朱海峰，祝長生

（浙江大學 電氣工程學院，浙江 杭州 310027）

0 引 言

電機運行時，電機中存在基波磁場和一系列的諧波磁場，這些磁場相互作用，不僅會產(chǎn)生切向的電磁力矩，還會產(chǎn)生隨時間和空間變化的徑向力［1］，電機正常運行的情況下，徑向力的合力是很小的，但是當電機出現(xiàn)偏心時，會產(chǎn)生顯著的低階單邊磁拉力。此時，不僅電機的振動和噪聲會增大，嚴重時還會使電機的定、轉(zhuǎn)子發(fā)生摩擦，縮短電機的使用壽命。電機電磁力計算一般采用近似解析法和數(shù)值分析法。近似解析法起源于上世紀40年代，該方法利用氣隙磁導和磁勢來計算氣隙磁場產(chǎn)生的電磁力［2-3］。數(shù)值分析法是隨著計算電磁學和計算機的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的方法。由于這種方法能夠考慮的因素較多，隨著各種商用電磁場分析軟件的普及應用和計算機性能的提高，目前電機電磁特性分析中大多數(shù)采用數(shù)值分析法來計算電磁力。吳正德等［4］運用有限元法計算出異步電機的傳遞函數(shù)，在通過傳遞函數(shù)計算電磁力，Ten?hunen等［5］討論了在不同偏心率下，將異步電機的磁導視作線性的準確性，Pedro［6］和Dorrel［7］用有限元法計算了異步電機轉(zhuǎn)子偏心時氣隙磁場分布情況。

幅值較大的低階徑向力是引起電磁噪聲的主要根源，當徑向力的力波階次及頻率與電機某階模態(tài)的階次和頻率相等時，發(fā)生諧振，電機的振動和噪聲會顯著增加［8］。因此為了研究降低電機的振動和噪聲就必須同時弄清徑向力波的頻率、階次和幅值，采用傳統(tǒng)的解析算法可以準確地得到電磁力的階次與頻率，且計算快速，能夠直觀地反映電磁力與電機的結(jié)構(gòu)和電磁參數(shù)間的關(guān)系；有限元算法能夠考慮飽和、非線性等因素的影響，計算結(jié)果更加準確。

本研究采用近似解析算法和有限元法相結(jié)合，首先用近似解析法確定出異步電機在靜偏心時徑向力的主要頻率和階次，然后用有限元法校核徑向力的頻率和階次，并定量地確定出徑向力的大小。

1 理論分析

1.1 氣隙磁場的建立

異步電機徑向力的解析算法就是利用氣隙磁導和磁勢來計算氣隙磁場產(chǎn)生的電磁力，當考慮齒槽和轉(zhuǎn)子靜偏心時，異步電機的定、轉(zhuǎn)子建立的氣隙磁場過程如圖1所示［9］。當在定子三相對稱繞組中通以三相對稱電流時，定子繞組中的電流建立穿過氣隙的磁壓降（該磁壓降包含基波分量和一系列由于定子繞組在空間上的非正弦分布導致的空間諧波分量），該磁壓降與氣隙磁導（包含常數(shù)項和由定、轉(zhuǎn)子齒槽及偏心帶來的諧波分量）相互作用，產(chǎn)生定子磁場部分。定子磁場在轉(zhuǎn)子導條上感生電流，形成轉(zhuǎn)子磁壓降，轉(zhuǎn)子磁壓降與氣隙磁導相互作用產(chǎn)生轉(zhuǎn)子磁場部分，轉(zhuǎn)子磁場同樣會在定子繞組上感生出電流。通過這種相互作用形成了氣隙磁場的各個組成部分。

圖1 氣隙磁場形成示意圖

1.2 定、轉(zhuǎn)子繞組磁勢

定子繞組三相對稱分布的異步電機運行時，定、轉(zhuǎn)子繞組的合成磁勢為:

式中:f0—基波磁勢，fν—定子諧波磁勢，fμ—轉(zhuǎn)子諧波磁勢，ν—定子諧波次數(shù)，μ—轉(zhuǎn)子諧波次數(shù)。

電機在空載時可僅考慮其齒諧波的作用，因此定、轉(zhuǎn)子諧波次數(shù)可寫作:

式中:p—電機極對數(shù)；Z2—轉(zhuǎn)子槽數(shù)；k1，k2—非零整數(shù)。

式（1）中，各磁勢均為時間和空間的變量，具體表示為:

式中:F0—基波磁勢幅值；Fν—定子諧波磁勢幅值；Fμ—轉(zhuǎn)子諧波磁勢幅值；ω1—基波旋轉(zhuǎn)角速度；ωμ—轉(zhuǎn)子μ次諧波相對于定子的角速度；φ0，φ1，φ2—相位角。

1.3 靜偏心時的氣隙磁導

當轉(zhuǎn)子不存在偏心時，考慮定、轉(zhuǎn)子開槽帶來的齒槽效應，氣隙的磁導可近似表示為:

式中:第一項—為氣隙磁導的不變部分，第二項—轉(zhuǎn)子光滑而定子開槽引起的氣隙諧波磁導，第三項—定子光滑而轉(zhuǎn)子開槽引起的氣隙諧波磁導，最后一項—定子和轉(zhuǎn)子均開槽相互作用引起的氣隙諧波磁導。

由于最后一項值較小，可以不考慮則不存在偏心時，考慮定、轉(zhuǎn)子齒槽效應的氣隙磁導為:

當轉(zhuǎn)子與定子間出現(xiàn)靜偏心時，會導致氣隙分布的不均勻，此時氣隙大小的表達式為:

式中:δ0—均勻氣隙，δε—靜偏心值。

此時氣隙的磁導為:

式中:ε—相對偏心率，ε=δε/δ0。

將式（7）進行傅里葉展開，在分解項中僅保留第一項，則得到轉(zhuǎn)子靜偏心時氣隙磁導為:

1.4 轉(zhuǎn)子靜偏心時的氣隙磁場及激振力

當轉(zhuǎn)子靜偏心時，氣隙磁場為:

式中:前三項—異步電機正常運行時的氣隙磁場，后三項—異步電機轉(zhuǎn)子靜偏心時所產(chǎn)生的附加磁場。

當異步電機出現(xiàn)轉(zhuǎn)子靜偏心時會在氣隙中引起新的階次而頻率與正常運行時相同的附加磁場，且附加磁場的幅值正比于相對偏心率的一半。

由電機氣隙產(chǎn)生并作用于定子鐵芯內(nèi)表面單位面積上徑向電磁力的數(shù)值和分布，按麥克斯韋定律，正比于磁通密度的平方，可按下式確定:

式中:μ0—空氣的磁導率，由于振動階數(shù)較低、幅值較大的力波對電機的振動和噪聲起主要作用，而恒定分量不產(chǎn)生振動和噪聲，因此本研究將式（9）代入式（10），并略去恒定分量以及振動階數(shù)較高、幅值較小的力波分量，可得異步電機轉(zhuǎn)子靜偏心時徑向電磁力的表達式為:

由式（11）可知，由轉(zhuǎn)子靜偏心所產(chǎn)生的p±1次附加磁場與基波磁場相互作用，可能產(chǎn)生一階的低頻徑向力:

該力的頻率為:

即當轉(zhuǎn)子靜偏心時，該力的頻率可能為零。

2 有限元分析及計算

在用ANSYS進行異步電機的磁場分析后，各氣隙單元的磁通密度為已知，本研究采用麥克斯韋應力張量法（Maxwell Stress Tensor），可以計算作用在電機定子內(nèi)表面的切向力密度pt和徑向力密度pn分別為［10］:

在進行異步電動機有限元電磁場分析時，研究者需對模型的邊界條件進行假設，以簡化計算。本研究所采用的基本假設為:①忽略異步電動機的端部效應，即電機沿軸向的磁場沒有變化，將電機的三維電磁場簡化為二維電磁場；②電機定子以外的空間不存在磁場；③電機材料為各向同性；④忽略位移電流；⑤定子通入三相對稱交流電。

本研究仿真所用異步電機的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為:電機極數(shù)2p=4，定子槽數(shù)Z1=36，轉(zhuǎn)子槽數(shù)Z2=32。定子外徑210 mm，定子內(nèi)徑136 mm，轉(zhuǎn)子外徑134 mm，轉(zhuǎn)子內(nèi)徑48 mm，相對偏心率10%。

有限元計算的二維求解域及其網(wǎng)格劃分如圖2所示。

圖2 異步電機二維求解域及其網(wǎng)格劃分

為了考慮轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)和沿周向均勻獲取磁密值，筆者將氣隙分為3個部分進行剖分，氣隙剖分示意圖如圖3所示。內(nèi)層氣隙和外層氣隙為自由剖分，內(nèi)層氣隙用于在添加轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時予以刪除和重建；中間氣隙為固定剖分，沿周向分為720等份，以得到氣隙中線上的磁密值。

本研究采用時步法計算，得到某時刻異步電動機沒有靜偏心和有靜偏心的磁力線圖4所示。

圖3 氣隙剖分示意圖

圖4 電機磁力線分布

由圖4比較可知，當電機不存在靜偏心時，其磁力線的分布是對稱的，而當靜偏心存在時磁力線會向氣隙小的那一端集中，磁力線分布更加密集。

根據(jù)式（6），電機轉(zhuǎn)子在10%靜偏心時氣隙長度隨空間角度的變化如圖5所示。

圖5 電機氣隙隨空間角度的變化

從圖5可以看出在（0，90）和（270，360）機械角度內(nèi)出現(xiàn)靜偏心的電機氣隙小于正常運行時電機的氣隙長度，在這些地方氣隙磁導大于正常運行電機的磁導，同樣的磁勢產(chǎn)生的磁密也更大。正常運行及靜偏心時氣隙磁密如圖6所示。

圖6 正常運行及靜偏心時氣隙磁密

由麥克斯韋應力張量法計算異步電動機正常運行及轉(zhuǎn)子靜偏心運行時沿周向空間分布的徑向電磁力和它們的頻譜分析如圖7所示。

圖7 徑向力沿周向分布及其FFT

從電機在正常狀態(tài)下運行和處于靜偏心狀態(tài)下運行的徑向電磁力比較可知，在靜偏心時在氣隙較小處的徑向電磁力明顯大于氣隙較大處的徑向力，這將引起電機的單邊磁拉力，且磁拉力的方向沿著使偏心增大的方向，從而進一步使電機的偏心程度增加，影響電機的性能，甚至導致電機出現(xiàn)轉(zhuǎn)子與定子之間的碰磨故障。從靜偏心時電磁力的空間頻譜可以看出，除了電機正常運行時的力波階次外，還額外產(chǎn)生了±1次的力波，主要的力波階次如表2所示。

表2 主要徑向電磁力的階次分布

由理論分析可知，0階力波為負一階的定子齒諧波和正一階的轉(zhuǎn)子齒諧波磁場相互作用所產(chǎn)生；4階力波包含兩個分量:基波分量和正一階的定子齒諧波和正一階的轉(zhuǎn)子齒諧波相互作用產(chǎn)生的力波；8階力波由正一階的定子齒諧波和負一階的轉(zhuǎn)子齒諧波相互作用產(chǎn)生；32階力波為轉(zhuǎn)子一階齒諧波分量；36階力波為定子一階齒諧波分量。從圖7可以看出，定、轉(zhuǎn)子的齒諧波分量具有較大的幅值，但是由于其階數(shù)較高，故而對電機的振動和噪聲的影響并不大。

同樣，采用麥克斯韋應力張量法計算氣隙某一點徑向電磁力隨時間的變化如圖8所示。

圖8 徑向力隨時間變化及其FFT

從電機處于正常運行狀態(tài)和靜偏心運行狀態(tài)某點徑向力隨時間的變化情況可以看出，正常運行時變化周期為一個電源時間周期（0.02 s），靜偏心運行時變化周期為兩個電源時間周期（0.04 s），這是由于在正常運行時每對極下的氣隙分布情況相同，而靜偏心時氣隙以磁極中心線為對稱軸對稱分布，當忽略轉(zhuǎn)差，兩對極電機旋轉(zhuǎn)一周需要兩個電源時間周期。從它們的時間頻譜可以看出，靜偏心運行時電磁力并未產(chǎn)生新的頻率，這與理論的推導是一致的。

3 徑向電磁力的定量確定

通過以上分析可知，在異步電機的徑向電磁力中同一頻率但力波的階次可能不同，力波的頻率不同但階次有可能相同。異步電機的振動和噪聲既與徑向力波的頻率有關(guān)，也與其頻率相關(guān)。為了更好地確定異步電機在不同結(jié)構(gòu)和運行狀態(tài)下產(chǎn)生的力波對電機振動和噪聲的影響，同時確定出徑向力的幅值、階次和頻率是十分必要的。為了達到這一目標，本研究首先由式（11）確定出對異步電機電磁振動和噪聲影響較大的徑向力的階次和頻率如表3所示。

表3 靜偏心時主要徑向力的階次和頻率

在確定出異步電機徑向力的階次和頻率之后，需要借助二維的傅里葉分解方法對徑向電磁力的階次和頻率進行校核，并確定出徑向力的幅值。徑向電磁力波以空間角度φ和時間t為變量，其二維的傅里葉分解如下式所示:

式中:m，n—徑向電磁力的空間階次和時間頻率。

為了對徑向電磁力波進行二維傅里葉分解，就必須得到徑向電磁力隨時間和空間變化的二維矩陣，這通過ANSYS可以很容易地實現(xiàn)，然后用Matlab將得到的矩陣進行二維傅里葉分解，便可同時得到徑向力波的幅值、頻率及階次。以異步電動機在靜偏心穩(wěn)態(tài)運行為例，可得二維傅里葉分解的結(jié)果如圖9所示。

由圖9可知直流分量和基波分量在異步電機的徑向電磁力中占據(jù)主導作用，而直流分量對電機的振動和噪聲無影響，基波分量的振動階次低，可能會產(chǎn)生明顯的振動和噪聲。其他諧波分量雖然幅值較小，但有的基波分量階次低且頻率接近或者等于電機的固有頻率，也可能對電機的振動和噪聲產(chǎn)生明顯的影響。

圖9 電機徑向力二維FFT

結(jié)合由理論公式計算出的對異步電機振動和噪聲影響較大的電磁力波的階次和頻率以及由有限元計算出的電磁力波幅值，可以得到本研究所建電機在10%靜偏心下運行的主要激振力如表4所示。

表4 電機在10%靜偏心運行時的主要徑向力情況

由式（11）可知，由靜偏心引起的附加力波幅值應與偏心量成正比，與表4結(jié)果一致。

4 結(jié)束語

本研究運用理論分析和有限元計算相結(jié)合的方式計算異步電機靜偏心時的徑向力分布，首先通過理論分析得到主要的力波階次和頻率，然后通過有限元法校核并得到力波的幅值，得到的主要結(jié)論如下:

（1）異步電機靜偏心時會在原有力波基礎上產(chǎn)生新的階次而頻率相同的力波，其幅值正比于相對偏心率，新產(chǎn)生的力波階次較低，可能對振動產(chǎn)生較大影響。

（2）偏心后產(chǎn)生的單邊磁拉力會使偏心進一步加大，使電機運行情況惡化。

（3）通過理論計算可以得到對電機振動和噪聲影響較大的力波的階次和頻率，而通過有限元計算后對力波進行二維的傅里葉分解，可以得到對用階次和頻率力波的幅值，兩者的結(jié)合可以為減少電機的振動和噪聲提供理論上的依據(jù)。

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