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(葫蘆島市第二高級中學 遼寧葫蘆島 125001)
由一道簡單的最值問題引發(fā)的思考
●張楠
(葫蘆島市第二高級中學 遼寧葫蘆島 125001)
學習拋物線時,筆者給學生布置了一道簡單的練習題:
題剛布置完,學生便思路涌動,很快就得出了答案,并且全部正確,解法如下:
為了進一步熟悉過程以及加強學生的計算能力,筆者對這道題做了一個小變動:
與問題1解法類似,也是先列出
細心的學生進一步計算發(fā)現(xiàn):
k·kPA=-1.
對于問題2,同樣可以計算出
k·kPB=-1.
猜想設P是拋物線y2=4x上一動點,點M(a,b)(b≠0)不在拋物線上,過點P的切線記為l,斜率為k,當|PM|取得最小值時,k·kPM=-1.
令f′(y)=0,變形得
(1)
另一方面,拋物線在x軸上方的部分可表示為
從而
對于這個結論的取得,學生們都很高興.正當?shù)靡庵畷r,筆者提出一個問題:若拋物線是任意的,結論還成不成立?頓時,課堂上鴉雀無聲,學生都在思考.
定理1設Q是拋物線y2=2px(p>0)上一動點,點M(a,b)(b≠0)不在拋物線上,過點Q的切線記為l,斜率為k,則|QM|取得最小值的充要條件是k·kQM=-1.
令f′(y)=0,則
另一方面,拋物線在x軸上方的部分可表示為
從而
(3)
對比式(2)和式(3),不難發(fā)現(xiàn)這2個方程同解.由此,定理1得證.
眾所周知,拋物線的標準形式有4種,同理可知對于其他3種形式的拋物線也應有相應的結論成立.探究到這里,筆者感到非常欣慰,學生真正思考起來,思路拓寬了,積極性高漲起來.接著,筆者引導學生思考:我們知道拋物線上頂點到焦點的距離最近,如果把焦點改為在對稱軸上任取的點,還會不會有同樣的結論?
問題3設Q是拋物線y2=2px(p>0)上的一個動點,點C(a,0)(a≠0),問:|QC|min=|OQ|是否成立?
令f′(y)=0,得
y[y2+2p(p-a)]=0.
綜上所述,只有當a≤p時,|QC|min=|a|成立.
定理2已知拋物線y2=2px(p>0),N(a,0)(a≠0)是x軸上的一個動點,當a≤p時,點N到拋物線上頂點距離最短.
對于a>p的情況,可根據(jù)問題1的解法,求得最短距離以及相應的點的坐標.
其實,學習并不那么枯燥、死板,只要給學生想象的空間和時間,他們會有很多想法.當他們將這些想法付諸實踐,不僅加深了對所學知識的理解,更提高了學生學習數(shù)學的興趣,同時這些想法也會對教師產(chǎn)生一定的積極影響.所謂“教學相長”,說的就是這個道理,因此教師要帶動學生多思考、多實踐.