每遇困難 問道于圖可爾

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(象山市第三中學 浙江象山 315700)

每遇困難問道于圖可爾

●茅映麗胡慶彪

(象山市第三中學 浙江象山 315700)

解析幾何是中學數(shù)學的核心內容之一，在數(shù)學高考中占有十分重要的地位,但又是學生掌握得不太好的知識領域．因此，加強解析幾何問題特征、解法規(guī)律的研究與學習，提高分析與解決問題的能力，意義十分重大．本文給出一個能迅速、明確解決解析幾何題及給出較細步驟的方法——問道于圖法．

所謂“問道于圖法”，就是在讀解析幾何題的過程中或在讀完題目之后，先根據(jù)題意畫出一個能反映本題條件與結論的圖形，然后按照生成圖形的各個步驟，依次將“圖形語言”翻譯成“數(shù)學符號語言”，一旦翻譯完畢，問題也基本解決．下面舉例說明之.

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(2013年浙江省寧波市高三數(shù)學第一次模擬考試文科試題)

分析本題圖形的生成步驟，如表1中的第2列所示，將各步的“圖形語言”按序翻譯成“數(shù)學符號語言”，如第3列所示：

表1 用“問道于圖法”解決例1

說明有時沒有必要把圖形的生成步驟(圖形語言)都一一翻譯成“數(shù)學符號語言”,而只需選擇其關鍵處加以翻譯．

圖1

例2如圖1，已知F為拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點，若過焦點F的直線l交C1于點A,B，使拋物線C1在點A,B處的2條切線的交點M恰好在圓C2:x2+y2=8上.

(1)當p=2時，求點M的坐標；

(2)求△MAB面積的最小值及取得最小值時的拋物線C1的方程.

(2013年浙江省寧波市高三數(shù)學第一次模擬考試文科試題)

分析第(1)小題圖形的生成步驟，如表2中的第2列所示，將各步的“圖形語言”按序翻譯成“數(shù)學符號語言”，如第3列所示：

表2 用“問道于圖法”解決例2

x1+x2=4k,x1x2=-4，

(2)從第(1)小題的p=2推廣到p>0,但成圖次序依舊，可類比第(1)小題的求解而得:

x1+x2=2pk,x1x2=-p2，

(5)

接下去只要求得弦長|AB|及點M到AB之距d, 就可得到△MAB的面積S(含p與k)，再由式(5),將p用k表示, 顯然可將S化成關于k的函數(shù)S=f(k), 最后求f(k) 的最小值(略).

在例1和例2的第(1)小題中，求解過程緊依其對應的作圖步驟，且同步到達終點.

(1)求p與m的值；

(2)設拋物線C上一點P的橫坐標為t(t>0)，過點P的直線交C于另一點Q，交x軸于點M，過點Q作PQ的垂線交拋物線C于另一點N，若MN是C的切線，求t的最小值．

(2009年浙江省數(shù)學高考文科試題)

(2)圖形的生成步驟，如表3中的第2列所示,將各步的“圖形語言”按序翻譯成“數(shù)學符號語言”，如第3列所示：

表3 用“問道于圖法”解決例3

通過例3，我們再次發(fā)現(xiàn)：在將“圖形語言”翻譯成“數(shù)學符號語言”后，離解題的終極目標只是一步之遙了.需要指出的是，有時沒有必要把圖形的生成步驟(圖形語言)都一一翻譯成“數(shù)學符號語言”, 而只需選擇其關鍵處加以翻譯即可．

我國著名數(shù)學家傅種孫教授在20世紀50年代曾經指出:“每遇困難,即問道于0可爾.”這一方面是由于數(shù)學問題中幾乎處處涉及關于“0”的思索,偶有疏忽,便出差錯;另一方面是因為代數(shù)問題中的許多結論由自然數(shù)“0”的運算性質所決定——問道于0可爾.因此，注重發(fā)揮數(shù)“0”的解題功能顯得十分重要，筆者認為:對于解析幾何題而言,應注重發(fā)揮與挖掘圖形的功能．行走在解析幾何解題路上，每遇困難,即問道于圖可爾.