高先龍, 陳 捷， 陳阿海

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

一維費(fèi)米原子系統(tǒng)中的拓?fù)涑骱蚆ajorana費(fèi)米子*

高先龍, 陳 捷， 陳阿海

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

通過數(shù)值求解Bogoliubov de Gennes方程，研究了具有自旋軌道耦合作用的一維費(fèi)米晶格系統(tǒng)的性質(zhì).結(jié)果表明:在有限的自旋軌道耦合下和一定的磁場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，系統(tǒng)具有零能,此時(shí)的準(zhǔn)粒子即為Majorana費(fèi)米子.準(zhǔn)無序效應(yīng)研究表明，Majorana費(fèi)米子不會(huì)被弱準(zhǔn)無序所破壞.

拓?fù)涑?；光晶格；Majorana費(fèi)米子;零能；準(zhǔn)無序

0 引 言

自1995年超冷原子的玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)實(shí)現(xiàn)以來,原子冷卻、捕獲和操縱的技術(shù)得到進(jìn)一步的發(fā)展.目前,實(shí)驗(yàn)人員利用光學(xué)晶格可以很“干凈”地模擬和仿真出凝聚態(tài)物理系統(tǒng)中的許多模型,例如強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的Hubbard模型[1]和無序體系中的Anderson模型等[2].如今,在冷原子實(shí)驗(yàn)中可以實(shí)現(xiàn)單原子分辨技術(shù),可以對(duì)幾乎全部實(shí)驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行大范圍調(diào)節(jié),可以人造規(guī)范場(chǎng),實(shí)現(xiàn)有效磁場(chǎng)[3]、自旋-軌道耦合等等[4].這些技術(shù)的發(fā)展也給理論工作者提出了更多的機(jī)遇和更大的挑戰(zhàn),由此引發(fā)了更深更廣的探索.本文的主要目的就是利用冷原子實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)的自旋軌道耦合效應(yīng),討論可能出現(xiàn)的拓?fù)涑骱蚆ajorana費(fèi)米子,以及其中的無序效應(yīng).在論述主要研究?jī)?nèi)容之前,先介紹一下拓?fù)涑?、Majorana費(fèi)米子、p-波超導(dǎo)及其研究背景.

隨著2005-2006年量子自旋霍爾效應(yīng)的理論預(yù)言[5]及隨后的實(shí)驗(yàn)觀察[6],一類能夠?qū)崿F(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)的量子拓?fù)鋺B(tài)——拓?fù)浣^緣體開始受到廣泛關(guān)注,并在理論與實(shí)驗(yàn)兩方面都取得了重要突破.拓?fù)浣^緣體從本質(zhì)上區(qū)別于任何已知的物態(tài),是一種新的量子物態(tài),擁有重要的科學(xué)意義.它的體元激發(fā)由于能隙的存在而沒有載流子運(yùn)動(dòng),屬于絕緣體,但在系統(tǒng)的邊緣處具有受拓?fù)浔Ｗo(hù)的無能隙邊緣激發(fā),導(dǎo)致載流子得以在樣品的邊界處傳導(dǎo).無能隙邊緣激發(fā)是具有非阿貝爾統(tǒng)計(jì)的任意子(anyons),類似于填充υ=5/2分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的Pfaffian態(tài).后者的產(chǎn)生需要外加磁場(chǎng),破壞了時(shí)間反演對(duì)稱性,而拓?fù)浣^緣體中的表面電子結(jié)構(gòu)源于體材料中非常強(qiáng)的自旋軌道耦合效應(yīng),受到時(shí)間反演對(duì)稱性的保護(hù),是一種拓?fù)湫驊B(tài).因而,它的表面態(tài)與表面的具體結(jié)構(gòu)無關(guān),完全是由材料的體電子態(tài)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所決定.拓?fù)鋺B(tài)的分類可由拓?fù)淞孔訑?shù)決定[7],其方式不同于Landau對(duì)稱破缺的范式.

具有非零拓?fù)鋽?shù)的邊界態(tài)的存在對(duì)有限體系來說是非常重要的[8].當(dāng)向拓?fù)湫驊B(tài)引入某種對(duì)稱性破缺時(shí),就有可能激發(fā)出新奇量子現(xiàn)象,并導(dǎo)致與之相關(guān)的量子器件的問世[9].2008年,Fu等[10]論證了拓?fù)浣^緣體和普通的s-波超導(dǎo)體的結(jié)合體,利用鄰近效應(yīng)(proximity effect)產(chǎn)生s-波超導(dǎo)配對(duì)電子,其界面電子的性質(zhì)類似于p-波超導(dǎo)體,因此也可以有Majorana 費(fèi)米子:一種反粒子就是它本身的粒子(由意大利物理學(xué)家Ettore Majorana于1937年提出).在此類體系中產(chǎn)生Majorana 費(fèi)米子的關(guān)鍵是拓?fù)浣^緣體表面態(tài)的強(qiáng)自旋軌道耦合作用,以及表面態(tài)處Kramer簡(jiǎn)并的破壞.也可進(jìn)一步把拓?fù)浣^緣體和磁性薄膜結(jié)合,如最近的實(shí)驗(yàn),在超導(dǎo)材料——NbSe2單晶表面,以分子束外延法生長(zhǎng)出拓?fù)浣^緣體薄膜——Bi2Se3,從而形成了Bi2Se3/NbSe2復(fù)合材料體系.此體系具有超導(dǎo)態(tài)與拓?fù)湫驊B(tài)共存的特點(diǎn),為探尋Majorana費(fèi)米子和進(jìn)一步調(diào)控拓?fù)浣^緣體的拓?fù)潆娮討B(tài)找到了重要的突破口[11-12].2000年,Read等[13]指出二維體系中無自旋的費(fèi)米子通過p-波超導(dǎo)耦合的低能激發(fā)(所謂Bogoliubov準(zhǔn)粒子)是Majorana費(fèi)米子.Kitaev[12]進(jìn)一步論證了一維p-波超導(dǎo)體的兩端也會(huì)出現(xiàn)Majorana費(fèi)米子,但是在如今的實(shí)驗(yàn)材料中,穩(wěn)定的p-波超導(dǎo)體很難找到.2010年,Sau的研究團(tuán)隊(duì)[14]意識(shí)到半導(dǎo)體二維電子氣中也有強(qiáng)自旋軌道耦合,所以他們進(jìn)一步簡(jiǎn)化Fu等的模型,不用拓?fù)浣^緣體,代之以更常見的半導(dǎo)體材料,并通過磁場(chǎng)破壞時(shí)間反演對(duì)稱性,從而也得到類似于p-波超導(dǎo)體的Majorana費(fèi)米子模型.結(jié)合Kitaev的工作,一個(gè)自然的想法就是用半導(dǎo)體量子線加上超導(dǎo)體來實(shí)現(xiàn)一維的p-波超導(dǎo)體,而其邊界就會(huì)出現(xiàn)要尋找的Majorana費(fèi)米子.很快在實(shí)驗(yàn)中[15]把一根半導(dǎo)體量子線放在一塊s-波超導(dǎo)體上,通過鄰近效應(yīng)在量子線中誘導(dǎo)出s-波配對(duì),然后加上一個(gè)平行于量子線的塞曼磁場(chǎng)來破壞時(shí)間反演.實(shí)驗(yàn)上能夠調(diào)節(jié)的參數(shù)是磁場(chǎng)的強(qiáng)度和半導(dǎo)體線中的費(fèi)米能.當(dāng)這2個(gè)參數(shù)滿足一定的條件時(shí),量子線的兩端就會(huì)出現(xiàn)零能量的Majorana費(fèi)米子.

目前實(shí)現(xiàn)Majorana費(fèi)米子的方案有:1)一維p-波超導(dǎo)體;2)二維px+ipy體系;3)拓?fù)浣^緣體和超導(dǎo)體組成的異質(zhì)結(jié);4)自旋軌道耦合的半導(dǎo)體和超導(dǎo)體組成的異質(zhì)結(jié).那么，還可以在哪些材料或系統(tǒng)中找到Majorana費(fèi)米子呢?近來，隨著人造規(guī)范場(chǎng)的誕生,人們開始對(duì)冷原子體系中的自旋軌道耦合產(chǎn)生了興趣[4].在冷原子體系中,利用拉曼光實(shí)現(xiàn)人造規(guī)范場(chǎng),隨時(shí)間變化的人造規(guī)范場(chǎng)可以模擬電場(chǎng),隨空間變化的人造規(guī)范場(chǎng)可以模擬磁場(chǎng)[3].有學(xué)者利用人造規(guī)范場(chǎng)在玻色系統(tǒng)中通過非Abelian人造規(guī)范場(chǎng)產(chǎn)生了自旋軌道耦合效應(yīng)[3].文獻(xiàn)[16]用40K和文獻(xiàn)[17]用6Li在費(fèi)米體系中也實(shí)現(xiàn)了等權(quán)的Rashba-Dresselhaus自旋軌道耦合效應(yīng).這樣人們不僅可以在冷原子體系中量子模擬具有自旋軌道耦合的固態(tài)系統(tǒng),還可以在冷原子實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)和操縱更多固態(tài)體系中不存在的結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)[18].

由上所述,不用固體系統(tǒng)中的納米線結(jié)構(gòu),也可以用一維具有自旋軌道耦合的費(fèi)米原子氣,加上誘導(dǎo)出的s-波超流和改變不同精細(xì)結(jié)構(gòu)粒子數(shù)目引入的有效磁場(chǎng)就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)一維拓?fù)涑骱蚆ajorana配對(duì)的模擬.早期有用二維冷原子產(chǎn)生Majorana費(fèi)米子的方案[19]。近期,文獻(xiàn)[20]提出利用光捕獲的一維費(fèi)米原子氣來產(chǎn)生:通過光子反沖的光學(xué)拉曼躍遷耦合原子的2個(gè)態(tài),并誘導(dǎo)出有效自旋軌道耦合和有效磁場(chǎng),再加上三維分子BEC背景誘導(dǎo)的s-波配對(duì),從而得到一個(gè)類似于半導(dǎo)體量子線的模型;而Majorana費(fèi)米子的檢測(cè)可用空間分辨的射頻譜(radio-frequency spectroscopy)測(cè)量局域態(tài)密度,類似于凝聚態(tài)體系中的掃描隧道顯微鏡技術(shù).最近，理論物理學(xué)家設(shè)計(jì)用二維具有自旋軌道耦合和超流的費(fèi)米系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)Majorana費(fèi)米子[21-22],討論了準(zhǔn)一維體系帶來的新的物理[23];利用二維體系中拓?fù)涑飨嘀械臏u旋激發(fā)產(chǎn)生Majorana零模[24-28],用一維具有d-波超流的自旋軌道耦合系統(tǒng)操縱Majorana費(fèi)米子[29],另外也討論了相互作用對(duì)一維費(fèi)米體系中拓?fù)湎嗟挠绊慬30].目前，對(duì)于拓?fù)湫院蜔o序關(guān)系等方面及拓?fù)浔砻鎽B(tài)的弱局域化和反局域化的研究也已開展[31-32].通過討論一維p-波超導(dǎo)下準(zhǔn)無序強(qiáng)度驅(qū)動(dòng)的拓?fù)涑骱蚆ajorana配對(duì)[31],發(fā)現(xiàn)了通過調(diào)節(jié)相移及密度調(diào)制的p-波超導(dǎo)線可出現(xiàn)零模的Majorana邊界態(tài).研究表明:拓?fù)涑鞯倪吔鐟B(tài)由于其非局域的拓?fù)湫圆皇芫钟蛉鯚o序所干擾,強(qiáng)局域無序可導(dǎo)致拓?fù)浞瞧椒驳慕^緣行為,稱為拓?fù)銩nderson絕緣體[33],冷原子中產(chǎn)生的speckle無序具有空間關(guān)聯(lián)性,為長(zhǎng)程無序,長(zhǎng)程無序的體系具有不同的拓?fù)銩nderson絕緣體性質(zhì)[34〗[35],是個(gè)重要的課題.

相比于凝聚態(tài)體系,冷原子系統(tǒng)具有一些優(yōu)勢(shì),如:可產(chǎn)生長(zhǎng)量子線,從而實(shí)現(xiàn)空間上分離的具有長(zhǎng)距離量子關(guān)聯(lián)的Majorana費(fèi)米子對(duì),這樣就保證量子計(jì)算中的比特?cái)?shù)據(jù)不受外界的干擾;對(duì)三維空間的1個(gè)或2個(gè)維度進(jìn)行強(qiáng)束縛可以實(shí)現(xiàn)二維或一維系統(tǒng);相互作用可調(diào);雜質(zhì)可控:單雜質(zhì),準(zhǔn)無序,以及speckle無序等在實(shí)驗(yàn)上的實(shí)現(xiàn)都很成熟.本文通過對(duì)具有自旋軌道耦合的一維晶格系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值研究,結(jié)果表明:在磁場(chǎng)強(qiáng)度滿足一定條件時(shí),系統(tǒng)可以出現(xiàn)Majorana費(fèi)米子,此Majorana費(fèi)米子對(duì)無序具有較強(qiáng)的免疫力.

1 理論模型

筆者將主要考慮受限的具有自旋軌道耦合作用的費(fèi)米氣,如進(jìn)一步在y-z平面方向加上強(qiáng)二維光晶格,就會(huì)形成很多沿x方向的一維束叢,在其中的一束,原子運(yùn)動(dòng)可看成一維的,此方向運(yùn)動(dòng)的原子可以用諧振勢(shì)、量子環(huán)或hard-wall來束縛.如在此方向再加光晶格則可形成一維的晶格系統(tǒng).自旋軌道耦合可由一對(duì)耦合2個(gè)自旋態(tài)且方向相反的拉曼光來產(chǎn)生,拉曼光沿x方向.以連續(xù)體系為例,這樣的準(zhǔn)一維體系可由單通道的模型哈密頓量

來描述.式(1)中:

Hint=gdxΨ+↑(x)Ψ+↓(x)Ψ↓(x)Ψ↑(x).

(3)

式(1)和式(2)中：σ=↑,↓表示2個(gè)超精細(xì)態(tài);Ψσ(x)為x方向質(zhì)量為m、自旋為σ的費(fèi)米場(chǎng)消滅算符;ΩR是拉比頻率，描述兩光子拉曼光的耦合強(qiáng)度;kR=(2π)/λR由2束激光的波長(zhǎng)λR確定,因此,2?kR為散射中的動(dòng)量轉(zhuǎn)移;μ(x)用于描述相應(yīng)的化學(xué)勢(shì),雜質(zhì)或無序(可為x的函數(shù));Vtrap(x)=(mω2x2)/2描述軸向的諧振束縛勢(shì).為了進(jìn)一步明確兩光子拉曼散射帶來的自旋軌道耦合,引入局域規(guī)范變換以消除拉曼耦合項(xiàng)中的空間依賴性,

這樣原哈密頓量則變?yōu)?/p>

哈密頓量(5)變?yōu)?/p>

若在x方向加一足夠深的光晶格,并用Wannier函數(shù)展開,則可得到相應(yīng)具有自旋軌道耦合的晶格體系的模型哈密頓量,

具體每一項(xiàng)為

式(10)中的4項(xiàng)分別描述格點(diǎn)間的動(dòng)能躍遷同格點(diǎn)的相互作用,自旋軌道耦合和Zeeman場(chǎng)、強(qiáng)度分別為t,U,αR,h.這里的μi可用于描述化學(xué)勢(shì)、雜質(zhì)、無序或束縛勢(shì).

對(duì)于光晶格中的雜質(zhì)問題,在實(shí)驗(yàn)中有很多辦法可以操控,如用去共振的渦旋激光場(chǎng)或另一種原子或離子來產(chǎn)生單個(gè)雜質(zhì),利用激光照射到擴(kuò)散板上產(chǎn)生隨機(jī)分布的speckle無序或通過另一對(duì)激光產(chǎn)生準(zhǔn)無序.一維體系由在橫向的y-z方向上加很強(qiáng)的二維光晶格來產(chǎn)生,此時(shí)可在x方向加額外的諧振束縛原子,或加一光晶格,從而分別實(shí)現(xiàn)連續(xù)空間和離散空間的準(zhǔn)一維Fermi體系.自旋軌道耦合可用前面提到的非Abelian人造規(guī)范場(chǎng)技術(shù)來產(chǎn)生.所以,在目前的冷原子實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)Hcom0,Hdis0這2種體系是可行的.

本文主要研究光晶格體系所描述的具有自旋軌道耦合的低維混合費(fèi)米冷原子氣系統(tǒng),探討其中的拓?fù)涑餍?Majorana費(fèi)米子的形成和操縱,準(zhǔn)無序?qū)w系量子相的影響,特別是拓?fù)湎嗟挠绊?

2 數(shù)值結(jié)果及討論

首先研究方程(10)在配對(duì)超流的近似下,

系統(tǒng)的能譜特征,其中Δi描述了格點(diǎn)i處吸引相互作用誘導(dǎo)的s-波配對(duì)強(qiáng)度.引入Bogoliubov de Gennes (BdG)變換,可得到BdG方程:

式(12)中,

圖1是均勻配對(duì)強(qiáng)度下系統(tǒng)的能譜隨磁場(chǎng)的變化圖,系統(tǒng)具有hard-wall,其他的參數(shù)為Δ=0.5,μ=-1,αR=1,L=100(在計(jì)算中取能量單位t=1,晶格常數(shù)a=1).從圖1中可以看出,系統(tǒng)的能譜具有粒子-空穴對(duì)稱性.在有限的s-波配對(duì)能隙假設(shè)下,能量中正的部分在hc1=1.2處下降到零,并在hc2=3處再次上升,即系統(tǒng)在hc1≤h≤hc2處出現(xiàn)零能,零能的出現(xiàn)意味著系統(tǒng)中的準(zhǔn)粒子可能是Majorana費(fèi)米子,筆者將畫出其波函數(shù),并數(shù)值證明其即為Majorana費(fèi)米子.

在這個(gè)系統(tǒng)中,可能的Majorana費(fèi)米子的出現(xiàn)需要2個(gè)條件:存在自旋軌道耦合和磁場(chǎng),自旋軌道耦合消除Kramer簡(jiǎn)并,而磁場(chǎng)則破壞了時(shí)間反演對(duì)稱性.其中自旋軌道耦合強(qiáng)度的大小對(duì)Majorana費(fèi)米子的出現(xiàn)并沒有太大的影響,如圖2所示,αR=1,2,3,5對(duì)應(yīng)著相同的臨界磁場(chǎng)強(qiáng)度.

圖1 均勻配對(duì)強(qiáng)度下系統(tǒng)的能譜隨磁場(chǎng)的變化圖 圖2 能隙和磁場(chǎng)的變化關(guān)系

為了驗(yàn)證零能對(duì)應(yīng)著Majorana費(fèi)米子的出現(xiàn),筆者引入Majorana算符,

滿足γA+iσ=γAiσ,γB+iσ=γBiσ.以此可得到相應(yīng)Majorana費(fèi)米子的波函數(shù),其與BdG方程本征態(tài)的關(guān)系為

圖3給出了最低能態(tài)n=1對(duì)應(yīng)的自旋向上(圖3(a))和向下(圖3(b))的一對(duì)Majorana費(fèi)米子的波函數(shù),可以看出它們分別局域在系統(tǒng)的左邊界和右邊界處.

Majorana費(fèi)米子對(duì)無序有很強(qiáng)的抵抗力.這里討論冷原子實(shí)驗(yàn)中可以實(shí)現(xiàn)的準(zhǔn)無序效應(yīng),

3 結(jié) 論

本文系統(tǒng)介紹了量子自旋霍爾效應(yīng)、Majorana費(fèi)米子、拓?fù)浣^緣體、p-波超導(dǎo)體和s-波超流的Majorana費(fèi)米子等概念以及自旋軌道耦合作用對(duì)拓?fù)淞孔佑?jì)算的重要意義.

通過對(duì)具有自旋軌道耦合的一維s-波超流費(fèi)米體系的研究,表明體系在2個(gè)臨界的磁場(chǎng)范圍內(nèi)存在零能區(qū),其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)粒子是Majorana費(fèi)米子,自旋軌道耦合的強(qiáng)度對(duì)出現(xiàn)Majorana費(fèi)米子的參數(shù)范圍影響較小,Majorana費(fèi)米子對(duì)準(zhǔn)無序具有很強(qiáng)的免疫力.所以,具有自旋軌道耦合的冷原子系統(tǒng)可以用來驗(yàn)證Majorana費(fèi)米子的存在,從而提供一個(gè)進(jìn)行量子計(jì)算的可操作體系.

今后的研究將涉及到態(tài)密度分布、無序參與度等的計(jì)算并以此確定準(zhǔn)無序的V0-h相圖.其他有意義的研究還包括:不同無序如長(zhǎng)程無序和磁雜質(zhì)或無序?qū)ο鄨D的影響;一維體系中的邊界遷移率問題;相互作用對(duì)Majorana費(fèi)米子的影響等等.

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(責(zé)任編輯 杜利民)

TopologicalsuperfluidandMajoranafermionsinone-dimensionalfermionicatomicsystems

GAO Xianlong， CHEN Jie, CHEN Ahai

(CollegeofMathematics，PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was studied the properties of one-dimensional fermionic atomic systems of spin-orbital couplings by means of numerically solving the Bogoliubov de Gennes equations. It was showed that, under the finite spin-orbital coupling strength and strong enough magnetic field, the system would be of zero energy, which behaved as the Majorana fermions. The effects of the quasi-disorder on the Majorana wave functions were also studied, which had little influence on the localization of the Majorana fermions.

topological superfluid; optical lattice; Majorana fermions; zero energy; quasi-disorder

O562.4

A

1001-5051(2013)04-0372-07

2013-06-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11174253)

高先龍(1973-),男,安徽肥西人,教授,博士.研究方向:低維強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系.