方進(jìn)明，張 虎，褚曉清

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

0 引言與預(yù)備

閉包算子及其閉包系統(tǒng)是經(jīng)典數(shù)學(xué)中諸多分支的研究對象，且可以描述計算機(jī)科學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象。從1980年代起，以Gerla及其合作者為代表的諸多學(xué)者在模糊集理論的框架下，對模糊閉包算子及其閉包系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛研究［1－3］。

受多值邏輯（或模糊邏輯）的影響，值格上邏輯結(jié)構(gòu)的介入成為格值閉包算子及其閉包系統(tǒng)研究的方向，如，2001年，Bělohlávek在文獻(xiàn)［4－5］中用完備剩余格上的邏輯結(jié)構(gòu)作為推理模型提出了一類所謂LK－閉包算子及LK－閉包系統(tǒng)的概念，其中此處的K是指定格L上的經(jīng)典序濾子（或濾子），借用序濾子這一工具，Bělohlávek亦在文獻(xiàn)［5］中對模糊Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象進(jìn)行了研究。又如，取K為指定格L，張德學(xué)在文獻(xiàn)［6］中引入了與他的強(qiáng)L－拓?fù)鋮f(xié)調(diào)的強(qiáng)L－閉包算子的概念；方進(jìn)明在文獻(xiàn)［7］中，在完備剩余格的環(huán)境下，提出了多值閉包系統(tǒng)的概念，并用范疇論方法界定了多值閉包系統(tǒng)與多值閉包算子的規(guī)律性聯(lián)系；姚衛(wèi)在文獻(xiàn)［8］中提出了更一般的模糊偏序集上的格值閉包算子理論。

縱觀上述研究工作，本文發(fā)現(xiàn)格值閉包算子的引入及其相關(guān)推理的多值置信化應(yīng)該成為新的研究方向。應(yīng)該說Bělohlávek在文獻(xiàn)［4］中引入的經(jīng)典序濾子（或濾子）已經(jīng)給了有益的提示。遺憾的是由于用來描述概念與推理的多值置信化的序濾子（或濾子）是背景格的經(jīng)典子集，這與多值邏輯結(jié)構(gòu)介入的出發(fā)點(diǎn)相悖，也導(dǎo)致概念和推理的多值置信化難以實現(xiàn)。

基于上述分析，本文提出多值置信濾子的概念，并把其作為閉包算子及其相關(guān)概念多值置信化的工具。然后提出基于多值置信濾子的K－置信閉包算子的概念，并給出等價刻畫。事實上，此類閉包算子與相關(guān)置信閉包系統(tǒng)仍然具有相互確定性。最后，本文提出了多值置信意義下的Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象及等價條件，結(jié)果表明多值置信濾子可以描述Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象。

通篇全文，L均表示完備剩余格，L中的最大元記為1，最小元記為0。下面2個引理在后續(xù)內(nèi)容中會常用到，證明參見文獻(xiàn)［4－5，7，9］。

1 多值置信濾子與多值置信閉包算子

考慮到與經(jīng)典置信濾子的不同，本文首先提出多值置信濾子的概念，作為閉包算子及其相關(guān)推理的工具。定義1 若映射K∶L→L滿足如下性質(zhì)：對任意a，b

∈L，（K1）K（1）＝1；（K2）a≤K（a）；（K3）K（a）k（B）≤K（ab）；（K4）當(dāng)a≤b時，有K（a）≤K（b）成立；則稱K是L上的多值置信濾子。

事實上，它仍是一種L－包含關(guān)系，稱為K－置信L－包含關(guān)系，也滿足引理2中的（6）～（10）。本文下文出現(xiàn)的“K”均指任意指定的完備剩余格L上的一個多值置信濾子，行文中不再特殊說明。在此背景下，我們可以引入一類新的閉包算子—K－置信閉包算子。

因此，C＝Cφ（C）成立。至此，充分性證畢。

2 多值置信Galois聯(lián)絡(luò)

上一節(jié)介紹多值置信濾子可以作為閉包算子多值置信化的工具，本節(jié)作者探究用此工具描述多值置信意義下的Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象，并進(jìn)一步證明這類Galois聯(lián)絡(luò)的等價刻畫條件。

3 結(jié)語

本文通過引入多值置信濾子這一基本工具，解決了格值閉包算子和格值Galois聯(lián)絡(luò)的多值置信化問題，從而有效地界定了置信閉包算子和置信Galois聯(lián)絡(luò)的概念。本文進(jìn)一步證明的置信閉包算子的刻畫定理使得從理論上認(rèn)清置信閉包算子的本質(zhì)，即其與置信閉包系統(tǒng)具有相互確定性。此外，置信Galois聯(lián)絡(luò)的引入及其刻畫條件的給出進(jìn)一步回答了多值置信濾子在解決傳統(tǒng)Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象的置信化問題中的重要作用。

［1］ Biacino L，Gerla G.Closure system and L－subalgebras［J］.Inform Sci，1984，33：181－195.

［2］ Biacino L，Gerla G.An extension principle for closure operators［J］.J Math Anal Appl，1996，198：1－24.

［3］ Gerla G.Graded consequence relations and fuzzy closure operators［J］.J Appl Non－Classical Logics，1996，6：369－379.

［4］ Bělohlávek R.Fuzzy Closure Operators［J］.J Math Anal Appl，2001，2622001：473－489.

［5］ Bělohlávek R.Fuzzy Galois Connections［J］.Math Logic Quart，1999，45（4）：497－504.

［6］ Zhang D.An enriched category approach to many valued topology［J］.Fuzzy Sets and Systems，2007，158：349－366.

［7］ Fang Jinming，Yue Yueli.L－fuzzy closure systems ［J］.Fuzzy Sets and Syetems，2010，1612010：1242－1252.

［8］ Yao Wei，Lu Lingxia.Fuzzy Galois connections on fuzzy poset［J］.Math Logic Quart，2009，55（1）：105－112.

［9］ Goguen J A.L－fuzzy sets［J］.J Math Anal Appl，1967，18：145－174.