一個(gè)函數(shù)值域的幾種求法

●張小明

(海寧市高級(jí)中學(xué) 浙江海寧 314400)

一個(gè)函數(shù)值域的幾種求法

●張小明

(海寧市高級(jí)中學(xué) 浙江海寧 314400)

在總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)和領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)解法方面，一題多解具有“花時(shí)少、傳授知識(shí)多”的作用，一直受到學(xué)生和教師的喜愛(ài).筆者認(rèn)為“學(xué)生懂不懂、如何做題”的教學(xué)是第一層次的，“為何這樣做”才是教師和學(xué)生追求的最終目標(biāo).以2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽填空題的第2題為例，本文講解其帶來(lái)的數(shù)學(xué)感悟.

評(píng)注解法1“妙”在無(wú)障礙地去除了根號(hào)運(yùn)算.x=tant的引入，如果說(shuō)是悟自于雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程，還不如說(shuō)來(lái)自于不定積分中的三角函數(shù)換元法：

解法2(好招)當(dāng)x>1時(shí)，

當(dāng)x<1時(shí)，

評(píng)注自變量“少”或自變量“近”是求函數(shù)值域的一個(gè)要點(diǎn)，把根號(hào)外面的量移到里面，就是以此為目的.至于x2=(x-1+1)2的處理是為了使變量處在同一計(jì)算形式，而且分母不易拆，而分子易拆.曾有人說(shuō):先兩邊平方，再做此題.筆者認(rèn)為：兩邊平方，風(fēng)險(xiǎn)自理.解法2無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，但也起到兩邊平方的作用.

解法3(險(xiǎn)招)首先，當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)x<1時(shí)，y<0，且

平方后整理，得

(y2-1)x2-2y2x+y2-1=0.

當(dāng)y=-1時(shí)，x=0；當(dāng)y=1時(shí)，x無(wú)解;當(dāng)y≠±1時(shí)，由求根公式知

從而

2y2-1>0，

與x>1矛盾，即x無(wú)解;當(dāng)y>1時(shí)，

成立，即x有解.因此，所求值域?yàn)?/p>

評(píng)注用一元二次判別式求值域是有風(fēng)險(xiǎn)的(如解法3中容易遺漏了“從y出發(fā)，求出相應(yīng)的x”).甚至有學(xué)者認(rèn)為，用此法是錯(cuò)誤的,但筆者認(rèn)為：利用一元二次判別式求出函數(shù)值y的范圍后，再用求根公式求x，若相應(yīng)的x能求出且符合原題意，則說(shuō)明y值可取到，反之則不然.

得

(k2-1)x2-2k2x+k2-1=0,

即

4k2-4(k2-1)2=0,

解得

評(píng)注“分式”型函數(shù)求值域，都可考慮用解析幾何知識(shí)來(lái)化解問(wèn)題,有時(shí)能事半功倍.

解法5(高招)對(duì)y求導(dǎo)，得

從而y在(-∞,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞減.由于

解法6(無(wú)招勝有招)當(dāng)x>1,x→1時(shí)，易知y→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，易知y→1.

平方后整理，得

(1-a2)x2+2a2x+1-a2≥0.

4a4-4(1-a2)2≤0，

解得

猜想2當(dāng)x<1時(shí)，y<-1,其等價(jià)于

即

亦即

x2+1>1-2x+x2，

從而

x>0，

與x<1矛盾，因此猜想2不成立.