李慧瑩，陳良驥

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，河南 鄭州 450015）

0 引 言

一直以來，平面與曲面間求解交線的問題都是計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造（computer-aided design/manufac?turing，CAD/CAM）編程領(lǐng)域中最普遍的工程問題。在曲面造型與裁剪、加工刀具軌跡計(jì)算、加工幾何圖形驗(yàn)證等實(shí)際應(yīng)用中，常常需要對平面與曲面進(jìn)行求交運(yùn)算［1-3］。國內(nèi)外在求交計(jì)算方面做了大量的研究，大致包括牛頓迭代法［4］、曲面離散法［5-6］、區(qū)間算術(shù)法［7］、光線跟蹤法［8-9］以及近年來出現(xiàn)的等值線法［10］、三角網(wǎng)格方法［11-12］等。牛頓迭代法通常是在給定初值后將求交問題轉(zhuǎn)化為求線性方程組或常微分方程解的問題，但收斂與否以及收斂的速度與迭代初值的選取有很大關(guān)系。曲面離散算法是用小平面片近似逼近曲面的一種幾何求交算法，有較高的可靠性，但缺點(diǎn)是運(yùn)算量較大、效率低、精度低。區(qū)間算術(shù)法的提出則只是為了解決直線與隱曲面求交的問題。

鑒于以上各種求交算法各自的缺點(diǎn)，本研究將首先提出一種四邊形參數(shù)曲面片模型，在此基礎(chǔ)上可將平面與自由曲面的求交問題簡化為直線段與平面的位置關(guān)系問題。與現(xiàn)行常見的求交方法相比，本研究算法的特點(diǎn)是計(jì)算穩(wěn)定可靠、精度高而且具有較強(qiáng)的普適性。

1 自由曲面的NURBS表示

一張笛卡爾空間自由曲面可表示為如下非均勻有理B樣條形式［13-14］:

式中:Pi,j—三維控制點(diǎn)；wi,j—Pi,j對應(yīng)權(quán)重；（n+1）,（m+1）—u向和v向控制點(diǎn)的數(shù)目；Ni,p(u)，Nj,q(v)—沿u向的p次和v向的q次B樣條基函數(shù)。

由自由曲面的NURBS定義可知，一張自由曲面對應(yīng)于參數(shù)平面內(nèi)一正方形區(qū)域｛（u,v）|0≤u≤1，0≤v≤1｝，笛卡爾空間與參數(shù)空間的映射關(guān)系如圖1所示。

圖1 笛卡爾空間與參數(shù)空間的映射關(guān)系

2 空間點(diǎn)、線與平面的關(guān)系

2.1 空間點(diǎn)V與平面的關(guān)系

已知平面單位法矢為｛A，B，C｝、平面常數(shù)為D，平面與曲面相交如圖2所示。平面為所有點(diǎn)V=（x，y，z）的集合｛V|F（V）=F（x，y，z）=Ax+By+Cz+D=0｝。該平面將空間分為3個部分，即｛V|F（V）＜0｝、｛V|F（V）=0｝和｛V|F（V）＞0｝。因此，空間任一點(diǎn)V與平面有如下關(guān)系:若點(diǎn)V在平面上，則F（V）=0；反之，若V使得F（V）≠0，則V定不在平面上。

圖2 平面與曲面相交

2.2 空間線段V1V2與平面的關(guān)系

空間線段V1V2與平面的關(guān)系可由線段兩個端點(diǎn)V1和V2分別與平面的關(guān)系來確定。具體位置關(guān)系可以有以下4種情形:①若V1和V2分布在平面相同一側(cè)，則線段V1V2與平面不相交，此時F(V1)、F(V2)皆非零且具有相同的符號；②若V1和V2分布在平面相異一側(cè)，則線段V1V2與平面交于一點(diǎn)，此時F(V1)、F(V2)皆非零且具有相異的符號；③若V1（或V2）在平面上而V2（或V1）不在平面上，則線段與平面交于V1（或V2）；④若V1和V2都在平面上，則線段位于平面上。

將以上線段與平面之間的關(guān)系歸納如下:

3 四邊形參數(shù)面片

如圖1所示，位于笛卡爾空間的曲面的每個空間四邊形都對應(yīng)于參數(shù)平面內(nèi)的一個小長方形。四邊形參數(shù)面片模型如圖3所示，本研究將每個長方形分別按照一定順序標(biāo)記出4個角點(diǎn)（1、2、3、4）和4條邊（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ），并定義這樣的長方形為四邊形參數(shù)面片。參數(shù)平面內(nèi)，平面與曲面交線的參數(shù)變化曲線v=f(u)，如圖4所示。本研究用前一小節(jié)中介紹的兩種關(guān)系可以判定出各個空間四邊形每個邊與平面的關(guān)系，進(jìn)而可以判斷出四邊形參數(shù)面片與v=f(u)的位置關(guān)系。曲面所有四邊形參數(shù)面片與v=f(u)間的位置關(guān)系分別會有如圖3所示的a、b、c、d、e、f、g等7種狀態(tài)。

圖3 四邊形參數(shù)面片模型

本研究對這7種狀態(tài)分別做如下定義:①空間四邊形的每個邊均在平面的相同一側(cè)為a態(tài)；②空間四邊形的僅有一個頂點(diǎn)在平面上為b態(tài)；③空間四邊形的兩個相鄰邊與平面相交為c態(tài)；④空間四邊形的一個頂點(diǎn)在平面上、一條邊與平面相交為d態(tài)；⑤空間四邊形的兩個對邊與平面相交為e態(tài)；⑥空間四邊形的兩個對角頂點(diǎn)在平面上為f態(tài)；⑦空間四邊形的某邊位于平面上時為g態(tài)。

4 交線鏈表生成

對圖1中的每個小四邊形，順次計(jì)算各角點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用前面所介紹的兩種關(guān)系和幾種狀態(tài)的定義方法，可以得到如圖4所示的一張狀態(tài)表。

圖4 參數(shù)變化曲線與狀態(tài)表

求交線的過程為:①建立一張空的四邊形面片結(jié)構(gòu)的鏈表并對照狀態(tài)表將所有處于非a態(tài)和非b態(tài)的四邊形按一定順序（如從下到上順次取出每一行、對取出的每行按從左至右順次取出每個四邊形）存入該鏈表中，得到一張初始鏈表；②對初始鏈表中所有處于非f態(tài)以及非g態(tài)的各結(jié)點(diǎn)（小四邊形）按同樣的方法再進(jìn)行細(xì)分，并將細(xì)分后得到的所有非a態(tài)和非b態(tài)的四邊形按與前面相同的順序插入該鏈表中，得到一張新鏈表；③重復(fù)第②步的操作直到鏈表中所有的結(jié)點(diǎn)狀態(tài)都為f態(tài)和g態(tài)為止。最后得到的四邊形鏈表能很好地逼近交線且交線必然位于平面內(nèi)，稱該鏈表為交線鏈表。以圖4表示的狀態(tài)表來說明該計(jì)算過程，求交線鏈表的過程如圖5所示。

圖5 求交線鏈表的過程

將交線鏈表中各四邊形位于平面內(nèi)的角點(diǎn)作為型值點(diǎn)，用NURBS樣條進(jìn)行擬合，即可得到平面與自由曲面的交線。

5 實(shí)例計(jì)算

本節(jié)將以一張雙三次NURBS曲面為例對所提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證。該曲面由16個控制點(diǎn)形成，各控制點(diǎn)權(quán)重取為1。為說明問題，先找出曲面上已知的3個點(diǎn)P、P1和P2，通過這三點(diǎn)確定一個平面，求這個平面與自由曲面的交線。

取P=S(0.5,0.5)=[30,67.5,45]T，P1=S(0.15,0.35)=[9,34.528 3,31.5]T，P2=S(0.85,0.65)=[51,34.321 7,58.5]T，經(jīng)計(jì)算，由點(diǎn)P、P1和P2所確定的平面方程各系數(shù)分別為:A＝0.540 757 6，B＝0.0，C＝-0.841 178 5，D＝21.630 304。利用VC++和OpenGL在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)了本研究所提出的求交算法，從初始鏈表開始，對鏈表中每個四邊形分別進(jìn)行10×10細(xì)分，共經(jīng)過6層細(xì)分可以得到圖5中的交線鏈表，對其進(jìn)行曲線擬合，求得的平面與自由曲面的交線如圖6所示。

圖6 平面與自由曲面的交線

以下通過求直線與交線的交點(diǎn)來進(jìn)一步驗(yàn)證算法的精確性。理論上，P1、P2應(yīng)該在交線上，但實(shí)際計(jì)算平面內(nèi)直線P1P2與交線的交點(diǎn)時采用將曲線變折線段的方式進(jìn)行，因而只能得到它們的近似值和，求得的和分別為:

與P1和P2的距離誤差分別為:

6 結(jié)束語

本研究所提出的平面與自由曲面求交線方法的思路是:根據(jù)笛卡爾空間與參數(shù)平面之間的映射關(guān)系，將空間四邊形與平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為參數(shù)平面內(nèi)四邊形與交線參數(shù)變化曲線間的關(guān)系，進(jìn)而求得交線。最后，本研究結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了計(jì)算，研究結(jié)果表明，求得的交線能夠與理論交線精確符合，完全可以在幾何造型、曲面裁剪以及五軸編程刀位計(jì)算等諸多方面得到實(shí)際應(yīng)用。

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