申祝平 (郵編:710061)
題目 已知偶函數(shù)f(x)的定義域是(-2,2),且在[0,2)上為減函數(shù),f(m-1)>f(1-2m),求m的取值范圍.
評注 本題所包含的條件很多,由常規(guī)思路,則需按m-1,1-2m的正負性來分類討論,而其中所涉及的情形有四種.如此一來,不但過程復雜,運算也很繁冗.
如何避免討論,優(yōu)化運算,做到簡化解題過程?下面,我們利用偶函數(shù)的一個性質,給出一個“一網(wǎng)打盡”的解法:
簡潔解法 因為f(x)是偶函數(shù),
所以f(x)=f(-x)=f(|x|),f(m-1)=f(|m-1|),f(1-2m)=f(|1-2m|).
解答錯了!錯在哪里?
錯在 “簡潔解法”省略了“求出不等式組里各個不等式的解”的過程.這不是簡潔!是不完整.且因為“跳步”太快把答案弄錯了.
評注錯了!錯在哪里?
錯在 無端認定“由常規(guī)思路,則需……涉及的情形有四種.……不但過程復雜,運算也很繁冗”.
實際上,依題意,弄明白f(m-1)>f(1-2m)的三層意思:
(1)m-1在定義域內,
(2)1-2m在定義域內,
(3)|m-1|<|1-2m|,
根本不需要分四種情形討論!
下面是一個正確、完整而簡明的常規(guī)解答.
注意 解題首先要正確!其次,不要隨意貶低常規(guī)思路.
鄭 良 (郵編:234200)
以上解法為《2014優(yōu)化探究》(教師用書)第18面給出的.
解答錯了!錯在哪里?
(2)當x=0,ax+2-2a=0,解得a=1,此時b=0,此時f(x)=,符合題意.
黃海波 (郵編:230001)
解答錯了!錯在哪里?
則g(x)=x2-mx-3.當|m|≤2時f(x)在區(qū)間(a,b)上都為“凸函數(shù)”等價于當|m|≤2時g(x)=x2-mx-3<0恒成立.
故當且僅當a=-1,b=1時,b-a取到最大值2.