一道湖北預(yù)賽試題的解法及一般性結(jié)論

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(會(huì)宮中學(xué) 安徽樅陽 246740)

一道湖北預(yù)賽試題的解法及一般性結(jié)論

●王懷明汪根友

(會(huì)宮中學(xué) 安徽樅陽 246740)

(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試題)

圖1

圖2

(1)

(2)

評注該解法通過構(gòu)造數(shù)量積,把向量等式化為數(shù)量形式,然后利用向量數(shù)量積的幾何意義,通過計(jì)算得到2個(gè)方程,計(jì)算量比解法1要小.

圖3

AF=OF=AE.

由OF∥AB,得

即

解得

因此

因?yàn)锳B=2,AC=3,所以

評注該解法根據(jù)平面向量基本定理作平行四邊形,再由三角形內(nèi)心的性質(zhì)求出p,q的值,計(jì)算量較小.

我們發(fā)現(xiàn)p,q的值與△ABC的3條邊的長度緊密相關(guān):它們的分母7等于3條邊長度之和,分子分別等于AB,AC的長度,p,q的比值恰好等于2條邊AB,AC的長度之比,是巧合還是必然?經(jīng)過探究,筆者得到如下結(jié)論:

圖4

由點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心,得AO平分∠BAC,即四邊形AEOF是菱形,從而

AE=AF=OF.

由OF∥AB，得

即

解得

因此

即

同理可得

筆者還發(fā)現(xiàn)p,q的比值僅與邊AB,AC的長度有關(guān),而與另一邊BC的長度無關(guān),因此該試題的條件“BC=2”是多余的.若要求出p,q的值,則需要用到此條件.