洪帥

【摘 要】在季節(jié)凍土地區(qū)，路基土體會發(fā)生凍脹變形，給寒區(qū)工程造成不良的凍害。因此，對土體凍脹變形的數(shù)值模擬顯得尤為重要。而目前采用的數(shù)值模擬方法眾多，筆者根據(jù)土體的凍脹原理與材料的熱脹冷縮性質(zhì)，應(yīng)用彈性力學(xué)里求解溫度應(yīng)力的知識推導(dǎo)土體凍脹率η與熱膨脹系數(shù)α的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并應(yīng)用有限元軟件ANSYS中的結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力模塊對此進行驗證，計算結(jié)果表明二者關(guān)系式是可靠的。給寒區(qū)工程路基土體凍脹變形的數(shù)值模擬提供了一個直接簡便的媒介，可以較好的模擬路基土體凍脹變形。

【關(guān)鍵詞】凍土；凍脹率；熱膨脹系數(shù)；數(shù)值模擬

1.材料的熱脹冷縮與土體的凍脹

眾所周知材料具有熱脹冷縮的性能，在溫度發(fā)生變化的情況下其體積也會隨之發(fā)生改變，產(chǎn)生熱應(yīng)變。在材料的熱應(yīng)變受到約束時不能自由發(fā)展就會產(chǎn)生熱應(yīng)力。而凍土的凍脹變形和材料的熱應(yīng)變有著類似的性質(zhì)，溫度降低的時候，由于水分遷移和原位水的凍結(jié)而產(chǎn)生體積膨脹，進而發(fā)生凍結(jié)應(yīng)變，當凍結(jié)產(chǎn)生的應(yīng)變受到約束時便會產(chǎn)生凍脹力[1，2]。只是凍脹應(yīng)變與材料本身的熱脹冷縮應(yīng)變趨勢相反，在季節(jié)凍土區(qū)，隨著溫度的降低，土體與周圍的水發(fā)生熱交換，當土體的溫度達到土中水的凍結(jié)溫度時，就會產(chǎn)生凍結(jié)。伴隨著孔隙水和遷移水分的結(jié)晶成冰，引起土體體積的增大而發(fā)生膨脹[3]。由于冰透鏡的形狀，進而其體積膨脹一般是各向異性的，不過就目前研究階段，我們假設(shè)凍脹的分布是各向同性的。則相應(yīng)的增量形式可以由下式給出：

式中dε是dt時間內(nèi)由凍脹引起的體積膨脹應(yīng)變。凍土中的凍脹由兩部分組成，一部分是由于原位水凍結(jié)而引起的體積膨脹，一部分是由于遷移水凍結(jié)而引起的體積膨脹，兩部分的體積膨脹可以用下式表示：

式中：dw——dt時間內(nèi)凍土內(nèi)未凍水含量的減少量。

dwq——dt時間內(nèi)遷移到凍土內(nèi)并凍結(jié)的遷移量。

溫度應(yīng)力和凍脹力雖然是兩種不同形式的應(yīng)力，各自的機理也不盡相同，但是這兩種應(yīng)力下，均會造成材料結(jié)構(gòu)體積發(fā)生膨脹，本文考慮應(yīng)用這一共性，建立起熱膨脹系數(shù)α和凍脹率η之間的關(guān)系，應(yīng)用ANSYS中結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力模塊模擬土體凍脹。

2.土體凍脹變形時凍脹率與膨脹系數(shù)關(guān)系

筆者對土體的凍脹模擬采用將土體的凍脹率η用土體負的熱膨脹系數(shù)α來表示，按結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力的計算方法來進行凍脹模擬，進而研究由凍脹而引起路基變形。

在彈性力學(xué)里，按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題，即根據(jù)彈性體內(nèi)的已知變溫來決定體內(nèi)的溫度應(yīng)力，首先要推導(dǎo)出熱彈性力學(xué)的基本方程和邊界條件。

令彈性體內(nèi)個點的變溫為△T，即后一瞬時的溫度減去前一瞬時的溫度，以升溫時為正，降溫時為負。由于變溫T，如果不受約束，將發(fā)生線應(yīng)變a△T，其中a是彈性體的線脹系數(shù)，它的量綱是。在各向同性體中，系數(shù)a不隨方向而變，所以這種線應(yīng)變在所有的各個方向都相同，因而就不伴隨著任何切應(yīng)變（否則溫度應(yīng)力將成為非線性問題）。這樣，彈性體內(nèi)各點的形變分量為：

由于彈性體所受的外在約束以及體內(nèi)各部分約束，上述的變形并不能自由發(fā)生，于是就產(chǎn)生了應(yīng)力，即所謂的溫度應(yīng)力。這個溫度應(yīng)力又將由于物體的彈性而引起附加的變形，如胡克定律所示。因此連同（2.1）的形變，總的變形分量為：

現(xiàn)在假定如圖2.1所示的長方體模型及坐標系中，沒有體力和面力作用，但是有變溫的作用，而這個變溫也只是平面坐標X和Y的函數(shù)，不隨空間坐標Z而變化，根據(jù)平面應(yīng)力及平面應(yīng)變問題和幾何方程—剛體位移的論證，可知這里屬于平面應(yīng)變問題，因而有：由（2.2）式得出如下的物理方程：

上面為針對溫度應(yīng)力的平面應(yīng)力問題而推導(dǎo)出來的方程，適用于溫度應(yīng)力的平面應(yīng)變問題。在溫度應(yīng)力的平面應(yīng)變問題中，除了σ、σ、τ 外，還有一個應(yīng)力分量σz。令（2.2）式中ε=0，就可以得到這個應(yīng)力分量：

筆者考慮在平面坐標系下進行分析，因此路基模型采用平面有限元模型，土體兩側(cè)及底面均有約束。其具體約束示意圖如圖2.2

邊界條件為：ε=0，ε=0，σ=0

將ε帶入到（2.3）式中第一式，σ=0帶入到（2.3）式中第二式可得：

進而可得εy與熱膨脹系數(shù)a的關(guān)系，其中的εy就是本文計算中的凍脹率η。并認為凍土中未凍水含量僅是溫度的函數(shù)，冰水相變只發(fā)生在一個很小溫度范圍內(nèi)[0，-1]，由于不同土體的相變區(qū)是不同的，本文僅考慮在這個很小的溫度范圍內(nèi)，土體冰水相變已經(jīng)完成情況下對應(yīng)的相變溫度，取該時刻的相變溫度T=-1℃，這樣溫度變化范圍 △T=1℃，經(jīng)計算η和a兩者的具體關(guān)系如下：

3.應(yīng)用ANSYS驗證二者之間關(guān)系

為了驗證上述公式（2.6）的正確性及適用性，利用ANSYS軟件進行數(shù)值模擬。假設(shè)未凍土體、凍土體為均質(zhì)、各向同性材料，模型簡化為平面應(yīng)變問題；假設(shè)土體的導(dǎo)熱系數(shù)不隨溫度的變化而變化；僅考慮土體凍結(jié)過程中土骨架和介質(zhì)水的熱傳導(dǎo)及冰水的相變作用，忽略凍結(jié)過程中熱對流、質(zhì)量遷移、水分遷移等，并認為凍土中未凍水含量僅是溫度的函數(shù)，冰水相變只發(fā)生在一個很小溫度范圍內(nèi)；土體采用開爾文流變模型并僅在重力和凍脹力作用下發(fā)生變形。具體驗證步驟如下：（下轉(zhuǎn)第279頁）

（上接第230頁）（1）建立尺寸為1×1正方形平面模型。

（2）選擇單元為42號單元，確定材料的屬性彈性模量E=3.6mPa，泊松比μ=0.3，參考溫度為0℃，熱膨脹系數(shù)α=-0.0016。

（3）假設(shè)溫度降低1℃，對整個面域施加溫度荷載。

（4）求解凍脹率η大小，并與理論計算值進行比較。

二者的計算結(jié)果如下：

本文推導(dǎo)公式（2.6）計算出的理論值：

應(yīng)用ANSYS模擬出的數(shù)值解：η=0.00297（見圖3ANSYS數(shù)值模擬結(jié)果）。

圖 3 ANSYS數(shù)值模擬結(jié)果圖

二者結(jié)果是相符合的，驗證了公式（2.6）的正確性。

4.結(jié)語

本文應(yīng)用彈性力學(xué)里按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題的思想，推導(dǎo)了土體的凍脹率η與土體熱膨脹系數(shù)α之間的關(guān)系式，進而按照結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力的方法模擬土體的凍脹變形思想，利用ANSYS驗證了二者關(guān)系。為簡化模擬路基土體凍脹的變形提供了一個良好的媒介。

【參考文獻】

[1]周幼吾，邱國慶，程國棟，郭東信.中國凍土.（第一版）[M].科學(xué)出版社，2000，8：1-2.

[2]H.A.崔托維奇張長慶，朱元林譯.凍土力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，1985，1.

[3]鄭秀清，樊貴盛，邢述彥.水分在季節(jié)性非飽和凍融土壤中的運動[M].北京：地質(zhì)出版社，2002，9.