)這樣的基礎(chǔ)理論。［2］103-104

波普的觀點很明確，黑格爾的辯證法三段式是描述的理論而不是邏輯理論。

二 否定關(guān)系的表示:邏輯運算與算術(shù)運算的分野

黑格爾辯證法三段式中涉及否定的否定問題。-a是對a的否定，-（-a）是對-a的否定。邏輯上，否定的否定遵循雙重否定律:-（-a）=a。邏輯上，同一個變量的自乘遵循冪等律:（-a）（-a）=-a。但是，算術(shù)上，（-a）（-a）=a2。可見，邏輯運算與算術(shù)運算是兩種性質(zhì)不同的運算。如果不能分清邏輯運算與算術(shù)運算的區(qū)別，就會把兩個負數(shù)的乘積看作是表示否定的否定關(guān)系的邏輯公式。

恩格斯說:“我們試取任何一個代數(shù)數(shù)，例如a，如果我們否定它，我們就得到-a（負a）。如果我們否定這一否定，以-a乘-a，那么我們就得到+a2，就是說，得出了原來的正數(shù)，但是已經(jīng)處在更高的階段，即二次冪的階段。至于我們可以通過把正a自乘得出a2的辦法得到同樣的a2，在這里是無關(guān)緊要的。因為這種被否定了的否定如此牢固地存在于a2中，使得a2在任何情況下都有兩個平方根，即+a和-a。要擺脫被否定了的否定，擺脫平方中所包含的負根，是不可能的，這種情況，在二次方程式中已經(jīng)具有極其明顯的意義。”［3］177

恩格斯用a表示正題，用-a表示反題，這在邏輯上是可以成立的，其中包含一元運算，負號就是一元運算符號。但是，正題和反題的運算應(yīng)遵循邏輯運算規(guī)則，而不適用算術(shù)運算規(guī)則。對此，波普指出:“即使假定a是正題，-a是它的反題或否定，我們很可以認(rèn)為否定的否定應(yīng)是-（-a）;而此a并非高一級的‘合題’，而正是原來的正題本身。換句話說，為什么一定要反題自乘而得到合題呢?比如，為什么不可以正題加反題呢（那樣會得出0）?或者為什么不正題乘反題呢（那樣會得出-a2，而不是a2）?還有，a2比a或-a‘更高一級’是從什么意義上說的?（肯定不是從數(shù)字更大的意義上說，因為如果a=，那么a2=）。此例說明了在應(yīng)用辯證法的模糊觀念時極端武斷?！保?］103

波普指出，否定的否定應(yīng)遵循邏輯規(guī)則中的雙重否定律:-（-a）=a。這段話中，波普沿著恩格斯用正負數(shù)表示正反題的思路，初步論述了由正題和反題得到合題的運算規(guī)則:一是指出，若正題（a）與反題（-a）相加，則a+（-a）=0，就會得到合題是0。二是指出，若正題（a）與反題（-a）相乘，則a（-a）=-a2，就會得到合題是-a2。

顯然，波普所采用的運算規(guī)則是算術(shù)運算規(guī)則而不是邏輯運算規(guī)則。盡管如此，波普先生說對其中一點。若正題（a）與反題（-a）相加，則合題的確是0。因為，對于正題（a）與反題（-a）不僅是算術(shù)加法運算得到0的結(jié)果:a+（-a）=0，而且邏輯加法（析取運算）也得到同樣的0的結(jié)果:a+（-a）=0。其中第二點波普先生肯定說錯了。正題（a）與反題（-a）在邏輯上是兩不相交的，因此，邏輯上二者相乘的結(jié)果（交集）不是-a2而是?（空集）。a（-a）=-a2是算術(shù)乘法運算及其結(jié)果，a（-a）=?是邏輯乘法運算（合取運算）及其結(jié)果。［4］

如果說恩格斯沒有充分意識到算術(shù)運算與邏輯運算之間的區(qū)別的話，那么，批評恩格斯的波普其本身也同樣沒有意識到算術(shù)運算與邏輯運算之間的區(qū)別。但是，必須指出的是，恩格斯用負數(shù)表示否定關(guān)系，一個主要的原因或許是想說明，正負數(shù)是事物的內(nèi)在矛盾在數(shù)學(xué)上的反映，而這一點是觸及邏輯的數(shù)學(xué)本質(zhì)的，但同時也是超前的認(rèn)知。因為在恩格斯生活的時代還沒有產(chǎn)生建立在正負數(shù)上的邏輯代數(shù)體系。即使在今天，人們對正負數(shù)的邏輯意義也還缺乏足夠的認(rèn)知。顯然，恩格斯把正負數(shù)作為矛盾關(guān)系看待與布爾另設(shè)補號表示否定關(guān)系是兩種不同的邏輯見解。但或許（這只是筆者的猜測）恩格斯同時又不可避免地受到布爾的影響。布爾用1表示邏輯乘法單位元，用0表示邏輯加法單位元，給世人的強烈暗示是，邏輯運算在某種程度上也遵循算術(shù)運算規(guī)則。恩格斯在《反杜林論》中錯將算術(shù)運算規(guī)則視為邏輯運算規(guī)則是當(dāng)時的邏輯代數(shù)的現(xiàn)狀及其局限性所決定的。需要說明的是，盡管布爾于1847年出版《邏輯的數(shù)學(xué)分析》（Mathematical Analysis of Logic）一書立刻引起轟動并為他贏得了崇高的榮譽，而恩格斯的《反杜林論》寫于1876年5月底至1878年7月初，但筆者尚不清楚恩格斯對布爾代數(shù)的熟悉程度，只是假設(shè)一個博學(xué)的恩格斯應(yīng)該知道布爾在邏輯代數(shù)方面所取得的成就。

三 現(xiàn)有邏輯理論證明黑格爾辯證法三段式難以成立

黑格爾辯證法旨在揭示概念的矛盾展開、發(fā)展的過程，為我們提供了揭示矛盾運動的“正、反、合”的方法。首先對“正、反、合”作一點分析?！罢?、反、合”中其中正與反是一對陰陽關(guān)系，與“合”相對者是“分”。不講“分”，則“合”就沒有其對立面。只講“合”不講“分”，這是不合陰陽說的，也是違背矛盾論的。正與反是變化的條件，分與合是變化的過程。［5］

顯然，正與反是一對矛盾，而合與分是一對矛盾?？梢姡恢v正反之合不講正反之分在邏輯上是不完備的。一個邏輯上不完備的理論要成為指導(dǎo)實踐的理論是有缺陷的，想以正反合的辯證運動揭示自然的發(fā)展規(guī)律也是一廂情愿的。

再看正、反之合。若正和反是一對邏輯矛盾，那么，這個“合”就意味著是全集。若以全集作為“下一階段”的正題，那么，其反題將是空集，因為全集的對立面是空集?？梢姡@個“下一階段”剛一開始就將遭遇邏輯上的空集。空集中沒有任何實在的內(nèi)涵，空集意味著不存在或無以為繼。因此，辯證法的螺旋式上升發(fā)展的圖景在邏輯上是難以成立的。［6］

從否定運算的角度看，黑格爾辯證法中的否定是簡單的一元否定而沒有論及二元否定。而一個完備的邏輯系統(tǒng)總是不可避免地要涉及二元運算及其否定運算，著名的德摩根律（De Morgan Law）就是關(guān)于二元否定運算的。由此可見，黑格爾辯證法不具有成為完備的邏輯系統(tǒng)的最基本的條件。

四 “螺旋式上升”的邏輯解讀

若黑格爾辯證法三段式在邏輯上是難以成立的，螺旋式上升也就無從談起。但是，人們的經(jīng)驗感受是人類的認(rèn)知能力的確是不斷提高的，這一經(jīng)驗感受也的確需要給予邏輯上的解釋。黑格爾辯證法三段式盡管是一次不成功的努力，但是，并不是沒有啟發(fā)意義的。

實際上，人類認(rèn)知能力或知識領(lǐng)域的不斷擴展的確是存在相對應(yīng)的邏輯模式的，但在邏輯上的表現(xiàn)不是“螺旋式上升”而是線性的擴展。見圖1。

圖1 擴展的布爾代數(shù)

圖1是擴展的布爾代數(shù)，其中仍以0為空集。根據(jù)皮亞諾公理［7］12，對于任意給定的非負整數(shù)n，存在數(shù)I，使得n≤I（算術(shù)上的大小關(guān)系在邏輯上表現(xiàn)為包含關(guān)系n?I）。

顯然，在擴展的布爾代數(shù)中全集不是1也不是2或4，而是不小于任意給定的非負整數(shù)n的那個I。

從圖1中不能發(fā)現(xiàn)，若1是正題，則2-1是其反題，二者的合題是2，公式表示為

（1）1+2-1=2

這樣就從邏輯上完成了第一階段。

下一階段以2為正題，則4-2是其反題，二者的合題為4，公式表示為

（2）2+4-2=4

這樣就從邏輯上完成了第二階段。

以上過程可以不斷地擴展下去。其中每一階段的合題都是相對全集而不是絕對全集。

需要指出的是，若1是正題，4為合題，則反題為4-1，公式表示為

（3）1+4-1=4

實際上，若以任意給定的非負整數(shù)n為正題，則存在合題I，反題為I-n，合題是正反題的析取，公式表示為

（4）n+I-n=I

注意:其中n+I-n≠（n+I）-n，因為，在邏輯運算中，（n+I）-n=I-n。

顯然，擴展的布爾代數(shù)是建立在擴展的（含0的）自然數(shù)系統(tǒng)上的。這樣，通過擴展的布爾代數(shù)，我們就從數(shù)理上模擬了人類認(rèn)知能力或知識領(lǐng)域不斷由低級階段向高級階段擴展的邏輯演進過程。從中可以看到這不是一個“螺旋式上升”的過程而是線性擴展的過程。依現(xiàn)有邏輯工具我們目前還只能做到這一點，這還是突破布爾代數(shù)全集為1的局限性才做到的。至于是否存在“螺旋式上升”的邏輯模式目前還不得而知，至少黑格爾的辯證法三段式并不能真正成為這樣一個邏輯模式。然而，擴展的布爾代數(shù)已經(jīng)能夠初步滿足人們對于概念發(fā)展的演進過程建立邏輯模型加以解釋的心理需求。

筆者曾經(jīng)指出，布爾代數(shù)是太極代數(shù)的子代數(shù)。［8］上述擴展的布爾代數(shù)仍然還是太極代數(shù)的子代數(shù)。

五 太極代數(shù):建立在正負數(shù)基礎(chǔ)上的邏輯代數(shù)

如果我們像恩格斯試圖做到的那樣真正將正負數(shù)引入邏輯世界，那么我們就能實現(xiàn)對布爾代數(shù)的超越。太極代數(shù)是建立在正負數(shù)基礎(chǔ)上的邏輯代數(shù)系統(tǒng)。太極代數(shù)將引領(lǐng)我們真正進入廣大無邊的邏輯世界。鑒于太極代數(shù)是一個專業(yè)的數(shù)理邏輯問題，同時，其哲學(xué)基礎(chǔ)又有別于西方哲學(xué)，因此本文對太極代數(shù)的介紹是初步的。

《系辭上》曰:“是故《易》有太極，是生兩儀。兩儀生四象，四象生八卦?！迸擞晖⒄f:“太極就是種種不同的相反的東西合在一起。”［9］281對于0的性質(zhì)，潘先生還說:“無中生有，邊界的邊界為0?！保?］134那么，“種種不同的相反的東西合在一起”其結(jié)果正是無（0）。在哲理上，太極就是無;在數(shù)理上，太極就是0。

零因為是任何定量的否定，所以不是沒有內(nèi)容的。相反地，零是具有非常確定的內(nèi)容的。作為一切正數(shù)和負數(shù)之間的界線，作為能夠既不是正又不是負的唯一真正的中性數(shù)，零不只是一個非常確定的數(shù)，而且它本身比其他一切被它所限定的數(shù)都更重要。事實上，零比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容。［10］219

顯然，恩格斯對0“不是沒有內(nèi)容的”的認(rèn)識與布爾視0為空（空類）的認(rèn)知是大相徑庭的，而太極代數(shù)從邏輯上視0為絕對全集則完全符合恩格斯對0“比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容”的論述。

在太極代數(shù)中，正反或陰陽是相對的存在，而空和無是絕對的存在。世間一切的存在，對于絕對存在的空和無而言都只是相對的存在物。

空和無不以陰陽的存在為前提的先在性和絕對性，這一性質(zhì)可以通過太極代數(shù)加以證明。在以空、無為元素的二元集合{?，0}上定義布爾加法（析取運算）、布爾乘法（合取運算）和補運算得到的是太極代數(shù)。［11］在沒有陰陽參與的絕對情形下，空和無自成一個完備的二元邏輯體系。而在以陰、陽為元素的二元集合{1，-1}上（其中-1是非1的意思，下同）只能實施補運算，只能在陰陽之間建立非此即彼（或相互否定）的關(guān)系，卻不能建立完備的二元邏輯體系。這就證明陰陽矛盾在邏輯上不能成為一個統(tǒng)一體。因此，這就證明了，空無是獨立于陰陽的絕對存在。同時也證明，陰陽矛盾是不能脫離空無矛盾而獨立存在的。

在集合{?，0}中引入陰（-1）陽（1）二元素，得到集合{?，0，1，-1}，在其上定義布爾加法（析取運算）、布爾乘法（合取運算）和補運算得到的還是太極代數(shù)——一個完備的四元邏輯體系。前文已經(jīng)指出，1與-1的交集（合取）為?（空），1與-1的并集（析取）為0（無）。哲學(xué)上的說法是，0（無）表示1（陽）與-1（陰）的統(tǒng)一，?（空）表示1（陽）與-1（陰）的對立。這也就證明，陰陽矛盾的存在是以空無矛盾的存在為先決條件的。陰陽只有與空和無相結(jié)合才能成為一個統(tǒng)一的邏輯整體。

顯然，鑒于二元集合{?，0}、四元集合{?，0，1，-1}在邏輯上的完備性，可以證明三元集合{1，0，-1}在邏輯上是不完備的。但是，由于三元集合{1，0，-1}克服了陰陽二元集合{1，-1}的非此即彼的斗爭性，使陰陽（一分為二）實現(xiàn)了中和與統(tǒng)一（合二為一），從而“以對立的統(tǒng)一來補充對立的斗爭”，其中包含一種“執(zhí)兩用中”的方法，于是得到有些學(xué)者的推崇，并被命名為“一分為三”論。［12］5但是，正如黑格爾“辯證法的三段式:正、反、合”在邏輯上是不完備的，“一分為三”論在邏輯上同樣也是不完備的。

需說明的是，建立在{0，1}基礎(chǔ)上的布爾代數(shù)（其補運算須規(guī)定=1=0）是太極代數(shù)的子代數(shù)，太極代數(shù)中的邏輯變量是邏輯向量。凡是布爾代數(shù)能解決的邏輯問題太極代數(shù)也都能解決。［4］布爾代數(shù)是經(jīng)典的、實用的邏輯代數(shù)，適合于西方的有無矛盾觀。太極代數(shù)是根據(jù)太極陰陽思想新發(fā)現(xiàn)的一種邏輯代數(shù)，是關(guān)于空、無、陰、陽的四元數(shù)理邏輯。

由此可見，與布爾代數(shù)偏于數(shù)理不同，太極代數(shù)是富有哲理的邏輯代數(shù)系統(tǒng)。在太極陰陽思想中，有和無并不是矛盾關(guān)系，有和空也不是矛盾關(guān)系。有或存在是分陰分陽的，無是包含空的?？諢o矛盾是先天的，陰陽是后天的。

上述已經(jīng)證明，在沒有陰陽參與的絕對情形下，空和無自成一完備的邏輯體系。而且，不難發(fā)現(xiàn)，空和無的絕對世界是一個真正自相矛盾的世界。因為，一方面空和無是相反的，二者構(gòu)成一對邏輯矛盾;另一方面，空集是任何集合的子集，空或空集必然是無或絕對全集的子集。就是說，無中包含自身的對立面——空。這就從邏輯上——同時也是在絕對的意義上——證明了在最為平凡的、沒有任何實在內(nèi)容的空無之鄉(xiāng)里也包含自相矛盾。這就注定了任何事物從一開始就有走向其對立面的可能性乃至必然性。黑格爾說:“人具有兩種特性:有生也有死。但對這事的真正看法應(yīng)該是，生命本身即具有死亡的種子。凡有限之物都是自相矛盾的，并且由于自身矛盾而自己揚棄自己。”［13］177太極代數(shù)證明，對于空和無這樣絕對的無限之物也同樣是自相矛盾的，而這一點單靠哲學(xué)思辨是難以證明的。這就說明，邏輯證明的力量強于哲學(xué)的雄辯。

六 結(jié)語

哲學(xué)家（比如，黑格爾）不可能為語言學(xué)提供適合的邏輯工具，甚至也不一定能從數(shù)理邏輯學(xué)家（比如，布爾）那里現(xiàn)成地拿來，而必須靠語言學(xué)家結(jié)合語言實際發(fā)現(xiàn)語言的內(nèi)在結(jié)構(gòu)并尋求更為適用的邏輯工具。人類的語言系統(tǒng)是一個無所不包的現(xiàn)象世界，因此，成為語言學(xué)適用的邏輯工具需具備以下三個條件:一是普適性，二是表意性，三是可計算性。

太極代數(shù)正是我們要尋找的最適合分析語言的邏輯代數(shù)工具，筆者已有專文初步探討了太極代數(shù)作為邏輯工具在語言研究中的普遍適用性。［6］第一，太極代數(shù)的全集（0）是絕對全集，它是無所不包的最大的論域。只有這樣的一個巨大無比的無限論域才能包容語言中的大千世界。第二，太極代數(shù)中包含所有的邏輯矛盾。沒有太極代數(shù)不能表現(xiàn)的邏輯矛盾。第三，太極代數(shù)中的邏輯變量是無可窮盡的，語言中的任意一個意義都能成為太極代數(shù)中的邏輯變量。第四，太極代數(shù)是數(shù)理與哲理高度統(tǒng)一的邏輯代數(shù)系統(tǒng)。其本身就是人類語言和認(rèn)知高度發(fā)展的必然產(chǎn)物。

［1］定州漢墓竹簡《論語》［M］.北京:文物出版社，1997.

［2］K.波普.什么是辯證法?［M］//外國哲學(xué)資料:第六輯.北京:商務(wù)印書館，1982.

［3］恩格斯.反杜林論［M］//馬克思恩格斯選集:第三卷.北京:人民出版社，1976.

［4］王俊龍.論太極代數(shù)及其辯證內(nèi)涵［J］.湖南師范大學(xué)社會科學(xué)學(xué)報，2009（3）:43-47.

［5］王俊龍.整全性:邏輯新論——以中西思想交叉結(jié)合的三條思路為線索［J］.河南大學(xué)學(xué)報，2011（1）:79-88.

［6］王俊龍.超越約定俗成:語言中的數(shù)理邏輯問題新探［J］.山西大學(xué)學(xué)報，2013（2）:63-70.

［7］汪芳庭.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京:科學(xué)出版社，2001.

［8］王俊龍.人體形態(tài)邏輯:生物邏輯學(xué)研究［J］.湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2012（2）:76-81.

［9］潘雨廷先生談話錄［M］.張文江，記述.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2012.

［10］恩格斯.自然辯證法［M］.曹葆華，于光遠，謝 寧，譯.北京:人民出版社，1955.

［11］王俊龍.論八卦是八個邏輯范式［J］.周易研究，2012（3）:90-96.

［12］龐 樸.一分為三論·自序［M］.上海:上海古籍出版社，2003.

［13］黑格爾.小邏輯［M］.賀 麟，譯.北京:商務(wù)印書館，1980.