幾道高考題背后的圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)

●李金興 ●胡名翔

(蕭山中學(xué) 浙江蕭山 311201) (復(fù)旦大學(xué) 上海 200433)

幾道高考題背后的圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)

●李金興 ●胡名翔

(蕭山中學(xué) 浙江蕭山 311201) (復(fù)旦大學(xué) 上海 200433)

1 從2000年的一道春季高考題說(shuō)起

2000年普通高校春季招生考試(北京、安徽卷)第22題如下：

如圖1，設(shè)點(diǎn)A，B為拋物線(xiàn)y2=4px(p>0)上原點(diǎn)以外的2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB,OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn).

因?yàn)楫?dāng)OA⊥OB時(shí)，直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)R(4p,0)，所以點(diǎn)M在以線(xiàn)段OR為直徑的圓上，即點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-4px=0(x≠0)，它表示的曲線(xiàn)是圓(去掉原點(diǎn)).點(diǎn)M是定點(diǎn)O在Rt△AOB斜邊AB上的射影，不妨把點(diǎn)M的軌跡所在的圓x2+y2-4px=0稱(chēng)為“點(diǎn)O相對(duì)于拋物線(xiàn)y2=4px的射影圓”.

本文中，我們作如下定義：以定點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)任作一個(gè)直角三角形，使斜邊的2個(gè)端點(diǎn)A,B都在某一圓錐曲線(xiàn)C上，那么定點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上的射影M總在一個(gè)定圓C′上，稱(chēng)定圓C′為定點(diǎn)P相對(duì)于曲線(xiàn)C的射影圓.

2 一類(lèi)顯而易見(jiàn)的推廣

因?yàn)檫^(guò)圓錐曲線(xiàn)上一定點(diǎn)作2條互相垂直的弦，聯(lián)結(jié)另2個(gè)端點(diǎn)的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以圓錐曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)都有相對(duì)于該圓錐曲線(xiàn)的射影圓.

例如，過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px上一定點(diǎn)P(x0,y0)作2條互相垂直的弦PA,PB，則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)R(x0+2p,-y0)(證明略).此時(shí)，點(diǎn)P在Rt△APB斜邊AB上的射影M的軌跡在以線(xiàn)段PR為直徑的圓上，該圓恰是“點(diǎn)P相對(duì)于拋物線(xiàn)y2=2px的射影圓”(如圖2).類(lèi)似地，在橢圓與雙曲線(xiàn)中也有這樣的結(jié)論(如圖3和圖4).

圖3 圖4

3 淺嘗輒止的2009年高考題

2009年山東省數(shù)學(xué)高考理科第22題如下：

(1)求橢圓E的方程.

換個(gè)角度看(如圖5)：以橢圓中心O為直角頂點(diǎn)作Rt△AOB，使得點(diǎn)A,B在橢圓上，則點(diǎn)O在斜邊AB上的射影M的軌跡恰為一個(gè)圓(即點(diǎn)O相對(duì)于橢圓E的射影圓).

圖5 圖6

無(wú)獨(dú)有偶，2009年北京市數(shù)學(xué)高考理科第19題如下:

(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)l是圓O:x2+y2=2上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)(x0y0≠0)處的切線(xiàn)，l與雙曲線(xiàn)C交于不同的2個(gè)點(diǎn)A,B，證明:∠AOB的大小為定值.

換個(gè)角度看(如圖6)：以雙曲線(xiàn)中心O為直角頂點(diǎn)作Rt△AOB，使得點(diǎn)A,B在雙曲線(xiàn)上，則點(diǎn)O在斜邊AB上的射影M的軌跡恰為一個(gè)圓(即點(diǎn)O關(guān)于雙曲線(xiàn)C的射影圓).

4 定點(diǎn)相對(duì)于圓錐曲線(xiàn)的射影圓結(jié)論的進(jìn)一步推廣

綜上可知，當(dāng)定點(diǎn)在某圓錐曲線(xiàn)上或有心圓錐曲線(xiàn)的中心位置時(shí)，定點(diǎn)相對(duì)于該圓錐曲線(xiàn)的射影圓存在.那么，對(duì)于某圓錐曲線(xiàn)所在平面內(nèi)的任意一定點(diǎn)，只要經(jīng)過(guò)該點(diǎn)能作2條互相垂直的直線(xiàn)都與圓錐曲線(xiàn)相交，是否都有該定點(diǎn)相對(duì)于此圓錐曲線(xiàn)的射影圓存在呢？通過(guò)幾何畫(huà)板作圖觀察發(fā)現(xiàn)，結(jié)論是肯定的.

如圖7，當(dāng)點(diǎn)P不在拋物線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)P相對(duì)于拋物線(xiàn)的射影圓存在(圖中虛線(xiàn)所示).

圖7

如圖8、圖9、圖10所示：對(duì)于圓、橢圓、雙曲線(xiàn)，結(jié)論也成立.

圖8

圖9

圖10

5 定點(diǎn)相對(duì)于圓錐曲線(xiàn)的射影圓存在性的證明

可將推廣后的結(jié)論歸納為如下問(wèn)題：已知平面內(nèi)圓錐曲線(xiàn)C和定點(diǎn)P，動(dòng)點(diǎn)A,B在曲線(xiàn)C上且∠APB=90°，求證：點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上的射影M總在一個(gè)定圓上.

證明分“點(diǎn)P不在曲線(xiàn)C上”和“點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上”這2種情況討論.

情況1當(dāng)點(diǎn)P不在曲線(xiàn)C上時(shí)，以點(diǎn)P為原點(diǎn)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，因?yàn)榍€(xiàn)C不過(guò)原點(diǎn)，所以圓錐曲線(xiàn)C的方程可化為

同理，因?yàn)橹本€(xiàn)AB不過(guò)原點(diǎn)，所以直線(xiàn)AB的方程可設(shè)為

此時(shí)，直線(xiàn)PM方程為

聯(lián)立式(1)，式(2)并化為齊次式得

ax2+by2+(cx+dy)(mx+ny)=(mx+ny)2,

即 (b+dn-n2)y2+ (cn+dm-2mn)xy+

(a+cm-m2)x2=0.

(4)

(b+dn-n2)k2+ (cn+dm-2mn)k+

(a+cm-m2)=0,

而k1,k2恰為上式方程的2個(gè)根,因此

b+dn-n2≠0且Δ>0.

由韋達(dá)定理知

即

a+b+cm+dn=m2+n2,

于是

即

需要補(bǔ)充的是:若a+b=0,此時(shí)二次曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn),射影圓褪化成直線(xiàn)cx+dy=1.

(2)若x=0,則點(diǎn)A,B必在坐標(biāo)軸上，得

可以驗(yàn)證此時(shí)點(diǎn)M也在上述圓(a+b)x2+(a+b)y2+cx+dy=1上.

需要補(bǔ)充的是：如果圓錐曲線(xiàn)與x軸或y軸無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)A或點(diǎn)B不存在，點(diǎn)M也不存在.

情況2當(dāng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上時(shí)，同樣以點(diǎn)P為原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，則圓錐曲線(xiàn)C過(guò)原點(diǎn)，方程可化為ax2+by2+cx+dy=0.直線(xiàn)AB的方程仍可設(shè)為mx+ny=1,則

ax2+by2+(cx+dy)·(mx+ny)=(mx+ny)2.

仿情況1可求得點(diǎn)M的坐標(biāo),使得

需要補(bǔ)充的是:若a+b=0,此時(shí)二次曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn),射影圓褪化成直線(xiàn)cx+dy=0.

6 對(duì)結(jié)論的反思反思1

在某些情況下，繞定點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的2條互相垂直的直線(xiàn)只在一定區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)才能都與圓錐曲線(xiàn)相交，對(duì)應(yīng)的射影M的軌跡只是射影圓的部分弧段(如圖8和圖9中的左圖).

反思2當(dāng)a+b≠0，c,d不都為0時(shí)，方程

(a+b)x2+(a+b)y2+cx+dy=0

表示圓，而當(dāng)a+b≠0，c=d=0時(shí)，方程

(a+b)x2+(a+b)y2+cx+dy=0

僅表示坐標(biāo)原點(diǎn)(無(wú)射影圓).事實(shí)上,當(dāng)c=d=0時(shí)，圓錐曲線(xiàn)C的方程可化為ax2+by2=1，點(diǎn)P只能是有心圓錐曲線(xiàn)的中心,即原點(diǎn).

反思3通常情況下，圓錐曲線(xiàn)的方程以“標(biāo)準(zhǔn)方程”的形式給出，而點(diǎn)P不在原點(diǎn)，此時(shí)，射影圓的方程可以利用坐標(biāo)變換來(lái)解決.

例如，求拋物線(xiàn)C:y2=2px上點(diǎn)P(x0,y0)相對(duì)于拋物線(xiàn)C的射影圓.

由直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)R(x0+2p,-y0)的結(jié)論知，射影圓圓心為(x0+p,0).而以P(x0,y0)為原點(diǎn)建立新坐標(biāo)系x′Oy′，則在新坐標(biāo)系下，拋物線(xiàn)方程為

(y′+y0)2=2p(x′+x0)，

與方程ax2+by2+cx+dy=0相比，得

a=0,b=1，c=-2p，d=2y0,

[1] 胡典順，徐漢文.一種新思路探求一類(lèi)定點(diǎn)問(wèn)題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2007(10)：28-29.

文獻(xiàn)[1]中“化齊次”的思想方法，該問(wèn)題可得以巧妙地證明.