●
(象山中學(xué) 浙江象山 315700)
析近3年高考數(shù)列考情定2013年復(fù)習(xí)策略
●楊冬梅鄧成
(象山中學(xué) 浙江象山 315700)
浙江省數(shù)學(xué)高考對(duì)于數(shù)列的考查飄忽不定,高考復(fù)習(xí)很難把握,接下來由筆者一一為您解密,以此揭開2013年高考數(shù)列復(fù)習(xí)的神秘面紗.
高考數(shù)列重點(diǎn)考2條主線:一條是數(shù)列的數(shù)列特征:理解等差、等比數(shù)列的概念,掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.一條是數(shù)列的函數(shù)特征:等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
命題特點(diǎn)文科解答題每年必出一題,選擇題、填空題不確定,分值在14~23分之間;理科只有2011年考了解答題,其余3年只考小題,分值在4~14分之間.
知識(shí)層面縱觀近3年浙江省數(shù)學(xué)高考,數(shù)列試題主要考查等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和等基礎(chǔ)知識(shí),出現(xiàn)頻率最高的知識(shí)點(diǎn)是等差、等比的通項(xiàng)與求和,同時(shí)結(jié)合不等式、二項(xiàng)式定理(理科)等基礎(chǔ)知識(shí)綜合考查.
能力層面近3年浙江省普通高中考試說明中強(qiáng)調(diào)“以能力立意”,即以數(shù)列的相關(guān)知識(shí)作為載體,從數(shù)列問題入手,側(cè)重體現(xiàn)對(duì)數(shù)列知識(shí)的理解和應(yīng)用,尤其是綜合應(yīng)用和靈活應(yīng)用.個(gè)性品質(zhì)要求關(guān)注思想價(jià)值立意,注重通性通法,淡化特殊技巧,注重等差(等比)數(shù)列的概念、本質(zhì)和解決數(shù)列問題的常規(guī)方法,具體表現(xiàn)為試題的情境熟、入口寬、有層次,有利于學(xué)生在公平的背景下展示真實(shí)水平,體現(xiàn)考生個(gè)體的情感、態(tài)度和價(jià)值觀,表現(xiàn)出考生的思維習(xí)慣是否慎密等.
浙江省考題與全國(guó)卷、其他省市卷數(shù)列題有區(qū)別,浙江省對(duì)數(shù)列的考查主要著眼于數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法,作為中檔題,回避了遞推數(shù)列和復(fù)雜的不等關(guān)系的論證,主要揭示等差和等比數(shù)列內(nèi)在的本質(zhì)性知識(shí),形成浙江卷數(shù)列題的特色.
筆者翻閱了近3年18個(gè)省市的高考文、理科105份數(shù)學(xué)試卷,發(fā)現(xiàn)數(shù)列部分的考查具有如下特點(diǎn):
命題特點(diǎn)大部分省市會(huì)出現(xiàn)1~2道與數(shù)列有關(guān)的試題,個(gè)別省市會(huì)出項(xiàng)3道數(shù)列試題.以2012年數(shù)學(xué)高考為例,福建、遼寧、四川理科卷考查了3道,湖北、江西和大綱全國(guó)文科卷考查了3道.有的省市文科考1道、理科考2道,而有的省市卻正好相反,而大多數(shù)省是文、理科各考2道與數(shù)列有關(guān)的試題.以解答題的形式考查為各省市的重點(diǎn),理科相對(duì)較難.
知識(shí)層面主要考查等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和等基礎(chǔ)知識(shí),注重通性通法,淡化特殊技巧.出現(xiàn)頻率最高的知識(shí)點(diǎn)是等差、等比的通項(xiàng)與求和;與其他知識(shí)的交匯命題是高考的難點(diǎn),其中與不等式的交匯試題中考放縮法的試題較難.上海市引領(lǐng)高考數(shù)列的新潮,??紕?chuàng)新題.
能力層面主要考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、分析問題和解決問題的能力、創(chuàng)新思維能力等.
數(shù)學(xué)思想主要考查函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、遞推思想等.
4.1 重視基本概念、基本運(yùn)算,注重通性通法
縱觀高考卷,對(duì)等差(等比)數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式等基本概念、基本運(yùn)算的考查,依舊是這3年數(shù)學(xué)高考“數(shù)列熱點(diǎn)”中的重點(diǎn),題型分布極為廣泛,一般表現(xiàn)在客觀題或主觀題的第(1)小題,其難度不大,平時(shí)應(yīng)注重通性通法.
例1設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,則q=______.
(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)
分析簡(jiǎn)解運(yùn)用基本量法轉(zhuǎn)化為a1,q的方程,解方程組即可.
點(diǎn)評(píng)類似的題目很多,這些都是基礎(chǔ)題,題號(hào)靠前,只要合理地運(yùn)用定義、公式進(jìn)行仔細(xì)計(jì)算即可解決此類問題.
4.2 重視等差數(shù)列、等比數(shù)列的函數(shù)特征
等差數(shù)列的通項(xiàng)與一次函數(shù)、前n項(xiàng)和與二次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系是數(shù)列的函數(shù)特征的體現(xiàn),數(shù)列具有函數(shù)的很多性質(zhì),如單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性、最值等,如果從函數(shù)的角度思考問題,很多問題就迎刃而解了.
例2設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是
( )
A.若d<0,則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)
B.若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng),則d<0
C.若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,則對(duì)任意的n∈N*,均有Sn>0
D.若對(duì)任意的n∈N*,均有Sn>0,則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列
(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)
點(diǎn)評(píng)數(shù)列的函數(shù)特征是數(shù)列的重要特征,要重點(diǎn)關(guān)注.如2011年浙江理科第17題也考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì).
4.3 文科常規(guī)背景呈現(xiàn),考查基礎(chǔ)知識(shí)
文科對(duì)數(shù)列的考查要求比較低,以常規(guī)背景呈現(xiàn),常見的題型有:基本運(yùn)算題、推理論證題等.試題位置相對(duì)靠前,考查基礎(chǔ)知識(shí),是命題者在設(shè)計(jì)中認(rèn)為考生應(yīng)該得分的題目,在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)解題規(guī)范和正確率的培養(yǎng).
例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.
(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)
分析(1)an=4n-1,bn=2n-1,n∈N*.
(2)由第(1)小題知
anbn=(4n-1)·2n-1,
從而
Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,
2Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)·2n,
于是
2Tn-Tn= (4n-1)·2n-[3+4(2+22+…+2n-1)=
(4n-5)2n+5,
故
Tn=(4n-5)2n+5.
4.4 理科交匯整合呈現(xiàn),綜合應(yīng)用把關(guān)
數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理、概率、解析幾何、不等式的交匯等,其中與不等式的交匯試題是浙江省考查的一大亮點(diǎn),考查考生綜合應(yīng)用能力.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn;
(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)
當(dāng)n≥2時(shí),
即
因此,當(dāng)a>0時(shí),An
點(diǎn)評(píng)本題的最大亮點(diǎn)是題目簡(jiǎn)潔、表達(dá)樸素、內(nèi)涵豐富.主要考查了等差與等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,也考查了其他數(shù)列(能裂項(xiàng)相消)的前n項(xiàng)和,結(jié)合不等式的知識(shí)考查了二項(xiàng)式定理、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容.
分析近3年高考數(shù)列的考查情況,不難揭開2013年數(shù)列復(fù)習(xí)的神秘面紗,在數(shù)列復(fù)習(xí)過程中只要抓住下面的幾點(diǎn)就能迎刃而解了.
(1)吃透1個(gè)定義即數(shù)列的定義.
(2)突出2條主線數(shù)列特征,即等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)與函數(shù)特征:即單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性、最值等.
(3)活用3類方法:基本量法:a1,an,n,Sn,d(q)知三求二;求通項(xiàng)方法:公式法(考查最多)、累加法、累乘法、待定系數(shù)法等;求和的方法:公式法(考查最多)、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分奇偶討論法、絕對(duì)值數(shù)求和.
(4)關(guān)注4大題型.
基本運(yùn)算題.通常涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式,常常運(yùn)用基本量法解決(80%左右).
推理論證題.如證明問題:證明恒等式(考查過3次);證明不等式(考查過9次);證明等差、等比數(shù)列(考查過11次)等.
知識(shí)交匯題.數(shù)列與其他主干知識(shí)交匯的考題正在增多,常見的交匯有:數(shù)列與函數(shù)(考查過6次)、數(shù)列與導(dǎo)數(shù)(考查過7次)、數(shù)列與三角(考查過5次)、數(shù)列與二項(xiàng)式定理(考查過2次)、數(shù)列與概率、數(shù)列與解析幾何(考查過3次)、數(shù)列與不等式的交匯(考查15次).
情境創(chuàng)新題.一種是引入新概念、定義新數(shù)列的一類試題.另一種是以數(shù)列知識(shí)為背景的實(shí)際應(yīng)用問題.
(5)領(lǐng)悟5大思想考試說明指出對(duì)數(shù).
數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括的考查,通過對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查,反映考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.
函數(shù)思想.即數(shù)列的函數(shù)特征(考查過12次).
方程思想.基本量法是解決數(shù)列問題的最基本的方法,經(jīng)常結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式構(gòu)建方程或方程組求解,因此方程思想非常重要.
分類討論.數(shù)列中滲透分類討論的思想.例如由Sn求an,要分n=1和n≠1進(jìn)行討論;在數(shù)列求和中有時(shí)需要進(jìn)行奇偶討論;有些數(shù)列的通項(xiàng)公式是分段表示的,解題過程需要討論等.
化歸與轉(zhuǎn)化.非等差、等比數(shù)列的問題常通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求解;將一般的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列問題,是化歸轉(zhuǎn)化的重要目標(biāo).
遞推思想.遞推是數(shù)列的本質(zhì)性內(nèi)涵,雖然遞推數(shù)列不是浙江省高考涉及的內(nèi)容,但是遞推思想和方法在解決數(shù)列問題中的作用是很大的.涉及數(shù)列前n項(xiàng)和的關(guān)系問題,常采用遞推思想來解決.
與其他省市的數(shù)列試題相對(duì)比,浙江省數(shù)學(xué)高考的數(shù)列題難度中等.縱觀各省市考情,關(guān)于數(shù)列的教材內(nèi)容有差異,考試要求有所不同,考查的風(fēng)格也各有特色.但總體來說,等差、等比數(shù)列是永恒的背景,基本量運(yùn)算是不變的旋律,與其他知識(shí)的結(jié)合是發(fā)展的方向,有關(guān)的應(yīng)用問題則是創(chuàng)新的源泉.